If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Karmaşık Sayılarda Çarpma

(1+2i)⋅(3+i) gibi iki karmaşık sayıyı nasıl çarpacağınızı öğrenelim.
Bir karmaşık sayı, start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıdır, burada i imajiner birimdir ve start color #1fab54, a, end color #1fab54 ve start color #11accd, b, end color #11accd gerçek sayılardır.
Karmaşık sayılarla çarparken, gerçek sayılarla aritmetik işlemleri yaparken kullandığımız özelliklerin, karmaşık sayılar için de benzer şekilde geçerli olduğunu hatırlamak yararlıdır.
Bazen, i'yi bir değişken olarak düşünmek (x gibi) yararlıdır. Sonra, sadece en sonda birkaç düzenlemeyle istediğimiz gibi çarpabiliriz. Örnekler yaparak bunu daha yakından görelim.

Gerçek bir sayıyı bir karmaşık sayıyla çarpmak

Örnek

minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis'yi çarpın. Elde ettiğiniz sonucu a, plus, b, i formunda yazın.

Çözüm

Eğer içgüdüleriniz size minus, 4'ü dağıtmanızı söylüyorsa, haklısınız! Şimdi bunu yapalım!
4(13+5i)=4(13)+(4)(5i)=5220i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
Budur! Bir gerçek sayıyı bir karmaşık sayıyla çarpmak için dağılma özelliğini kullandık. Şimdi biraz daha karmaşık bir şey deneyelim.

Yalın imajiner bir sayıyı bir karmaşık sayıyla çarpmak

Örnek

2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis'yi çarpın. Elde ettiğiniz sonucu a, plus, b, i formunda yazın.

Çözüm

Gene, 2, i'yi parantezin içindeki terimlerin her birisine dağıtarak başlayalım.
2i(38i)=2i(3)2i(8i)=6i16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
Bu noktada, cevap a, plus, b, i formunda değildir, çünkü i, squared içermektedir.
Bununla birlikte, start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine koyalım ve bize ne verdiğine bakalım.
2i(38i)=6i16i2=6i16(1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Değişme özelliğini kullanarak cevabı 16, plus, 6, i şeklinde yazabiliriz ve böylece 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i elde ederiz.

Anlamış olduğunuzu kontrol edin

Problem 1

3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis'yi çarpın.
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.

Problem 2

minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis'yi çarpın.
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.

Şahane! Şimdi daha fazlasına adım atmaya hazırız! Sıradaki, karmaşık sayıları çarpmanız istendiğinde karşılaşacağınız daha tipik bir durum.

İki karmaşık sayının çarpılması

Örnek

left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis'yi çarpın. Elde ettiğiniz sonucu a, plus, b, i formunda yazın.

Çözüm

Bu örnekte, bazı kişiler i'yi bir değişken olarak düşünmeyi oldukça yararlı bulur.
Aslında, bu iki karmaşık sayıyı çarpma süreci, iki binomu çarpmakla oldukça benzerdir! Her sayıdaki ilk terimi, ikinci sayıdaki her terimle çarpın.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10 olduğundan, istenen a, plus, b, i formunu elde etmek için i, squared yerine minus, 1 koyarabiliriz.
(15i)(6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(1)=5+21i4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Problem 3

left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis'yi çarpın.
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.

Problem 4

left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis'yi çarpın.
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.

Problem 5

left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis'yi çarpın.
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.

Problem 6

left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis'yi çarpın.
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.

Zor problemler

Problem 1

a ve b gerçek sayılar olsun. left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis nedir?

Problem 2

Belirtilen işlemi yapın ve sadeleştirin. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Cevabınızı a, plus, b, i formunda yazın.