Doğruların Parametrik Temsili

ve doğrusal Cebir konusunda şu ana kadar yaptıklarımızın daha önce bildiğiniz şeylerin çok daha zor bir şekilde yapılmaları olduğunu düşünüyor olabilirsiniz vektörleri Daha önce görmüş olmalısınız ya da çoğunuzun kalkülüs veya kalkülüse giriş derslerinizde vektörleri gördüğünüzü düşünüyorum Evet böyle desem daha doğru olacak Bu videoda size doğrusal Cebir de daha önce kullanmadığınız bir şey göstermek istiyorum ve eğer bunu görmezseniz bazı şeyleri çözmek çok razore olacak diye düşünüyorum Size yine nasıl yapıldığını bildiğiniz bir şeyi yapmanın farklı bir yolunu göstereceğim şimdi bir vektör tanımlıyorum Mehmet vektörleri koyu bir renkle yazmak yerine üzerlerine bu şekilde vektör olduklarını belirten küçük bir Okta koyabilirim mektubu tanımlayalım bu rekare de bir bekler olsun ve 21 olarak tanımlıyorum bu vektörü standart Formula çizmemi isterseniz buna benzer bir vektörel de mi Evet sağa doğru iki yukarıya doğru bir işte böyle bekliyorum Peki tanımlayabileceğimiz tüm vektörler hangileridir bunun içinde bir küme tanımıyor s kümesi veyi bir sabit L ya da bir skalerle çarptığında C çarpım ve vektör olarak not edin biraz daha matematiksel bir tanım olması için cenin Reel bir sayı olması gerektiğinde ettiğin Mehmet bana bu kümenin grafiksel temsilinin neye benzeyeceğini söyleyebilir misiniz yine standart formlarını değerlendirecek olursak C herhangi bir reel sayı olabilir mesela iki ip jager iki olursa şöyle yazarsam daha iyi olacak Evet vektörü müzü ikide çarparsak 42 mektubun elde ederiz söylediğim bunu da çizelim Evet işte böyle yeni ve 4 vektörle aynı doğru üzerinde Bakın aynı doğru üzerinde bulun bu Ama bu vector2 birim daha öteye uzanıyor benzer şekilde vektörü bir buçuk Lada çarpabilir dik bunu da farklı bir renkle yazalım Mehmet bir buçuk çarpı iki üç eder ve bir buçuk çarpı bir de bir buçuk bu vektörü de sana doğru 3 yukarı doğru bir buçuk birim ilerleyerek bu şekilde çizebiliriz Evet veyi herhangi bir sayıda çağırabilirim İstersen bir Bülbül 49999 da çarpabilir bunu yapınca buraya bir yerlere geliriz istersen eksi 0,0 001 LD çarpabilir böyle değil mi isterseniz not dedim 0,0 01 çarpı ve vektör bunu yapınca da göstermeye çalıştığım Evet son derece küçük olan şu ve kültür elde ederiz Eğer eksi 0,0 birine çarpmış olsaydın da bu O çok çok küçük bir bekliyor daha elde ederdi meksi ona çarp saydım yine bu yönde ama bundan çok daha uzun bir tane daha bu noktada bu şekilde elde edeceğim tüm vektörleri standart forumlarında çizersek Bu arada cenin herhangi bir elsa'yı olabileceğini aklınızdan çıkarmayın Sonuç olarak okların yönünü bu yönü ve bu yönü gösteren negatif yönü de düzgün bir şekilde çizelim Evet işte böyle ne olacağını Anladınız değil mi bunlar aynı doğru üzerinde bulunan vektörler dir ve bunlara eş doğrusal vektörler adı verilir Evet eş doğrusal vektörler kümesin bu vektörlerin konum vektörleri olduklarını düşünürsek demek istediğim bu vektörün ve karede bir noktayı temsil ettiğini bu aralara karenin de kartezyen koordinat düzlemi olduğunu da hemen ekleyeyim Bu vektörün bir konum vektörü olduğunu düşünür Ben bunu da not edeceğim Evet onun rekare de bir konum vektörü olduğunu düşünürsek bu kümede bu konum vektörlerin den meydana geldiği için bu doğru ile temsil edilebilir bunun iyice anlaşıldığından emin olmak istiyor bu eee mi İki olan bir doğrudur Öyle değil mi pardon 1/2 Evet 1/2 olacak sağa doğru iki yukarıya doğru bir birim gidiyorsak eğim 1/2 dirce bir gösterimlerine çok fazla kullanmak istemiyorum ama eğimi 1/2 olan ve orijinden geçen bu doğru buradaki