If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik I

Konu: Matematik I > Ünite 11

Ders 1: Aritmetik Diziler
Matematik
Matematik I
Diziler
Aritmetik Diziler
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Aritmetik Dizilerin Formülleri

Google Classroom
Aritmetik dizilerin açık ve özyineli formüllerine ilişkin temel bilgileri öğrenelim.
Bu derse başlamadan önce, aritmetik dizilere ilişkin temel bilgiler, fonksiyonların değerini bulma ve fonksiyonların tanım kümesi konularını bildiğinizden emin olun.

Formül nedir?

Aritmetik diziler genelde şöyle tanımlanır:
3,5,7,…
Ancak, başka yollar da vardır. Bu derste, aritmetik dizileri temsil etmek için iki yeni yol öğreneceğiz: özyineli formüller ve açık formüller. Formüller, bize dizinin herhangi bir terimini nasıl bulacağımızı gösterir.
Formüllerde herhangi bir terim sayısını temsil etmek için n kullanılır ve dizinin n. terimini temsil etmek için a(n) kullanılır. Örnek olarak, 3,5,7,... dizisinin ilk birkaç terimi aşağıda verilmiştir.
na(n)
(Terim sayısı)(n. terim)
13
25
37
Yukarıda, formüllerin bize dizinin herhangi bir terimini bulmak için yön gösterdiğini belirtmiştik. Şimdi bunu şu şekilde tekrar yazabiliriz: formüller bize olası herhangi bir n için a(n)'i nasıl bulacağımızı söyler.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) 3, 5, 7,... dizisinde a(4)'ü bulun.
a(4)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

2) n. sıradaki terim için, a(n−1) neyi temsil eder?
1 cevap seçin:

Aritmetik dizilerin özyinelemeli formülleri

Özyinelemeli formüller bize iki parça bilgi verir:
  1. Dizinin birinci terimi
  2. Herhangi bir terimi ondan önce gelen terimden elde etmek için örüntü kuralı
Burada 3, 5, 7,... dizimizin özyineli formülü ve her parçanın yorumlanması bulunmaktadır.
{a(1)=3←Birinci terim üçtür.a(n)=a(n−1)+2←Bir önceki terime iki ekle.
Örneğin, beşinci terimi bulmak için, diziyi terim terim açmamız gerekir:
a(n)=a(n−1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
Güzel! Bu formül 3, 5, 7,... olarak tanımlanan diziyle aynı diziyi verir...

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Şimdi dizilerin terimlerini özyinelemeli formüllerini kullanarak bulma sırası sizde.
3, 5, 7,... dizisinin n. terimini temsil etmek için a(n) kullandığımız gibi, diğer dizileri temsil etmek için başka harfler kullanabiliriz. Örneğin, b(n), c(n) veya d(n) kullanabiliriz.
3) {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9 şeklinde verilen dizide b(4)'ü bulunuz.
b(4)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

4) {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17 şeklinde verilen dizide c(3)'ü bulunuz
c(3)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

5) {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4 şeklinde verilen dizide d(5)'i bulun.
d(5)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

Aritmetik dizilerin açık formülleri

İşte 3, 5, 7,... için açık bir formül.
a(n)=3+2(n−1)
Bu formül ilgilendiğimiz terimin sayısını koyup, terimin değerini bulmamızı sağlar.
Örneğin, beşinci terimi bulmak için, açık formüle n=5'i koymamız gerekir.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Bak şu işe, öncekiyle aynı sonucu elde ettik!

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

6) b(n)=−5+9(n−1) şeklinde verilen dizide b(10)'u bulun.
b(10)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

7) c(n)=20−17(n−1) şeklinde verilen dizide c(8)'i bulun.
c(8)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

8) d(n)=2+0,4(n−1) şeklinde verilen dizide d(21)'i bulun.
d(21)=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

Diziler fonksiyondur

Dikkat ederseniz, bu derste kulandığımız formüller, fonksiyonlar gibi çalışır: Bir terim sayısı, n, gireriz ve bu terimin değerini, a(n), verirler.
Diziler aslında fonksiyonlar olarak tanımlanır. Bununla birlikte, n herhangi bir gerçek sayı değer olamaz. Bir dizinin eksi beşinci terimi veya 0,4. terimi olmaz.
Bu, dizilerin tanım kümesinin (fonksiyonun tüm olası girdilerinin kümesi) pozitif tam sayılar yani sayma sayıları olduğu anlamını taşır.

Notasyonla ilgili bir not

Biz örneğin dördüncü terimi temsil etmek için a(4) yazmaktayız, ancak başka kaynaklarda bazen a4 yazıldığını da görebilirsiniz.
Bu gösterimlerin ikisi de geçerlidir. Biz, dizilerin fonksiyonlar olduğunu vurgulaması nedeniyle a(4)'ü tercih ediyoruz.

Düşündürücü soru

9) Aritmetik bir dizinin 100. terimini bulmak için hangi tür formül daha faydalıdır?
1 cevap seçin:

Zor problem

10) Bir aritmetik dizinin açık formülüf(n)=3−4(n−1)'dir.
Dizideki hangi terim -65'e eşittir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi
sıradaki terim.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.