If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Ortalama Değişim Hızı ile İlgili Sözel Soru: Denklem

Ortalama değişim hızı, bize bir fonksiyonun belirli bir aralıkta belirli bir birim zamanda ne kadar değiştiğini verir. Bunun, gerçek hayatta pek çok uygulaması bulunur. Bu videoda, suyun ortalama sızma hızını, cebirsel bir ifadeyle temsil ediyoruz.

Video açıklaması

Kerime bir kovadaki suyu boşaltmak için kovaya delikler açmış. S(t), t saniye sonra kovada kalan su miktarını veriyor. ve S mililitre olarak ölçülüyor. Aşağıdaki cümleyi en iyi ifade eden eşitlik hangisidir? İlk 25 saniyede, kovada kalan su, kovada kalan su diyorlar, dikkat edin, evet, kovada kalan su, her saniye ortalama olarak 4 mililitre azalmış. Saniyede 4 mililitre. Önce, bu cümleyi biraz değiştirip farklı bir şekilde ifade edelim. Sonra da işin matematiksel boyutuyla ilgilenebiliriz. Ne demişler bir bakalım. İlk yirmi beş saniyede kovada kalan suyun, yani S’nin, ortalama değişim hızı, 4 mililitre. Her saniye, 4 mililitre azalmış. Eğer azalıyorsa, S’nin ortalama değişim hızı negatif olur. Her geçen saniye, S, 4 mililitre azalacak. Bunun için, buraya, Eksi 4 mililitre için ml, bölü saniye için de s yazdık. Eksi 4 mililitre bölü saniye. Şimdi soruya geri dönelim ve bunu matematiksel olarak ifade etmeye çalışalım. İlk 25 saniyede S’nin ortalama değişim hızı, Değişim hızı ne demektir? S’deki değişimin, zamandaki, yani t’deki değişime oranıdır. Başka bir deyişle, ilk 25 saniyede, S’nin ne kadar değiştiğini bulup, bunu t’deki değişime yani 25 saniyeye böleceğiz. Önce S’deki değişime bakalım. 25 saniye sonunda kovada kalan suyu, S(25) diye göstereceğim, Bundan, başlangıçtaki su miktarını, yani, S(0)’ı çıkaracağız ve tüm bunu, zamandaki değişime, 25’inci saniyede bitirdiğimiz için, 25 eksi, sıfırıncı saniyede başladığımız için de, sıfır, yani, 25 eksi sıfıra böleceğim. 25 eksi sıfır yerine, 25 yazabiliriz. Tekrar edeyim, bu ifade, ilk 25 saniyede S’nin ortalama değişim hızını veriyor. Bu şekilde yazdığımda daha açıktı, bu son durumdaki S, bu da başlangıçtaki S. Bu, ilgilendiğimiz zaman aralığının sonu, bu da başı. Paydayı sadeleştirip direkt 25 yazdık. Bunun, eksi 4 mililitre bölü saniye olduğunu da biliyoruz. Eşittir eksi 4. Eşitliğin sol tarafında, payın birimi mililitre, paydanın birimi de saniye, onun için sağ tarafın biriminin de mililitre bölü saniye olması mantıklı. Evet, bunu belirledik. Belirlediğimize göre, artık seçeneklere bakabiliriz. Ekranı şöyle kaydırayım ki en alttaki seçeneği de görebilelim. İşte bu! Evet, bu kesinlikle aradığımız sonuç! İşaretliyorum. Gözünüz buna da kayabilir çünkü birbirlerine bayağı benziyorlar ama dikkat edin, burada eksi 4 yerine 4 var. 4 ne demek? Bunu da düşünelim. Sizce, burada eksi 4 yerine 4 olması, ne anlama geliyor? Bunun pozitif olması için, bakın, pozitif bir sayıya böldüğümüz için, sonucun pozitif olması, ancak ve ancak buranın da pozitif olması halinde mümkündür. Bunun pozitif olabilmesi için de, 25 saniye sonra kovada kalan suyun, başlangıçtaki su miktarından fazla olması gerekir. Evet, bu çıkarma işleminin sonucunun pozitif olması için, bunun, bundan büyük olması gerekir. O zaman da, kova boşalıyor olamaz, değil mi? Doluyor olması lazım. Soruda, kovada kalan suyun her saniye 4 mililitre azaldığını söylediklerine göre, değişim hızının negatif olması lazım. Değişim hızının negatif olabilmesi için de, payın negatif olması gerekir ve bu da ancak, kovada kalan suyun ilk miktardan az olduğu durumda olabilir. Kısaca, bundan bu çıktığında, sonucun negatif olması lazım. Buradaki negatif değeri pozitif bir değere böldüğümüzde de, sonuç negatif olur. Matematiksel olarak doğru ve aynı zamanda mantıklı. Su azalıyorsa, suyun zamana göre değişim hızı da negatif olur.