Vektör Üçgen Eşitsizliği

de bundan önceki videoda koş iş varsa eşitsizliğini görmüştük not ediyorum koş iş var eşitsizliği doğru telaffuz edemiyor olabilirim bilmiyorum Peki tam olarak ne olduğunu da yazmak istiyorum çünkü bu gerçekten de çok fazla kullanacağımız bir eşitsizlik her ne kadar doğru telaffuz edemezsek de bu eşitsizliğe göre elimizde R üzeri en elemanı olan iki vektör olduğunu düşüneceğiz bunları X ve Y vektörleri olarak adlandırılır Imm Ayrıca İkisi de sıfırdan farklı olmalı Isparta yaparken bunu bir varsayım olarak ele almıştık Eğer bu şekilde yapmasaydık büyüklerinden birine bölmemiz söz konusu olabilirdi ve bu da asla ve asla istemeyeceğimiz bir durum olurdu ikisinin de sıfırdan farklı vektörler olduklarını varsayarsak nokta çarpımlarının mutlak değerinin büyüklüklerinin çarpımından küçük ya da eşit olduğunu Evet gördük ve bu birkaç video önce gördüğümüz gibi x-back Börü'nün Bu da yemek türünün büyüklüğü bu Alışık olduğumuz bir sayı Bu da öyle demek istediğim bir vektörün büyüklüğünü değerlendiriyor Sak artık bu bir vektör değildir Mesela 50 boyutlu bir vektörün büyüklüğünü basit bir şekilde üçe eşit olabilir Color Bir de Anlaştık mı Evet bu durumda bu da skaler çarpımı oluyor Buna ek olarak bu eşitsizliğin bir eşitliğe döndü durumunda ixion yeğenin skaler bir katı olması halinde gerçekleştiğini de gördük bazı ders kitapları bunun sıfırdan farklı bir skaler olduğunu da söyler ancak exe beğenin sıfırdan farklı vektörler olduğunu varsaydığımız için ben bunu gereksiz buluyorum demek istediğim bu Eğer sıfır olursa ek Sıfıra eşit olur ve biz burada Eksen Sıfıra eşit olmadığını zaten varsaydık Ama isterseniz cehennemde sıfırdan farklı bir scholar olduğunu da ekleyebilir çok gerekli değil ve Buradan anlaşılıyor ama yine de yazıyorum Her neyse Eğer bu doğruysa x beğenin nokta çarpımının mutlak değerinin ilksin büyüklüğü çarpı yeğenin büyüklüğüne eşit olduğunu söyleyebiliriz şu ana kadar bir önceki videoda gördüklerimizin küçük bir tekrarını yaptık bununla başka neler yapabileceğimize bakalım şimdi bunun için bununla biraz oynayacağız Bu arada oynamak dedim ama yapacaklarımı Tabii ki de bilerek yaptığımızda eklemek istiyorum şimdi x artı yeğenin büyüklüğünü ele alalım iki vektörü birbiriyle toplayacağım bunun büyüklüğünü alıp birde büyüklüğünün karesini alacağım birkaç video önceden büyüklüğün karesinin vektörün kendisi ile nokta çarpımı olarak ifade edilebileceğini öğrenmiştik bunlar yani x artı y iki ayrı vektör gibi duruyor ama sonuç olarak iki vektörün toplamından bahsediyoruz Öyle değil mi demek istedi bu x artı y bir vektör ve istersek ilk sarti iyi bir bekler olarak çizebiliriz bu durumda ise artı yeğenin büyüklüğünün karesinde e x artı y ile x artı yeğenin nokta çarpımı olarak yazabiliriz Bunlar sayı değil vektör Tamam bu daha nokta çarpım yani Alışık olduğumuz çarpma işlemidir bundan önceki videolarda nokta çarpımı normal çarpma işlemi gibi dağılma birleşme ve değişme özellikleri olduğunu görmüştük başka bir değişle bunları binom olarak görüp dağılma özelliğini iki defa kullanarak bu çarpma işlemini yapabiliriz O halde hadi hemen yapalım eksi leixen nokta çarpımı ya da isterseniz dağılma özelliğini kullandığımızı da gösterecek şekilde yazayım ki neyin ne olduğunu iyice anlayalım o terimi sarıyla yazıyorum Evet bu iks ne bu 2x artı yeğenin nokta çarpıp artık Evet şimdi bu y ile E x artı y nin nokta