vektörleri konum vektörü olarak standart fonlarında çizersek elde edeceğimiz Doğrudur vektörlerin Sandal formu olduklarını söylemeseydim vektörleri istediğimiz gibi Herhangi bir yere çizebilir dik Öyle değil mi Mesela buradaki dörde iki vektörünü buraya da çize bilirdim böyle yapınca daeş doğrusal dememin En azından görsel olarak bir anlamı olmazdı Bu yüzden de eş doğrusallık kavramı vektörlerin hepsini standart formda çizdiğimiz de anlam kazanıyor başka bir değişle vektörlerin hepsinin başlangıç noktasını orjina koyduğumuzda Bediş noktaları da temsil ettikleri koordinata kadar uzanacak konum vektörü diyerek de aslında bunu anlatmaya çalışıyorum konum vektörü olmak zorunda değiller Ama bu videonun görsel amacına ulaşması adına Şimdilik böyle olduklarını varsayalım bunlarla orijinden geçen ve eğimi bu olan bir şeyi temsil ettik bu vektör bu doğrunun eğimini tanımladığını söyleyebiliriz bunun ac-11 derslerinde öğrendiklerinizi ilişkilendirmek için bunun eğim Rektörü olduğunu da düşünebilirsiniz peki bu eğime sahip diğer doğruları da temsil etmek istersek no başka bir değişle buna ya Helal olan Ama bu noktadan mesela İki Bülbül 4 noktasından geçen bir doğruyu nasıl temsil edebiliriz konum vektörlerin den yola çıkarsak bu noktanın x vektör ile temsil edildiğini söyleyebiliriz bu şekilde gösteriyorum Evet bu ilk sektörün ilk sektörde 24 şeklinde tanımlı işte burası mı buna paralel olan ve 2,4 noktasından geçen doğruyu nasıl temsil edebilirim söz konusu doğruyu da çizim Evet işte böyle elimden geldiğince paralel olan bir doğru çizmeye çalışıyor zaten Önemli olan işin mantığını anlamanız doğru bu şekilde iki yönde uzayıp gidecek Şimdi bu iki doğru birbirine paralel Anlaştık mı Sizce Sandal formda çizildi clarin de bu doğruyu oluşturan vektörlerin kümesinin nasıl temsil edebiliriz ister de böyle düşünebiliriz bu doğruyu temsil eden vektörlerden her biri bu doğru üzerinde olan herhangi bir vektörle başlayıp buna x-back Turn eklediğinde temsil etmek istediğim doğru üzerinde yer alan bir noktaya ulaşırım öyle değil mesela -2 ile orijinal vektörü çarparsam yazıyorum -2 çarpı ve vektörü -4 -2 elde ederim ve buna ilk sektörünü eklersen bunu da yazalım -2 çarpı ve vektörü artık x vektör buna 2,4 vektörünü ekleyeceğiz saiki Yukarıya doğru da dört ilerleyelim grafik üzerinde de bitiş noktasını başlangıç noktasına koyduğumda buna karşılık gelen bir noktaya varmış olur Bu yüzden de kümeyi tanımlarken şimdi ve emek türünü Bir skalen de çal şu anda orijinden geçen doğru elde ettim şimdi de farklı bir küme tanımlamak istiyorum ve bunun adıda L kümesi olsun bu küme değil X ve görünümü ilk sektörünü koyu renkte da yazabilirim ama ben üzerine bu küçük o koymak istiyorum Evet ilk sektörünü bir skalerle toplayacağım J kullanabilirim ama bunu doğrunun parametre eleştirilmesi olarak adlandırdığım için t yi kullanayım Evet bir test kaleleri çarpı ve vektörü yazıyorum TD yine herhangi bir reel sayı olabilir bunun sonucu olarak ne elde ederiz acaba bu grafikteki Evet mavi doğruyu temsil eder bu vektörlerin hepsini Eğer standart formda çizersin mavi doğruyu elde ederim mesela bunun -2 olduğunu düşünelim Evet -2 ile ve vektörünü çarparsam ve buna bir değil x bu eklersem işte buraya gelirim bu vektörün bitiş noktası da bu doğru üzerinde yer alır Bunu istediğiniz herhangi başka bir şeyler de yapabilirsiniz Mesela bu vektörel alalım Bu Back 4 ve MAC teriyle bir skalerin çarpımı sonucu elde ettiğimiz vektörlerden biridir Buna da bir x eklersek bu vektörü elde ederiz ve bu Eğer bir konum vektörü ise bitiş noktası da ilk siye