Örnek: İkinci Dereceden İfadeleri (x+a)(x+b) Şeklinde Çarpanlarına Ayırma

Bunun gibi ikinci dereceden denklemleri nasıl çarpanlara ayırabileceğimizi daha iyi anlayabilmek için çeşitli örnekler üzerinden gideceğiz. Bu ifadeyi ve bu ifadeyi çarpanlarına ayıracağız ve umarım bu size bunlara benzer ifadeleri nasıl çarpanlara ayıracağınız konusunda bir altyapı kazandıracak. x artı bir şeyi, x artı başka bir şey ile çarparsak neler olacağına bakalım. Eğer bunları çarparsam ne elde ederim? Elde edeceğimiz şey x kare artı ax artı bx ki bu a artı b çarpı x ile aynı şey olacaktır artı a çarpı b olur. Buradaki iki örneğimizde de olan bu metoddan bu metoda gitmek isterseniz yapmanız gereken şeyler, x teriminin katsayısını bulmak, toplamları bu katsayıya eşit çıkacak iki sayı bulmak , sabit terimi bulmak ve çarpımları bana bu sabit terimi verecek, deminkilerle aynı iki sayıyı bulmaktır. O zaman bunu burada uygulayalım. Burada, toplamları eksi on dördü yani x'in katsayısını çarpımları ise kırkı verecek bir a ile b bulabilir miyiz? İki durumda da işe yarayacak a ve b sayıları neler olabilir? Üzerine biraz düşünelim ve diyelim ki 4 çarpı 10 eşittir 40'dır. Ama bunların toplamları artı 14 edeceğinden, bu işe yaramaz. Peki, ikisini de eksi yaparsak ne olur? Eğer elimizde eksi 4 artı eksi 10 varsa, bunun sonucu da eksi 14 olur. Eksi 4 ile eksi 10'u çarparsak da, sonucu artı pozitif 40 olur. Buradaki sayının ve buradaki sayının artı olmaları, size a ve b'nin işaretlerinin aynı olacağını gösterir. Buraya yazayım. Eğer bu sayı eksi olsaydı, yani eksi 40 olsaydı a ve b'nin işaretleri de farklı olurdu. Dolayısıyla bu iki sayının toplamı eksi bir sayı veriyorsa, bu iki sayının da eksi olduğunu gösterir. Eğer buraya dönersek, a eksi 4 b de eksi 10 olacaktır ve çarpanlara ayırma işlemimiz tamamlanmış olacaktır. Bu ifadeyi x artı eksi 4 çarpı x artı eksi 10 şeklinde veya başka bir şekilde yazarsak x eksi 4 çarpı x eksi 10 şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz. Şimdi bunu burada da uygulayalım. Burada x teriminin katsayısını verebilecek bir a artı b ne olabilir? Burada x teriminin katsayısı eksi 1'dir. Aynı zamanda bu a ve b sayılarının hangi durumda eksi 12'yi verebileceğini bir düşünelim. İlk aklımıza gelen şu çarpımları eksi bir sayı verdiği için bu sayıların işaretlerinin farklı olcağını görebiliriz değil mi buraya yazayım. Yani biri pozitif diğeri de negatif olcaktır. Yani biri artı diğeride eksi olcaktır ve bu sayıları topladığımda da bana eksi 1'i vermeleri gerekiyor. O zaman çarpanları eksi 12'yi verecek iki sayı düşünelim. Mesela, bir tanesi 3 olsun diğeri de eksi 4. Nasıl bu işe yarar gibi görünüyor değil mi. Eğer a 3 olursa, 3 artı eksi 4 işleminin sonucu eksi 1 eder. Eğer 3 ile eksi 4'ü çarparsak, bu da bize eksi 12'yi verecektir. Bu işe yarıyor. Gördüğünüz gibi bu tamamen bir deneme yanılma meselesi. Eğer burada eksi 3 artı 4 deseydik burada işe yaramazdı. Ya da 2 ile 6'yı veya 2 ile eksi 6'yı deneseniz, bu sonuç için yine işe yaramazdı çünkü aradığınız sayıların toplamı eksi 1'i vermeli. Ama burada a ile b'nin ne olduklarını ne olabileceklerini bulduğumuza göre, bu ifadenin çarpanlara ayrılmış halini de bulabiliriz. Bu da, x artı 3 çarpı x artı eksi 4 veya kısaca x eksi 4 olacaktır. Bu kadar kolay.