çarpımı renk değiştirmek biraz zorlayıcı oluyor ama o şekilde bu işlemi yaparken dağılma özelliğini kullandığımızı açık bir şekilde görebiliyoruz Evet bu terim ve bunları birer birer çarpıp toplayacağız bundan sonra da bu parantezleri açarak dağılma özelliğini ikinci defa kullanmış olacağız işte şimdi renkleri dikkat etmem lazım bu iksle bu ixion nokta çarpımı Evet artık s ile yeğeni nokta çarpımı bu şekilde çok detaylı ve uzun olduğunun farkındayım ama bu sayede dağılma özelliğinin nokta çarpım için de geçerli olduğunu iyice pekiştirmiş oluyoruz tamam Burası bitti Sırada artı y ile ilksin nokta çarpımı Evet artı Sarıyer bu ve maviye nin nokta çarpımı exe Atiye'nin büyüklüğünün karesini bu şekilde ifade ettik yine bu renge döneyim Evet bu buna eşit ve bu da ilk sen iste nokta çarpı pekii X'in nokta çarpımı neye eşitti bu ilksin büyüklüğünün karesine eşittir Öyle değil mi Bu arada büyüklük yerine uzunlukta diyebiliriz devam ediyorum İlk seyinin nokta çarpımı veye ile ixion nokta çarpımı ilk de yeni nokta çarpımı ile y ile isim nokta çarpımının aynı şey olduğunu biliyoruz Evet nokta çarpım yaparken Aynen normal Çarpın gibi sıranın önemli olmadığını da bundan önceki videolarda görmüştük O halde bunlar aynıdır deyip ilki çarpık XL yeğenin nokta çarpımı olarak yazabilirim son olarak bir de yeğenin y ile nokta çarpımı var var bunun da ye vektörünün büyüklüğünün karesine eşit olduğunu biliyoruz şimdi bakalım koşuş var eşitsizliğini elde edebilecek miyiz Evet koş iş varsı doğru telaffuz edip etmediğinden de emin değilim Neyse Burada isleyenin nokta çarpımı var ama buradaki ilk size yeni nokta çarpımının mutlak değeri ama biz ilk söyleyen yanında çarpımının ilk seyinin nokta çarpımının mutlak değerinden küçük ya da eşit olması gerektiğini de biliyoruz neden diyecek olursanız bu negatif Olabilir Öyle değil mi Evet İsterseniz size sonucu negatif olan nokta çarpımı örnekleri gösterebilirim mesela ixion pozitif yeğenin de negatif terimleri olduğunu düşünürsek nokta çarpımları negatif olur bu negatif de olabilir pozitif de eğer pozitif SD mutlak değeri ne eşit olur Ama eğer negatifse bu mutlak değeri bundan kesinlikle ve kesinlikle büyük olacaktır O halde koşu varsa eşitsizliğine bir ekleme yapabilir Aslında bariz bir şey ama ilk seyrinin nokta çarpımının x yeni nokta çarpımının mutlak değerinden küçük ya da eşit olacağını ekleyebiliriz ve bu da ilk söyleyenin büyüklüklerinin çarpımından küçük ya da eşit olacaktır ilk Siz beğenin nokta çarpımları mutlak değerinden küçük ya da eşittir Aynı zamanda büyüklüklerinin çarpımından da o halde bu ifade hemen yazıyorum Bu ifadenin bu kısmına vektörlerin büyüklüklerini koyduğum versiyonundan küçüktür ya da eşittir Evet küçük ya da eşittir ilksin büyüklüğünün karesi artı ikide yazıyı Mehmet Hatta yeğenin büyüklüğünün karesini de bunun yerine ise bu iksi ile yeğenin nokta çarpımının mutlak değerinden küçük ya bu eşit olan Evet koş iş var eşitsizliğine göre vektörlerin büyüklüklerinin çarpımından da küçük eşit olması gerekir burada Bunun yerine büyüklüklerinin çarpımını koyabilirim ilksin büyüklüğü çarpı yeğenin büyüklük Evet bununla bu Bununla da bu eşit ve bu da bundan küçük ya da eşit olduğuna göre bu ifade de bundan küçük ya da eşittir şimdi ne yaptığımızdan bir kere daha bahsedeyim bunun buna eşit olduğunu söyledik bu durumda bu da bundan küçük ya da eşitse buraya bunu Yani ilk sarti