düzlemindeki bir noktayla aynı şeydir Kısacası Sonuç olarak bu noktaya Gelmiş oluruz bu şekilde bu vektörlerin Herhangi birini elde edebiliriz Bu kümedeki vektörlerin hepsi standart formda çizildi clarin de mavi doğru üzerindeki bir noktayı temsil ederler Bu aşamada bunun bir doğruyu tanımlamak için son derece garip bir yöntem olduğunu düşünüyor olabilirsiniz demek istediğin c11 derslerimizde bir doğru Google ye eşittir em-x artı be olarak tanımladık öyle değilim iki noktanın farkını bularak eğimin sonra bulduğumuzu yerine koyarak da beğenin ne olduğunu buluyorduk doğrunun bu son derece kolay tanımını yedi ya da 8'inci sınıfta öğrenmiş olmalısınız O halde Bu videoda bir doğruyu böylesine garip bir şekilde vektör kümeleri ve vektör toplamları olarak neden anlatıyor olabilirim dersiniz Bunun sebebi Tüm bu yaptıklarımın çok genel şeyler olması bu rekare de işe yarıyor Öyle değil mi Evet söz konusu ve kara olduğunda bu son derece faydalı bir şey ve düşünmemiz gereken tek şey cssler ve yerler Peki ya bu durun demek istediğim Cebir derslerinde öğretmenlerini size doğruları 3 boyutta nasıl temsil edebileceğiniz den bahsettiler mi mesela Benimkiler bahsetmediler bazıları bu için Durumun ne olduğunu biliyor olabilirsiniz ama kimsenin 4 boyutta ya da hatta yüz boyutta neler olacağından haberi olmadığını Düşünüyor bu noktada bize yardımcı olacak şeyin bu olduğunu bilmelisiniz burada ilk sevmeyi ve karede yer alan vektörler olarak tanımladım Bunlar iki boyutlu vektörler dir Ama bu fikri istediğimiz boyuta taşıyabiliriz işte keyfi burada ne demek istediğimi nice anlaşıldığından emin olmak için rekare de bir örnek daha yapalım ve bir doğrunun denklemini bulmamız gereken klasik bir Cebir sorusuyla karşı karşıya olduğumuzu düşünelim Ama bu defa doğrunun küme tanımını kullanacağız elimizde iki vektör olsun abi vektörü bu vektörü 21 olarak tanımlayalım standart formda çizerse Mickey ve bir buraya gelirim Evet buna vektör olduğunu da yazalım bir de bebek örgü müz olsun O da tanımlayalım mesela 0,3 olsun Evet de vektörünü de sıfır olduğundan sağ hareket etmiyoruz sadece 31 yukarıya hareket edeceğiz evet böyle gösteriyorum buna benzeyen bir bekliyor Bunlar konvektörleri olsunlar standart forumlarında çizdiğimiz de bitiş noktaları belirli konumları temsil edecek bunların R karedeki koordinatları olduklarını da düşünebilirsiniz ve buranın da ve kare olduğunu da not edeyim Evet koordinat düzleminin bu şekilde çizdiğimiz Dere karede oluruz bana bu İki noktadan geçen doğru için bir parametre eleştirme yapmanızı istesem Ne yaparsınız c11 açısından düşünürsek Sizden istediğim bu İki noktadan geçen doğrunun denklemi Evet işte bu doğru ve bu denklemi önce eğilme sonra da y ekseni kesim noktasını bularak kolay bir şekilde Evet bulabilirsiniz Ama bunun yerine U2 no O geçen doğru için bu iki vektörün bitiş noktalarının bu doğru üzerinde olduğunu söyleyebiliriz öyle diyeyim rektörlerin ikisinin bu doğru üzerinde olduğunu da söyleyebiliriz Tabii Evet bu doğru hangi vektörü temsil edebilir ya da şöyle söyleyeyim bir skaler çarpım düşündüğümüzde bu doğru üzerinde yer alan bir başka bekliyorum nasıl elde edebiliriz şöyle yazarsan daha iyi olacak bu de vektör ve eksi ayı ele alacak olur isek bundan önceki videoda B eksi anın bu vektörü eşit olduğunu görmüştük gösteriyorum Evet bu B eksi a vektörü isterseniz ayı neyle toplarsan Bey elde ederim olarak da düşünebilirsiniz ve ekstra öyle diyeyim Evet bu iki vektörün farkını herhangi bir skalerle çarparsam bu doğru üzerinde yer alan bir noktaya gelelim biraz dikkatli olmamız lazım Tenin bir kader