Ana içerik

Konu: Matematik II > Ünite 3

Ders 8: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Kareler Farkı

İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Kareler Farkı

"Kareler farkı" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmayı, örneğin, x²-16'yı (x+4)(x-4) olarak yazmayı öğrenelim.

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.

Bu makalede, belirli polinomları çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanmayı öğreneceğiz. Eğer kareler farkı formülünü bilmiyorssanız, lütfen devam etmeden önce videomuzu izleyin.

Giriş: Kareler farkı formülü

Kareler farkı olan her polinom aşağıdaki formül uygulanarak çarpanlara ayrılabilir:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Dikkat ederseniz, formüllerde

a

b

herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin,

a = x

and

b = 2

için bunu elde ederiz:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

x^{2} - 4

polinomu şimdi çarpanlarına ayrılmış formunda,

(x + 2) (x - 2)

şeklinde ifade edilmiştir. Çarpanlara ayırmayı doğrulamak için, bu denklemin sağ tarafını açabiliriz:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Şimdi bu formülü anladığımıza göre, bunu birkaç polinomu daha çarpanlarına ayırmak için kullanalım.

Örnek 1: $x^{2} - 16$ ‍'yı çarpanlara ayırma

Hem

x^{2}

hem

16

tamkaredir, çünkü

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

'dir. Başka şekilde ifade edersek:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

İki kare çıkarılıyor olduğundan, bu polinomun bir kareler farkını temsil ettiğini görebiliyoruz. Bu ifadeyi çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanabiliriz:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Bizim durumumuzda,

a = x

b = 4

'tür. Dolayısıyla, polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Yaptıklarımızı, bu iki çarpanın çarpımının

x^{2} - 16

olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) $x^{2} - 25$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

2) $x^{2} - 100$ ‍'ü çarpanlarına ayırın.

Düşündürücü soru

3) $x^{2} + 25$ ‍'i çarpanlara ayrmak için kareler farkı formülünü kullanabilir miyiz?

Örnek 2: $4 x^{2} - 9$ ‍'u çarpanlara ayırma

Kareler farkı formülünü kullanmak için, başkatsayının

1

'e eşit olması gerekmez. Aslında, kareler farkı formülü burada kullanılabilir!

Bunun nedeni hem

4 x^{2}

hem

9

'un tamkare olmasıdır, çünkü

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

'dir. Bu bilgiyi, polinomu kareler farkı formülünü kullanarak çarpanlara ayırmak için kullanabiliriz:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Çarparak yapılacak hızlı bir kontrol, cevabımızı doğrular.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

4) $25 x^{2} - 4$ ‍'ü çarpanlarına ayırın.

5) $64 x^{2} - 81$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

6) $36 x^{2} - 1$ ‍'i çarpanlarına ayırın.

Zor problemler

7*) $x^{4} - 9$ ‍'u çarpanlarına ayırın.

Hem

x^{4}

hem

9

tamkaredir, çünkü

x^{4} = (x^{2})^{2}

9 = (3)^{2}

'dir. Terimler çıkarılıyor olduğundan, polinomu çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanabiliriz.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

İkinci dereceden olmayan polinomları çarpanlara ayırmak için, kareler farkı formülünü kullanabileceğimize dikkat edin. Polinom iki karenin farkı olarak ifade edilebiliyorsa, bu formülü kullanabiliriz!

8*) $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍'yi çarpanlarına ayırın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 3

Giriş: Kareler farkı formülü

Örnek 1: x2−16‍ 'yı çarpanlara ayırma

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Düşündürücü soru

Örnek 2: 4x2−9‍ 'u çarpanlara ayırma

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Zor problemler

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: $x^{2} - 16$ ‍'yı çarpanlara ayırma

Örnek 2: $4 x^{2} - 9$ ‍'u çarpanlara ayırma