Eğim ile İlgili Daha Çok Örnek

Bu videoda eğim problemleriyle ilgili birçok örnek yapacağım. Bu videoda ileride işimize yarayacak bir dolu şey öğreneceğiz Eğimin tanımı bununla başlayalım Eğimin tanımı şudur y'deki değişimin x'teki değişime bölümüdür. Bu size şu an birşey ifade ediyor yada etmiyor olabilir Ama daha çok örnek çözdükçe, aklınıza yatacağını düşünüyorum. Şimdi ilk doğrumuzu buraya çizelim. Doğru a olsun. Bunun eğimini bulalım. Bunlar genellikle bizim referans noktalarımız olarak kullanabileceğimiz iki noktayla çizilir. O zaman önce, bu doğruların koordinatlarına bakalım. Burada bu nokta var. Bunun koordinatları ne? x koordinatı 3 y koordinatı 6. Ve burada bu noktanın x koordinatı eksi 1 ve y koordinatı eksi 6. Burada eğime ulaşmak için birkaç yol var. Birisi, doğrudan formülü kullanmaktır. Diyebiliriz ki y'deki değişim yani eğim y'deki değişim bölü x'teki değişimdir. Bunu sayı olarak hesaplayabiliriz. Birazdan bunun grafiğini çizeceğim. Şimdi, y'deki değişim nedir? y'deki değişim, tam anlamıyla y değerlerimizin bu noktadan o noktaya giderken y ekseni üzerinde yaptığı mesafenin değeridir. Peki y'miz ne kadar değişmiş? Bizim y buradan gitmiş buradan başlamış y -6'dan +6'ya kadar olan tüm yolu gitmiş. Peki aradaki mesafe ne kadardır? Bu sizin bitiş noktasındaki y değeriniz yani 6 eksi başlangıç noktanızdaki y değeriniz olacak. yani bu demek oluyor ki 6 eksi -6 yani 6 + 6 o da 12'ye eşittir. Bunu sayarak da bulabilirdiniz. Bir, iki, üç, dört, beş altı, yedi, sekiz, dokuz, on, on bir, on iki. evet y değerimiz 12 birimlik bir değişime uğramış ki x değerimizi de bir şeyle değiştirmeliyiz peki x'teki değişim nedir? x eşittir -1'den x eşittir 3'e kadar gideceğiz değil mi. x -1'den 3'e kadar gitti. Bitiş noktasına ulaştık yani 3 eksi başlangıç noktası ki başlangıç noktası da -1, yani sonuç 4'e eşittir. Yani y'deki değişim bölü x'teki değişim eşittir 12/4 ya da eğer biz bunu en basit haliyle yazmak istersek, 3'tür. Bunun anlamı şudur sanırım yazarsam daha iyi olacak burada yazalım y'deki değişim bölü x'teki değişim eşittir 3 yani 3 bölü 1. Bu da, pozitif x doğrultusunda gittiğimiz her birimde yukarı doğru 3 birim hareket etmiş olacağız çünkü bu y doğrultusunda gidilen bir 3 anlamına gelir. Bunu görebilirsiniz. x'te 1 ilerlediğimizde, y'de 3 ilerledik. Yani y'de 3 yukarı çıktık. Eğer x doğrultusunda 2 birim ilerlerseniz y'de de 6 ilerleyeceksiniz. 6 bölü 2, 3 ile aynı şeydir. Yani bu 3 bize x arttıkça yukarıya doğru ne kadar hızlı ilerleyeceğimizi söylüyor. Aynı şeyi bu grafikteki ikinci çizgi için yapalım. Grafik b. Aynı mantık. Bize verdikleri noktaları kullanacağım. Ama aslında bu doğrudaki herhangi bir noktayı kullanabilirsiniz. Şimdi bakalım, burada bir noktamız var, ki o da 0'a 1 noktası. Ve sonra başlama noktası -buna bitiş noktası da diyebiliriz- başlangıç noktası burada x -6, y -2'ymiş diyebiliriz. Yani aynı mantık. x'teki değişime göre y'deki değişim nedir? O zaman öncelikle x'teki değişimi bulalım X'teki değişim nedir? Bu durumda, x'teki değişim yani delta x. Bunu sayarak bile bulabiliriz. Bir, iki, üç, dört, beş, altı. Yani bu altı olacak. Ama eğer üzerinden sayabileceğiniz bir grafiğiniz yoksa bitiş x pozisyonunuzu alabilirsiniz, bu 0'dır ve bunu başlangıç x pozisyonunuzdan x koordinatından çıkartabilirsiniz. 