Matematik Dersinde Karalama: Sonsuz Filler

Evet, her gün bunu size yaptırdıkları için benim yerimde, matametik dersindesiniz. Ve diyelim ki, sonsuz serilerin toplamını öğreniyorsunuz. Bu lise konusu, değil mi? Aslında ilginç, çünkü ilgi çekici bir konu, ama nasıl yapıyorlarsa bunu berbat etmeyi başarıyorlar. Sanırım bunu müfredata koymalarının sebebi de bu. Kafanızı dağıtmak ihtiyacı hissetmişsiniz ve karalamalar yapıp serilerin çoğulunun ne olması gerektiği üzerine konu hakkında düşündüğünüzden daha fazla düşünüyorsunuz. "Serieses," "seriese" "series", "serii" (Ç.N.:İngilizce çoğulları hakkında düşünüyor.) Ya da tekil halinin değişmesi gerektiğini düşünüyorsunuz. Bir "serie", "serus" "serum"(Ç.N. İngilizce tekil hallerini düşünüyor) Bu "koyun"un tekilinin "kalın" olması gibi bir şey. Ama konuya dönersek, 1/2+1/4+1/8+1/16 vb. toplamı, bire yaklaşırken, sıra sıra dizilmiş birbnirinin kuyruğunu tutan filler çizmek istediğinizde size kolaylık sağlar: normal bir fil, genç bir fil bebek fil, köpek boyunda fil, enik boyunda fil Yüzlerce farklı fil. Ki bu oldukça harika bir durum, çünkü istediğiniz kadar, sonsuz sayıda fil çizebilirsiniz, ama yine de bir defter safasından taşamazsınız. Tab ii ki de şöyle sorular olacaktır: "Eğer fil yerine ondan daha küçük olan, ve sayfanın ancak 3'te birini kaplayan bir deve ile başlasaydık?" O zaman sayfanın sonuna bu filler gibi ulaşmak için, ikinci filimizin boyu ne kadar olmalıdır? Bu sorunun cevabını kesin bir şekilde hesaplayabilirsiniz, ve bunun mümkün olması ilgi çekicidir. Ama ben hesaplama konularını pek sevmem. Şimdilik develeri bırakırsak, Bu bir fraktal Bir çemberin içinde, bu çemberlerle başlıyorsunuz Ardından büyük çemberin en uygun boyuttaki halini, aradaki boşluklara çizmeye devam ediyorsunuz. Ve bunun adı da "Apollo'nun Contası" dır. Ardından farklı bir çember seti seçersiniz, ancak bu yine aynı şekilde tekrar eder. Bu bilinen bir durumdur, çünkü çizdiğimiz çemberlerin çevrelerinin oranı oldukça düzenlidir ve bir sistemi takip eder. Bu durum da ilgi çekicidir. Ancak böyle olması bu çizimi harika bir karalama oyununa çevirir. Birinci adım: Hekangi bir şey çiz. İkinci adım: Bunun içine çizebileceğin en büyük çemberi çiz. Üçüncü Adım: Kalan alana çizebileceğin en büyük çemberi çiz. Dördüncü Adım: Üçüncü adımı tekrarla. Çizdiğiniz çemberden sonra boş alan kaldığı sürece, ve bir çember ile başlamadığınız sürece, bu metod herhangi bir şekli bir fraktala çevirir. Bunu bir üçgenle yapabilirsiniz. bunu yıldızlarla da yapabilirsiniz, süslemeyi de unutmayın! Bunu fillerle, yılanlarla hatta herhangi bir arkadaşınızın profili ile de yapabilirsiniz. Ben Abraham Lincoln'ü seçtim. Harika. Peki, ya çemberlerden başka şekillerde? Örneğin eşkanar üçgenler. Diyelim, bu üçgeni diğer üçgenlerle doldurduk, ama dikkat içini doldurduğunuz üçgenlerin ters tarafa dönük olmaları gerekir. Ve bu da bizi "Sierpinski'nin