If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Aritmetik Dizilerin Formülleri

Aritmetik dizilerin açık ve özyineli formüllerine ilişkin temel bilgileri öğrenelim.
Bu derse başlamadan önce, aritmetik dizilere ilişkin temel bilgiler, fonksiyonların değerini bulma ve fonksiyonların tanım kümesi konularını bildiğinizden emin olun.

Formül nedir?

Aritmetik diziler genelde şöyle tanımlanır:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Ancak, başka yollar da vardır. Bu derste, aritmetik dizileri temsil etmek için iki yeni yol öğreneceğiz: özyineli formüller ve açık formüller. Formüller, bize dizinin herhangi bir terimini nasıl bulacağımızı gösterir.
Formüllerde herhangi bir terim sayısını temsil etmek için n kullanılır ve dizinin n. terimini temsil etmek için a, left parenthesis, n, right parenthesis kullanılır. Örnek olarak, 3,5,7,... dizisinin ilk birkaç terimi aşağıda verilmiştir.
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(Terim sayısı)(n. terim)
13
25
37
Yukarıda, formüllerin bize dizinin herhangi bir terimini bulmak için yön gösterdiğini belirtmiştik. Şimdi bunu şu şekilde tekrar yazabiliriz: formüller bize olası herhangi bir n için a, left parenthesis, n, right parenthesis'i nasıl bulacağımızı söyler.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) 3, 5, 7,... dizisinde a, left parenthesis, 4, right parenthesis'ü bulun.
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) n, point sıradaki terim için, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis neyi temsil eder?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Aritmetik dizilerin özyinelemeli formülleri

Özyinelemeli formüller bize iki parça bilgi verir:
  1. Dizinin birinci terimi
  2. Herhangi bir terimi ondan önce gelen terimden elde etmek için örüntü kuralı
Burada 3, 5, 7,... dizimizin özyineli formülü ve her parçanın yorumlanması bulunmaktadır.
{a(1)=3Birinci terim u¨çtu¨r.a(n)=a(n1)+2Bir o¨nceki terime iki ekle.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{Birinci terim üçtür.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{Bir önceki terime iki ekle.}} \end{cases}
Örneğin, beşinci terimi bulmak için, diziyi terim terim açmamız gerekir:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Güzel! Bu formül 3, 5, 7,... olarak tanımlanan diziyle aynı diziyi verir...

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Şimdi dizilerin terimlerini özyinelemeli formüllerini kullanarak bulma sırası sizde.
3, 5, 7,... dizisinin n. terimini temsil etmek için a, left parenthesis, n, right parenthesis kullandığımız gibi, diğer dizileri temsil etmek için başka harfler kullanabiliriz. Örneğin, b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis veya d, left parenthesis, n, right parenthesis kullanabiliriz.
3) {b(1)=5b(n)=b(n1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases} şeklinde verilen dizide b, left parenthesis, 4, right parenthesis'ü bulunuz.
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) {c(1)=20c(n)=c(n1)17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases} şeklinde verilen dizide c, left parenthesis, 3, right parenthesis'ü bulunuz
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) {d(1)=2d(n)=d(n1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0,4 \end{cases} şeklinde verilen dizide d, left parenthesis, 5, right parenthesis'i bulun.
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Aritmetik dizilerin açık formülleri

İşte 3, 5, 7,... için açık bir formül.
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Bu formül ilgilendiğimiz terimin sayısını koyup, terimin değerini bulmamızı sağlar.
Örneğin, beşinci terimi bulmak için, açık formüle n, equals, 5'i koymamız gerekir.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Bak şu işe, öncekiyle aynı sonucu elde ettik!

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

6) b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis şeklinde verilen dizide b, left parenthesis, 10, right parenthesis'u bulun.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis şeklinde verilen dizide c, left parenthesis, 8, right parenthesis'i bulun.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis şeklinde verilen dizide d, left parenthesis, 21, right parenthesis'i bulun.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Diziler fonksiyondur

Dikkat ederseniz, bu derste kulandığımız formüller, fonksiyonlar gibi çalışır: Bir terim sayısı, n, gireriz ve bu terimin değerini, a, left parenthesis, n, right parenthesis, verirler.
Diziler aslında fonksiyonlar olarak tanımlanır. Bununla birlikte, n herhangi bir gerçek sayı değer olamaz. Bir dizinin eksi beşinci terimi veya 0,4. terimi olmaz.
Bu, dizilerin tanım kümesinin (fonksiyonun tüm olası girdilerinin kümesi) pozitif tam sayılar yani sayma sayıları olduğu anlamını taşır.

Notasyonla ilgili bir not

Biz örneğin dördüncü terimi temsil etmek için a, left parenthesis, 4, right parenthesis yazmaktayız, ancak başka kaynaklarda bazen a, start subscript, 4, end subscript yazıldığını da görebilirsiniz.
Bu gösterimlerin ikisi de geçerlidir. Biz, dizilerin fonksiyonlar olduğunu vurgulaması nedeniyle a, left parenthesis, 4, right parenthesis'ü tercih ediyoruz.

Düşündürücü soru

9) Aritmetik bir dizinin 100. terimini bulmak için hangi tür formül daha faydalıdır?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Zor problem

10) Bir aritmetik dizinin açık formülüf, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis'dir.
Dizideki hangi terim -65'e eşittir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
sıradaki terim.