yeğenin büyüklüğünün karesini yazabiliriz Evet ilk sartıyla Evet dürümün büyüklüğü ya da uzunluğunun karesi bundan küçük ya da eşittir Peki bu nedir etraflarına çizdiğimiz Çift çizgiler sayesinde son derece havalı görünen bu ifade Aslında sayılardan ibaret bir ifadedir mesela ixion büyük bu karesi Evet bu bir sayıdır ve bunlar sayı olduklarına göre Onun da bir tam kare olduğunu düşünebiliriz öyle değil mi sağ taraftaki ifade ilksin büyüklüğü artı yeğenin büyüklüğünün karesine eşittir bunun karesini alırsak aynen bu ifadeyi elde ederiz yani X'in büyüklüğünün karesi artı iki çarpı ikisinin büyüklüğü çarpı yeğenin büyüklüğü artı İyi yeğenim büyüklüğünün Kalesi ilk sartı ye vektörünün büyüklüğünün karesi küçük ya da eşit bu şimdi iki tarafın karekökünü de alırsak ilk sartı ye vektörünün büyüklük küçük ya da eşit ilk sektörünün büyüklüğü artı yere vektörün büyüklüğünü Evet bunu buluruz Bu da geometriden hatırlayacağınız ı düşündüğüm üçgen eşitsizliği olarak adlandırılır not ediyorum üçgen eşitsizliği buna neden 3G bu gizli dendiğini de merak ediyor olabilirsiniz bunların üçgenin kenarları olduklarını düşünürseniz Evet çizelim rekare de çizeceğim grafik çizme mi kolaylaştırmak için bu görüntüde kullanacağım Evet buraya çizelim önce x vektör x vektörü buna benzeyen bir vektör olsun ikiye 4 vektör ev İşte bu yere vektörü de toplamlarını alacağım için bunun bitiş noktasından başlasın ye vektörü standart olmayan formda olacak ama onun da böyle göründüğünü düşünelim Evet bu da ye vektör ümüz olsun bu durumda x artı y döndü de bu arada İki vektörü bu şekilde çizmeye bilirim ama bunların ve karede olduklarını varsayıyoruz zaten Önemli olan işin mantığını anlamak Öyle değil mi toplamları Sonuç olarak budur Evet yeğenin bitiş noktasını ixion başlangıç noktası ile birleştirilir semx Earth bu vektörünü elde etmiş olurum neden üçgen eşitsizliği olarak adlandırıldığını Şimdi daha iyi Anladınız mı Az önce bulduğumuz eşitsizliğe göre bu ya da bunun uzunluğu diyelim her zaman bu ikisinin uzunlukları toplamından küçük ya da eşit olacaktır iki boyutlu geometride bu son derece mantıklı bir çıkarım dır yani Bu noktadan bu noktaya varmak bu şekilde çok ama çok daha kolay ve kısadır öyle değil Peki bu uzunluğun bu ikisinin toplamına eşit olduğu durum hangisidir bu üçgeni genişlettiği mizde ek sektörünün buna hemen çiziyorum ekspektore böyle olsun yemek türü de aynı doğrultuda ve Eksen biraz daha uzun olsun bu exe Bu da yemek tür bu durumda iç x artı y buna eşit olur öyle değil mi Evet x artı y olarak noted bu ve bu da üçgen eşitsizliğinin aslında bir eşitlik olduğu durumdur eşittir işaretinin orada olmasının sebebi de zaten bu ilk sevmeyenin eş doğrusal oldukları uç bir durum bunun doğru olmasının sebebi ise burada yaptığımız matematik işlemlerine geri dönersek grafiği ile Şimdilik kapatalım bu noktada bunun bundan küçük ya da eşit olduğunu söylemiştik Ama bunun yerine bir varsayımda bulunmuş olsaydık ne olurdu mesela ilksin yeğenin bir skalerle çarpımı olduğunu varsayarsak no Şimdi burada dikkatli olmamız lazım Çünkü koş işi var eşitsizliğine göre eşitsizlik ilk senin sıfırdan farklı bir skalerle çarpımına eşit olduğunda eşitlik halini alıyordu sonra da bunu uygularsak x yeni nokta çarpımının mutlak değeri bunun aynısıdır ama burada mutlak değer yok Öyle değil mi yani bunun pozitif olup olmadığını bilmiyoruz mu o değerini aldığım için bu