olduğunu düşünelim Evet a b d eksi anın sonucu ne olur ve exaa buydu ama bunu standart forma çizersek bakın hemen gösteriyor B eksi anın standart forma çizilmiş hali budur orjinal başlar buna paralel olur bitiş noktası da burada olur Bu da B eksi abi bir skalerle çarptığımızda bu doğru üzerinde bir noktaya da bektöre elde edeceğimiz anlamına gelir bu doğru üzerindeki vektörler ama elde etmek istediğimiz doğru mu doğru değil Öyle değil biz bu doğru ya da buradaki küme için parametre eleştirme ya da bir denklem elde etmeye çalışıyoruz buna L kümesi adını ver elimle kümesinin neye eşit olduğunu bulmak istiyor ve bu doğruya varabilmek için bu doğruyla başlayıp bu doğru buraya öteleme miz gerekir doğruyu ötelemek içinde ister be vektörüne şöyle göstereyim Ben hep bu şekilde bebek türünü ekleyebiliriz Böylece bu doğru üzerindeki noktalar bu doğru üzerine gelmiş olur O halde bebek törpüyle toplamak işe yarayacaktır Hemen not edelim bebek törpüyle toplayabiliriz Tenin bir ve yasayı olduğunu da ekleyeceğim bu noktalar bu şekilde yeşil doğru üzerine ötelenmiş olur aynı sonucu a vektörünü ekleyerek de elde edebiliriz a vektörü de buradaki noktalardan herhangi birini yeşil doğru üzerine ötenler doğru değilim Evet a vektörün de ekleyebiliriz iki şekilde aradığımız yeşil doğru elde etmiş oluruz o halde yeşil doğruyu a vektörü Artı bu doğru Rüyada b eksi anın t ile çarpımı olarak temsil edebiliriz senin reel sayı olduğunu da ekleyelim Evet bu doğrunun tanımı bunlardan Yani bu küme ya da bu kümeden o iyi biri olabilir Bunlar göze her ne kadar soyut gelseler de gerçek sayılarını çalıştığımızda her şeyin çok basit değiştiğini göreceksiniz c11 de gördüklerimizden bir miktar daha basit olduğunu bile iddia edebilirsiniz belki buradaki a ve b için Lenin ney eşit olduğunu bulalım doğru eşittir yazıyorum birinci örneği kullanalım be vektörü demiştik yani 03 artı T çarpı B eksi a vektörü sıfır -2 -2 eder 3 eksi birde iki o halde bunu -2 olarak yazabiliriz VTR el bir sayı olacak Bunun hala son derece karmaşık bir gösterim olduğunu düşünüyorsanız Alışık olduğunuz terimleri kullanarak da yazabilirim noktaları göstermek için bu y ekseni Olsun bu da ilk sene bu da eksi koordinatı olacak bu da eksik o kartı olacak bu da ye Evet bu şekilde düşünürsek bir denklem kurabiliriz aslına bakarsanız bu exeyi m'dir bu exe Bu da y koordinat Other ya da biraz daha dikkatli olmam lazım Sonuç olarak buradan L1 L2 olarak tanımlı bir vektör elde edeceğiz Öyle değil mi Bu bir vektör kümesi olacak ve bu kümenin elemanlarından herhangi biri buna benzeyen bir şey olabilir Bunu da l6 indisi olarak adlandırdığım books koordinatı Bu da y koordinatı Evet sanırım bu şekilde daha açık oldu bunu Alışık olduğumuz bir şekilde yazmak için dellek sektörü artı T çarpı B eksi a vektörün den oluşan bir küme de parametrik bir şekilde yazmak için x koordinat ını Bunlar belirleyeceksin sıfır artı T çarpı ek 12 ya da -2 te diyelim Evet buna eşit olduğunu söyleyebiliriz y koordinatı da Evet onu da bu belirleyecek yeyi de 3 artı T çarpı iki ya da 2t olarak yazabilirim ilk denklemi -2 TV olarak baştan yazıyor diye de 2t artı üçe eşit parametrik denklemler ile ilgili videoları izlediyseniz buradaki nin bu doğrunun klasik parametrik tanımlarından biri olduğunu anlamışsınızdır bu noktada bile hala bunun bir zaman kaybı olduğunu düşünenlerin izine olduğunu biliyorum Tüm bu kümeleri tanımlamak sonra bir de bunlarla uğraşma mız lazım Çok fazla zaman harcıyoruz diyor olabilirsiniz Şimdi size hemen bir şey göstereceğim bunu daha önce de görmüş olabilirsiniz ama Cebir