0 eksi eksi 6. x'teki değişiminiz 6 iken y'deki değişim nedir? Hatırlayın, bunu bitiş pozisyonumuz olarak alıyoruz. Bu da bizim başlangıç pozisyonumuz. 0 eksi değişim 6'yı alıyoruz. Sonra y üzerinde, 1 eksi eksi 2 işlemini yapmalıyız 1 eksi -2 nedir? 1 eksi -2 3'e eşittir Yani bu 3 bölü 6 ya da başka sadeleşmiş haliyle 1/2 dir. Farkına varmamız gereken şey, x doğrultusunda 6 ilerlediğimizde y'de 3 birim yukarı çıktık. Yani y'deki değişim 3'tü ve x'teki değişim 6'ydı. Şimdi, birçok insanın kafasını karıştıran şeylerden biri bu işin hangi sırayla olduğu 0'ın ilk, -6'nın ikinci sonra da 1'in ilk -2'nin ikinci olduğunu nasıl anlayacağım?? cevap şu sırayı bozmadığınız sürece istediğiniz düzende yapabilirsiniz. Yani y'deki değişim bölü x'teki değişim olarak da yapabiliriz. -2 eksi 1'e eşit olacağını söylemiştik İlk olarak bu koordinatı kullanıyoruz. y bölü -6 eksi 0 için eksi 2 eksi 1. Bunun aynısının negatif hali olduğunu fark etmeliyiz. Bu negatif hali. Ama negatif bölü negatifimiz olduğundan, birbirlerini götürecekler. Yani bu işlem negatif 3 bölü negatif 6'ya eşit olacak Negatifler birbirini götürür. Sonuç 1/2'ye eşit olur. Önemli olan eğer ilk olarak y koordinatlarını kullanırsanız sonra bu x koordinatlarını da kullanmanız gerekecek. Eğer bizim burada yaptığımız gibi ilk olarak bu y koordinatlarını kullanırsanız -burada yaptığınız gibi- bu x koordinatlarını da ilk kullanmanız gerekecek. Sadece y'deki ve x'teki değişikliklerin aynı başlangıç ve bitiş noktalarını kullandığınızdan emin olmanız gerekiyor Bunu açıklamak için, x'teki her -6 birimlik değişim için- Yani eğer x'te -6 gidersek, yani geriye doğru gidiyor y'de -3 gideceğiz. Temel olarak aynı şey. Bu doğrunun eğimi 1/2. Söylediği şey, x'te yaptığımız her 2 birimlik gidişte, y'de 1 birim çıkıyoruz. Ya da x'te 2 birim geriye gittiğimizde, y'de 1 birim iniyoruz. 1/2'lik bir eğimin anlamı budur. Farkettiyseniz, 1/2'lik bir eğimi olan bir doğru eğimi 3 olan bir doğruya göre daha az diktir. Bunlardan birkaç tane daha yapalım. Burada c doğrusunu yapalım. Pembe renkte yapacağım. Başlangıç noktası diyelim ki bunu rastgele seçiyorum Burada çizilmiş olan noktaları kullanıyorum. Başlangıç noktasının koordinatları eksi 1,6 ve bitiş noktamın koordinatları 5, eksi 6. eğimimiz -şuraya yazayım- y'deki değişim bölü x'teki değişim. Bazen yükselti bölü ilerleme de denir buna. İlerleme yatay doğrultuda ne kadar gittiğindir. Yükselti dediğimiz şey de dikey doğrultuda ne kadar gittiğimizdir. y'deki değişimimiz: y'deki bitiş noktamız eksi başlangıç noktamız diyebiliriz. Bu bizim y'deki bitiş noktamız. Bu da y'deki başlangıç noktamız bölü x'teki bitiş noktamız eksi x'teki başlangıç noktamız.8) Eğer bu kafanızı karıştırıyorsa, söylediğim şey, bunun y'deki bitiş noktamız eksi 6 eksi başlangıç noktamız olacağı yani 6 bölü x'teki bitiş noktamız ki o da 5, eksi başlangıç noktamız o da negatif o da eksi 1'dir.. Bu eksi 6 eksi 6 yani -12 demektir. 