If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Aritmetik Dizilerin Açık Gösterimi

3, 5, 7,... dizisi gibi aritmetik dizilerin açık formüllerinin nasıl bulunduğunu öğrenelim.
Bu dersi almadan önce, aritmetik dizi formüllerine ilişkin temel bilgiler konusuna hakim olduğunuzdan emin olun.

Açık formüller nasıl işler

İşte 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point dizisi için açık bir formül
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Formülde n herhangi bir terim sayısıdır ve a, left parenthesis, n, right parenthesis n, start superscript, start text, i, n, c, i, end text, end superscript terimdir.
Bu formül ilgilendiğimiz terimin sayısını koyup, terimin değerini bulmamızı sağlar.
Örneğin, beşinci terimi bulmak için, açık formüle n, equals, 5'i koymamız gerekir.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Süper! Bu, gerçekten 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point'nin beşinci terimidir

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis şeklinde verilen dizide b, left parenthesis, 10, right parenthesis'u bulun.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Açık formülleri yazma

5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point aritmetik dizisini düşünün. Dizinin birinci terimi start color #0d923f, 5, end color #0d923f'tir ve ortak fark start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6'tür.
Dizideki herhangi bir terimi, ilk terim olan start color #0d923f, 5, end color #0d923f'i alarak ve buna ortak fark olan start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6'ü tekrar tekrar ekleyerek bulabiliriz. Örneğin, ilk birkaç terimin aşağıda bulunan hesaplamasına göz atın.
nn. terim için hesaplama
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Tablo, birinci terim olan start color #0d923f, 5, end color #0d923f'i alarak ve n, minus, 1 kez sabit fark olan start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6'ü ekleyerek, n. terimi (burada n herhangi bir terim sayısıdır) elde edebileceğimizi göstermektedir. Bu, cebirsel olarak start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis şeklinde yazılabilir.
Genel olarak, birinci terimi start color #0d923f, A, end color #0d923f ve ortak farkı start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 olan bir aritmetik dizinin standart açık formülü budur:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Anlamış olduğunuzu kontrol edin

2) 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point dizisi için açık bir formül yazın.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point dizisi için açık bir formül yazın.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Bir dizinin açık formülü f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis'dir.
Dizinin birinci terimi nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Ortak fark nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Denk açık formüller

Açık formüller birçok şekilde ortaya çıkabilir.
Örneğin, aşağıdakiler 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point dizisinin açık formülleridir
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (bu standart formüldür)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Formüller farklı gözüküyor olabilir, ancak önemli olan şey bir n-değeri koyabilmemiz ve doğru n. terimi elde etmemizdir (diğer formüllerin doğru olduğunu kendiniz kontrol edin!).
Aynı diziyi tanımlayan farklı açık formüllere denk formüller denir.

Yaygın bir yanlış kanı

Bir aritmetik dizinin birbirine denk olan farklı formülleri olabilir, ancak sadece standart formun bize birinci terimi ve ortak farkı verdiğini hatırlamak önemlidir.
Örneğin, 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point dizisinin birinci terimi start color #0d923f, 2, end color #0d923f ve ortak farkı start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6'dır.
start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis açık formülü bu diziyi tanımlar, ancak start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n açık formülü başka bir diziyi tanımlar.
2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis formülünü A, plus, B, n formunda denk bir formül haline getirebilmek için, parantezleri açar ve sadeleştiririz:
=2+6(n1)=2+6n6=4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Bazı kişiler, 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis formülü yerine, daha kısa olduğu için minus, 4, plus, 6, n formülünü tercih edebilir. Daha uzun formülde hoş olan şey, bize ilk terimi veriyor olmasıdır.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

5) 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point dizisinin tüm doğru açık formüllerini bulunuz
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Zor problemler

6*) 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point aritmetik dizisinin 124, start superscript, start text, u, with, \", on top, n, c, u, with, \", on top, end text, end superscript terimini bulunuz.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) Bir aritmetik dizinin ilk terimi 5 ve onuncu terimi 59'dur.
Ortak fark nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.