derslerinizde görmediğiniz den eminim elimizde iki nokta olduğunu düşünelim bu defa ve bu vektörlerden biri bu olsun P1 olarak adlandırılır canım Ne de olsa hepsinin konum vektörü olduklarını varsayıyoruz üç boyutlu olduğumuz için eksi 1 2 ve 7 olarak alalım iki noktada R Küpte olduğumuz için 3 koordinattan oluşacak eksi y&z koordinatları Bunlarında 0 3 ve 4 olduklarını düşünelim şimdi der ekipte yer alan ve bu İki noktadan geçen doğrunun denklemini bulmak istediğimizi düşüneceğiz renk iple olduğumuzu da not edelim Bu doğrunun denklemini ya da kümesini DL olarak adlandırılan eşittir bunlardan birini seçmemiz lazım Mesela p1i seçelim bunların vektör olduklarını da unutmamamız lazım P1 vektörü artı bir parametre bunun için yine teyu kullanacağım Tenin parametrik de o ilk karşılaştığınızda öğrendiğiniz şeylerden biri olan zaman olduğunu düşünebilirsiniz T çarpı vektörlerin farkı yazıyorum çarpıp E bir eksi P2 burada vektörlerin hangisinin önce yazıldığını bir önemi yok Evet P1 eksik Peki n2xcy p1000 olabilir Çünkü buradaki parametre herhangi bir diğer alabiliyor zaten Tenin Reel bir sayı olduğunu da yine ekleyelim Şimdi de buradaki sayıları kullanalım P1 eksi p 2'nin sonucu Evet de bir eksi P2 eşittir eksi bir eksi sıfırdan eksi 1 2 -3 ten -1 ve 7 eksi 4'ten 3 burası bu ve göre eşit doğruyu bir vektörler kümesi olarak tanımlayabiliriz standart forma çiziklerinde bu konum vektörleri ne karşılık gelecekler eksi 127 buraya b2d yazar bu artı T çarpı eksi bir -1 3wt bir reel sayı sizi bu da tatmin etmemiş olabilir Ve böyle bir şey 3 boyutta nasıl çizeceğiniz ilk siye bezenin nerede olduğunu düşünüyor olabilirsiniz eksi y&z açısından düşünmek isterseniz Bu da Z ekseni olsun Evet bu X ve bu da hemen çiziyorum y ekseni olsun Evet y ekseninde bu şekilde olacak şimdi iks koordinatını bu terimler belirleyecek yazıyorum ilk eşittir eksi bir aynı renkleri kullanayım artı eksi bir çarpıttı evet bu iks koordinat Kırmız ye koordinatını da Bunlar belirleyecek çünkü bunlar y koordinatları ye eşittir 2 artı eksi bir çarpı Ç ve son olarak Z koordinatını belirleyen terimlerde bu Eğer bu yüzden de Z koordinatını da yedi artı 3'te olarak yazıyor gördüğünüz gibi üç tane parametrik denklem elde ettik ve karede parametrik bir denklem elde etmiştik ama Cebir ders index türünden bir ye elde etmeyi görmüştük yani parametrik denklemler de çalışmıyordu crapped olduğumuzda ise bir doğruyu tanımlamanın tek yolu parametrik denklemler den geçer sadece xy&z yerlerden oluşan bir denklem imiz olursa mesela x artı y artı Z'nin herhangi bir saniye eşit olduğunu düşünelim evet bu bir doğru belirtmez bu detaylara rakipten bahsettiğimiz de gireceğiz ama bilin ki bu bir düzlem belirtir 3 boyutta bir doğru ya da bir eğri tanımlamanın tek yolu başka bir değişle 3 boyutta bir yolu tanımlamak istersem parametrik bir oy kullanmak zorundayım ya da yine 3 boyutta bir top atarsam ve top düz bir doğru üzerinde hareket ederse bu doğru da ancak parametrik bir denklemle tanımlanabilir bunların 3 boyuttaki bir doğrunun denklemleri olduğunu da düşünebilirsiniz Back Ala umarım sizin de hoşunuza gitmiş Hatta ilginizi çekmiştir Bu sayede doğrusal Cebir in daha önce görmediğiniz soruları çözüp yine daha önce görmediğiniz bazı durumlara da açıklık getireceğini görmüş olduğunuzu düşünüyorum Ayrıca burada sadece üç koordinat olması gibi bir şey de söz konusu değil isterseniz bunu 15 boyutta da yapabilirsiniz görsel olarak hayal bile edemeyeceğimiz 15 boyutta bir doğruyu ya da 15 boyutta iki noktayı birleştiren vektör kümesini tanımlamak için bile bunu kullanabiliriz