Wau: En Hayranlık Verici, Antik ve Tekil Sayı

Şimdi size pi sayısında daha havalı, altın orandan daha gizemli, e ya da i'den daha acayip bir sayı anlatacağım. Bugün bu sayının ne kadar inanılmaz olduğunu unutmuş gibi duruyoruz, gelgelelim pek çok antik kültür bu sayıyı biliyordu. Hatta bazıları ona tapıyordu. Pisagor, Batlamyus ve Elealı Zeno bunu biliyordu. Bu sayı Doğu Asya'da keşfedilmiştir, ve Aztekler tarafından bilindiğine dair kanıtlar vardır. Bugüne kadar duymuş olduğunuz sayılardan oldukça farklı; günümüz matematikçileri bu antik kavramdan gitgide daha çok etkileniyorlar, ve ben, bu sayının ne kadar ilgi çekici olduğunu göstermek istiyorum. Bu sayı için uygun bir isim, eski Yunan alfabesinden bir harf: digama. Bu harf, orijinalde "V" şeklinde okunmakta ve Vau olarak isimlendirilmektedir. Vau'yu ondalık gösterimle yazmak, sanıyorum ki, sayının doğasından bizi uzaklaştıracak olan yanıltıcı bir uygulama. Başka bir zorluk ise, bu sayıyı devirli ondalıklarla göstermek için birden fazla yöntem olması. Ne var ki, vau alışılmadık bir şekilde tanımlanabilir. Bu tuhaf oransal kırılmaya bakalım. Bunun neye eşit olduğunu nasıl buluruz? Bir şeye yakınsayıp yakınsamadığına bir bakalım. Eğer sadece tek bir katmana bakarsak, sonuç 2 üzeri 4 olacaktır, ya da, 1/2. İki katman olursa, 3/4 artı 1/4 , yani payda 4/4-- sonuç 2 bölü 1, ya da sadece 2. Bir katman daha eklersek-- 3 bölü 1, artı 1 bölü 1-- sonuç yeniden 2/4. Sonu olan bütün katman değerleri için, sonuç bunlardan biri olacak. Ne var ki, bu kesiri sonsuza uzattığımız durumda sonuç ne 2/1, ne de 1/2 çıkıyor. Sonuç, vau. İşte vau'yu yazmak için farklı bir yol. Vau eşittir 5/6 artı, 6'ya bölecek şekilde, 5/6 artı, 6'ya bölecek şekilde, 5/6 artı, 6'ya bölecek şekilde, 5/6, ve böyle devam ediyor. Vau'nun bu kesirsel sonsuzluğu enteresanşeyler yapmamızı sağlayacak. Mesela: vau üzeri vau, üzeri vau, üzeri vau... Ne var ki bu durum vau kadar vau'yu gösteriyor-- hepsi için böyle. Bunu nasıl telaffuz edeceğimi bile bilmiyorum ama vau'nun bu sonsuz üzerine alma durumu sonuçta yine vau oluyor. Yani sonuç, sadece vau! Ve vau diğer özel sayılarla da belirli bağıntılar içinde. Bir bakalım. Vau üzeri pi, üzeri vau, üzeri 2 pi, üzeri vau, üzeri 4 pi, üzeri vau, üzeri 8 pi... ve böyle devam ediyor. Bu şuna eşit: vau çarpı kök içinde vau, çarpı küp kök içinde vau... ve böyle devam ediyor. Demek istediğim şu ki, bu durum bir sayının i üzerini almaya çalışmaktan daha karışık değil. Mesela, e üzeri 2i çarpı pi vau'ya eşit oluyor. Bağlantılı bir şekilde, vau'yu kalkulusta da bulmak mümkün. e üzeri vau'nun türevi vau çarpı e'ye eşit! Ve e üzeri i, üzeri e çarpı i çarpı o, e üzeri vau, üzeri tau çarpı vau çarpı vau'ya eşit. Bunları logaritmalar yordamıyla çözmek isteyebilirsiniz, ne var ki bir sayının vau tabanına göre logaritması yoktur. Aynen bir sayıyı sıfıra bölmek gibi. İnsanlar altın oranın geometrisi üzerine konuşuyorlar, sanki özel bir durummuş gibi. Aslında oldukça normal. Normal sayılarla, bu oranı kullanarak rahat bir şekilde üçgen yapılabilir. Vau oranıyla ise, pek çok insanın üçgen demeyeceği bir şey elde ederiz. Tabii bir matematikçi işe teknik boyutta yaklaşacaktır. Ama eğer x ve y bir vau üçgeninin kenarlarıysa, yani eğer x bölü y vau'ya eşitse, o halde x artı x üzeri y, bölü y artı y üzeri x vau'ya eşittir. Ve eğer önceki ikisine bakacak olursam x üzeri x üzeri y-- ve aşağıda, y üzeri üzeri x-- bu vau'ya eşit. Ve şimdi, eğer sonraki ifadem için önceki ikiliye bakarsam, x üzeri y üzeri x üzeri x üzeri y, ve y üzeri x üzeri y üzeri y üzeri x-- bu da vau'ya eşit! Devam edip, bu, Fibonacci dizisiyle ilintili biçimde, tekrarlamayan modelleri elde edebilirsiniz. x bölü y'nin vau olduğu bütün durumlarda, x ve y ne olursa olsun, bu kesir vau olacaktır. Evet, vau harika bir sayı. Eşaçılı bir sarmalda, Fi açısını sağlayacak olursak sonunda "altın sarmal" dediğimiz şeye ulaşırız. Gayet anlaşılır. Ama durum vau için farklı. Eğer bunu vau açısıyla denersek, sarmal kendi içinde sonsuz kez kıvrılacak, bir kuantum "string"i gibi çöküme ve takılmalara uğrayacaktır. Vau, fizikte bile kendini gösterir. e üzeri vau, m çarpı c kare ile bölündüğünde, vau kare'ye eşittir. Vau kendini doğada her yerde gösterir. Her yerde! Bütün çiçekler, ve bütün ağaçlar vau'yu barındırır. Ama bunun hakkında konuşmaktansa, size daha acayip bir durum göstereceğim. Bir sayı üzeri kendini hayal edin. Üzeri kendi, üzeri kendi, sonsuza kadar, ve sonsuzun da ötesine. O kadar ötesi ki, üstler sayının köklerinin köklerinin köklerinin köklerinin-- sonsuzun ötesine, başlangıç noktasına dönene kadar devam eder. Bu standart matematik bazında mantıksız bir notasyon, ama eğer bu sayıyı vau kabul edersek, bu notasyonun sonucunun 1 olduğu ileri sürülebilir. Peki siz vau'nun hangi özelliklerini tahmin edebilirsiniz?