kesinlikle pozitif ama burada mutlak değer yok O halde bunun pozitif olduğundan yani bunun x yeğenin nokta çarpımının mutlak değerini eşit olduğundan emin olabilmenin tek yolu buradaki cenin pozitif olması gerektiğini söylemek Çünkü C pozitif s3x yeni nokta çarpımı C çarpı yeğleyen in nokta çarpımına eşit olur Ve bu da C çarpı yeğenin büyüklüğünün karesine eşittir bunun buna yani isleyenin nokta çarpımının mutlak değerini eşit olduğunu kabul etmenin tek yolu cenin pozitif olmasından yola çıkmaktır C negatifse bu pozitif olsa bile bu negatif olur O halde jager pozitif SX yeni nokta çarpımı ilkse yeni nokta çarpımının mutlak değeri ne eşit olur ve kaleler bir kat olduğu için de bu terimi X'in büyüklüğü artı yeğenin büyüklüğünün karesine eşit olur o Umarım kafanızı karıştırmış ımdır kısa bir özet yapmamı isterseniz x yeğenin scholar pozitif bir katı olduğunda burada küçüktür işareti ne gerek kalmaz Çünkü bu pozitif olduğu için ilk S yeni nokta çarpımı isleyenin nokta çarpımının mutlak değeri n eşittir ve eğer bu ilkse yeğenim nokta çarpımı mutlak değerini eşit ve bunlarda birbirinin skaner katı ise bunu da söyleyebiliriz demek istediğim çok da karıştırmak istemiyorum ama bunun buna eşit olduğu ve bu buna eşit olduğunda da bu küçüktür değil eşittir olur Son olarak bir de bu durum ilkse artı yeğenin büyüklüğü ilksin büyüklüğü artı yeğenin büyüklüğüne eşit bunun doğru olması için X'in yeğenin pozitif bu askerlerle çarpılmış hali olduğunu da ekleyelim ve CD pozitif bu çıkarımı iki yönlü de yapabiliriz Ayrıca geometrik olarak doğru olduğunu da gördük eksenler ekranda değiller ama x artı yeğenin uzunluğunu Nexen uzunluğu artık yeğenin uzunluğuna eşit olması için X ve Y nin eş doğrusal olmaları gerektiğini gördük dikkat edecek olursanız bununla bunun toplamı mesela burada bundan kesinlikle daha uzun ya da büyüktür ters yön bunları söyledikten sonra doğrusal Cebir in bir miktar saçma olduğunu düşünüyor olabilirsiniz üçgen eşitsizliğini 8. ya da 9'uncu sınıfta öğrenmiştik şimdi tüm bunları yapıp bunu bir daha gösterme gereksiniminden eden bulunduk acaba işin ilginç yanı da zaten bu buraya 8. ya da 9. sınıf geometri dersinde öğrendiğimiz şeyi çizdim yani burada rekare den bahsediyoruz Bunlar kartezyen koordinatlar boyut kelimesini daha önce tanımlanmadığı mız için oy kullanmak istemiyorum ama buradaki iki boyutlu Bir Uzay doğrusal cebel'in ilginç ya da faydalı yanı ise üçgen eşitsizliği oldukça büyük vektörler ya da çok daha fazla bileşeni olan vektörler içinde tanımlamış olmamız bu vektörler ve karede olmak zorunda değil bu durum R üzeri yüzde yani her birinin 100'er tane bileşeni olan vektörler için de geçerlidir tanımladığımız üçgen eşitsizliği kavramı ve bu sayede bunu iki boyutlu kartezyen uzayında ötesine taşınmış oldu 3 boyut bile değil En boyuttan bahsediyor boyutu ne anlama geldiğini henüz tanımlama dım ama bir fikir sahibi olmaya başlamış olmalısınız Her Neyse umarım faydalı bir video olmuştur şimdi de bu sonucu Hatta bu sonucu da kullanarak vektörler arasındaki açı kavramının ne olduğunu inceleyeceğiz bir yerde açıyı neden tanımlamamız gerekiyor diye düşünüyordu olabilirsiniz ya çok acı acı değildir Neden tekrar tanımlıyoruz ki Açının iki boyutta ne anlama geldiğini biliyoruz ama elimizde en boyutlu bir durum varsa ne olacak evet R üzeri and olduğumuzu Düşünsenize bundan sonraki videolarda size bundan bahsetmek istiyorum