5 eksi eksi 1 de 6' dır. Sonuç -12/6. Bu negatif 2'yle aynı şeydir. Burada negatif bir eğimimiz olduğuna dikkat edin. Bunun nedeni ise x her 1 birimlik hareketinde, y doğrultusunda aşağı iniyor. Yani bu aşağı doğru bir eğim. Üst soldan sağ alta gidiyor. x arttıkça y azalıyor. Bu neden negatif bir eğimimiz olduğunun sebebi. Burada doğrunun pozitif bir eğimi olması gerekir. Bunu doğrulayalım. Burada kullandıkları noktaların aynısını kullanacağım. Yani bu d doğrusu. eğim yükselme bölü ilerlemeye eşittir. Bu noktadan o noktaya giderken ne kadar yükseliyoruz? Görelim. Bunu bu yolla yapabiliriz. Yükseliyoruz bunu sadece sayacağım. Bir, iki, üç, dört, beş, altı yükseliyoruz. 6 yükseliyoruz. Ne kadar ilerliyoruz? Bunu farklı bir renkte yapalım. Bir, iki, üç dört, beş, altı ilerliyoruz. Yani eğimimiz 6/6, ki bu da eşittir 1. Bu, x doğrultusunda her 1 birim gidişimizde yani pozitif 1 gittiğimizde y doğrultusunda da pozitif 1 gideceğiz demektir. Gittiğimiz her x için eğer x doğrultusunda negatif 2 gidiyorsak y doğrultusunda da negatif 2 gideceğiz. Yani x'te ne yapıyorsak y'de de aynısını yapacağız. Bunun gayet basit olduğunu fark etmişsinizdir. Eğer bunu matematiksel olarak yapmak isteseydik, buradaki koordinatı çözebilirdik. Bunu başlangıç pozisyonumuz olarak görebiliriz. Başlangıç pozisyonumuz eksi 2, eksi 4. Bitiş pozisyonumuz 4'e 2. Yani eğimimiz, y'deki eğim bölü x'teki eğim. 2 eksi eksi 4 bölü 4 eksi eksi 2 Tamam bu noktalarını alacağım. 2 eksi eksi 4 6'dır. Bunun sadece buradaki uzaklık olduğunu unutmayın. Sonra 4 eksi eksi 2, bu da 6'dır. Bu da buradaki uzaklık. Eğimi bulduk. Başka bir tane yapalım. Başka bir çift yapalım. Burada bir e doğrusu yapalım. y'deki değişim bölü x'teki değişim yine. Yani y'deki değişimimiz, bu noktadan o noktaya gidersek Bunu sayacağım. Bu; bir iki, üç, dört, beş altı, yedi, sekizdir. Hatta bunu sadece y koordinatlarını alsaydınız 2 eksi eksi 6 olarak alsaydınız da size 8 birimlik bir uzaklık verecekti. x'teki değişim nedir? x değeri burada 4'tür. Buradaki x değeri 4'tür. x sapmıyor. Yani 8/0. 8/0 tanımsızdır. Yani bu durumda bu eğim tanımsızdır. Bir dikey doğrunuz olduğu zaman eğim tanımsızdır. Çünkü 0'a bölüyorsunuz. Ama bu size dik bir doğruyla uğraştığınızı söyler. Şimdi son olarak bir de bunu yapalım. Bu problem çok kolay bir eğim gibi görünüyor. Tam burada bu noktanız var, ki o da 3,1 noktası. Yani bu f doğrusu. 3,1 noktanız var. Sonra, burada -6, -2 noktalarınız var. Sapmamız y'deki eğime eşit olacak.) Bunu bitiş noktamız olarak alacağım, sadece değişik doğrultularda ilerleyebilin diye. Yani y'deki değişim bu doğrultuda aşağı doğru gideceğiz. Bu eksi 2 eksi 1. Bu, tam buradaki uzaklıktır. -2 -1 bu da -3'e eşittir. Aşağı doğru 3 birim ilerlediğimizi fark etmişsinizdir. Ve sonra x'teki değişimimiz ne olacak? O miktara geri dönüyoruz. O miktar nedir? Bu -6 olacak bu da bitiş noktamız -3 tamam sonuç -9. Geriye doğru gittiğimiz her 9 birimde aşağıya doğru 3 birim ilerliyoruz. Eğer 9 geri gidersek, 3 aşağı iniyoruz. Bu da 9 ileri gidersek, 3 yukarı çıkacağımızı söylemekle aynı şey. Ve bunların birbirini götüreceği ve 1/3'lük bir eğimimizin olacağını görüyoruz yani + Pozitif 1/3. Bu yükselen eğime sahip bir doğru. Yükselen eğim Her 3 ilerlediğimizde, 1 yükseliyoruz. Her 3 ilerlediğimizde, 1 yükseliyoruz. Her neyse, umarım bu size eğimler konusunda güzel bir tekrar olmuştur.