Üçgeni" ne götürür. Ki bunu da Abraham Lincoln ile yapabilirsiniz. Hatta üçgen burada harika bir seçim olur. Ancak bu özel bir durumdur, ve üçgenlerle alakalı problem ise; her zaman tam oturmazlar. Örneğin bu düzensiz şekilde, En büyük eşkenar üçgen boş bir kenara sahip olur. Tabii, bu sizin karalama oyununuzu bozacak değildir. Ama bence üçgenler çemberler kadar zevkli olmaz. Veya diyelim ki üçgenin yönünü değiştirip, en büyük üçgeni yakalamaya çalıştınız. Ya da eşkenar yerine çeşitkenar üçgenler kullanmaya başladınız. Aslında çokkenar şekiller için bu oyun üzücü şekilde kısa sürer. Ama düzgün olmayan şekiller için, bu işlem daha da zorlaşır. En büyük üçgeni nasıl bulacaksınız? Eğer başlangıç şekliniz düzgün değilse, hangi üçgenin daha fazla alana sahip olduğu da açık değildir. Bu ilginç bir soru. Çünkü ortada bir cevap var. Eğer bir verilen bir şeklin içini başka şekillerle dolduracak bir bilgisayar programı yazacaksanız, en basit kuralları bile gözetseniz, işlemsel geometri öğrenmeniz gerekecektir. Eminim bu işi üçgenler kareler veya fillerle yapabilirsiniz. Ama çember burada mükemmeldir, çünkü tamamen yuvarlaktır. Ah, küçük bir soru: Bir çember üç nokta ile tanımlanabilir. Yan, üç nokta koyun, ve bunların içinde bulunduğu çemberi bulmaya çalışın Beni bu çember oyununda etkileyen şey, bir köşeniz var ise, biliyorsunuzdur ki, o köşeye giden sonsuz sayıda çember çizebilirsiniz. Ve bütün bu sonsuz çemberler için, daha fazla kenar yaratıp, her kenar için sonsuz sayıda çember çizebilirsiniz. Ve bu böyle devam eder. Yani, sınırsız çemberiniz yine sınırsız sayıda çember yaratmaya devam eder. Bu şekilde sonsuzun ne demek olduğunu anlayabilirsiniz. Bu ne kadar ilginç olsada, bu sonsuzluk sonsuzun en küçük halidir ve hala sonsuzun insanı şaşırtacak derecede büyük halleri vardır. Ama bir saniye, ilginç bir durum: Eğer bu uzunluğu "Bir birim" olarak kabul ederseniz. Bu uzunlukların toplamını sonsuz bir seri olarak bire yaklaşır. Ve bu farklı bir seri ama bu da bire yaklaşır. Ve bir başkası da... Çevreleyen şekil tanımlı olduğu sürece, seriler böyle olacaktır. Ama eğer "basit" türde seri istiyorsanız, hani her çemberin çevresinin diğerinin bellir bir katı olduğu. Düz çizgi elde edersiniz. Düz çizginin eğimini bildiğiniz için mantıklıdır. Bu güzel, çünkü deve sorunumuzu çözmemiz için matematiksel ve hesap yapmadığımız bir yöntemi bize sağlamış bulunuyor. Eğer develer yerine dairelerimiz varsa Sadece defteri kaplayan bir doğru çizerek sonsuz bir seri yapabiliriz. Dairelerin yerine develeri koyarsak, işte bu kadar! Sonsuz bir Sahra kervanı sonsuzlukta kaybolan, ve sayıları kullanmadan. Tamam, şimdi sizinle son cümlemde sonsuz bir bilgiyi paylaşmak istiyorum. Ama bu yinede önümüzdeki 5 saniyeye sığacaktır, tabii sonraki cümleyi iki katı hızla söylersem. (Sonraki cümleyi iki katı hızda söyler) (ve sonraki cümle... ince seste anlaşılmayan cümleler)