2003 AIME II Sınav Soruları: Problem 3

Sadece A, B ve C harflerini kullanarak ve aşağıdaki noktalara dikkat ederek, 7 harfli kaç tane harf dizisi türetebilirsiniz? Neymiş, harflerden bazıları harf dizisinde yer almayabilir denmiş. A’dan sonra B gelemez, B’den sonra C gelemez, ve C’den sonra A gelemez. Evet, buna göre, 7 harfli kaç tane harf dizisi türetebiliriz? Biraz düşünelim. Kullanabileceğimiz harfler, A, B ve C. 7 harfin hepsi A, B ya da C olabilir. Ve harfler kullanılmayabilir, demişlerdi. A’dan sonra B gelemezse, A’dan sonra, A ya da C gelebilir. B’den sonra C gelemezse, B ya da A gelebilir. Ve C’den sonra da A gelemezse, B ya da C gelir! Peki, bu şekilde kaç tane 7 harfli harf dizisi türetilebilir? Çizmeye ne dersiniz? Gelin çizelim. 7 harf olacağı için, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tane yer olacak. Birinci harfle ilgili bir kısıtlama yok. Çünkü herhangi bir harften sonra gelmiyor. O halde, buraya, A, B ya da C koyabiliriz. Evet, ilk harf içini, 3 seçeneğimiz var. Şimdi sıra ikincide. Birinci harf için yapacağımız bu 3 seçimden her biri için, ikinci harf ne olabilir? Eğer bu bir A’ysa, ikinci harf, A ya da C olabilir. Çünkü A’dan sonra B gelemiyordu. Bu B’yse, B’den sonra C gelemeyeceği için, B ya da A gelecek. Ve eğer, bu C’yse, buraya sadece, B ya da C gelebilir. Yani birinci harf ne olursa olsun, İkinci harf için 2 seçeneğimiz var. Yazalım. Şöyle de düşünebilirsiniz. Bu harf ne olursa olsun burada harflerden biri eleniyor ve geriye 2 seçenek kalıyor. Üçüncü harf için de, ikinci harf ne olursa olsun, harflerden bir tanesini kullanamayacağız. Yani yine aynı şey olacak. Ve burada da yine 2 seçeneğimiz olacak. Bu şekilde devam edersek de, bu harflerin hepsi için, bu yerlerin bu boşlukların hepsi için 2 seçeneğimiz olduğunu görürüz. Burada 2 seçenek, burada da, 2 seçenek Burada da ve burada da. Hepsinde 2 seçenek. Peki, toplam kaç değişik harf dizisi elde ettik? 3 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 tane 2, yani 3 çarpı 2 üzeri 6! 3 çarpı, 2 üzeri 6. 2 üzeri 6. 32 çarpı 2’den, 64 eder, Ve çarpı 3, 180 artı 12 olarak düşürseniz, 192 eder! Evet, bu kurallara uyarak, 7 harfli, 192 tane harf dizisi elde edebilmişiz!