If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 3

Ders 10: İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayırma Stratejileri
Matematik
Matematik II
Çarpanlara Ayırma
İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayırma Stratejileri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Herhangi Bir Formdaki İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlara Ayıralım

Google Classroom
Herhangi bir formda verilen ikinci dereceden ifadeleri çarpanlara ayırmak için, ikinci dereceden ifadelerin çarpanlarına ayrılmasına ilişkin öğrendiklerimizin tümünü birleştirelim.

Bu ders için bilmeniz gerekenler

Bu derste aşağıdaki çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılacaktır:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede, herhangi bir formdaki ikinci dereceden ifadeleri tamamen çarpanlara ayırmak için bu yöntemleri bir araya getirme alıştırması yapacaksınız.

Giriş: Çarpanlara ayırma yöntemlerinin gözden geçirilmesi

YöntemÖrnekNe zaman uygulanabilir?
Ortak çarpanları dışarı alma= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Eğer polinomdaki her terimin ortak bir çarpanı varsa.
Toplam-çarpım formülü= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Eğer polinom x, squared, plus, b, x, plus, c formundaysa ve c'nin toplamları b olan çarpanları varsa.
Gruplama yöntemi= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Eğer polinom a, x, squared, plus, b, x, plus, c formundaysa ve a, c'nin toplamları b olan çarpanları varsa.
Tam kare üç terimliler= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Eğer ilk ve son terim tam kareyse ve ortadaki terim bunların kareköklerinin çarpımının iki katı ise.
İki kare farkı=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Eğer ifade iki kare farkını temsil ediyorsa.

Tümünü birleştirirsek

Pratikte, bir problemle karşılaştığınızda size hangi çarpanlara ayırma yöntemini/yöntemlerini kullanacağınız nadiren söylenir. Dolayısıyla, çarpanlara ayırma sürecini kolaylaştırmanıza yardımcı olması için bir kontrol listesi geliştirmeniz önemlidir.
Böyle bir kontrol listesinin bir örneği burada verilmektedir, bu listede ikinci dereceden polinomun nasıl çarpanlara ayrılacağını belirlemek için bir dizi soru sorulmaktadır.

İkinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırma

Herhangi bir çarpanlara ayırma problemine başlamadan önce, ifadenizi standart formda yazmak faydalı olur.
Durum bu olduğunda, aşağıdaki soru listesiyle devam edebilirsiniz:
Soru 1: Ortak bir çarpan var mıdır?
Eğer cevabınız hayır ise, Soru 2'ye geçin. Eğer evet ise, EBOB çarpanını dışarı alın ve Soru 2 ile devam edin.
Çarpanlara ayırma sürecinde EBOB çarpanını dışarı almak çok önemli bir adımdır, çünkü sayıların daha küçük olmasını sağlar. Bu da, bağlantıları görmemizi kolaylaştırır!
Soru 2: Bir kareler farkı var mı (örneğin x, squared, minus, 16 veya 25, x, squared, minus, 9 gibi)?
Eğer bir kareler farkı formu oluşursa, a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis formülünü kullanarak çarpanlara ayırın. Eğer oluşmazsa, 3. soruya geçin.
Soru 3: Bir tamkare üç terimli var mı (örneğin x, squared, minus, 10, x, plus, 25 veya 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 gibi)?
Eğer bir tamkare üç terimli varsa, a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared formülünü kullanarak çarpanlara ayırın. Eğer yoksa, Soru 4'e geçin.
Soru 4:
a.) x, squared, plus, b, x, plus, c formunda bir ifade var mıdır?
Eğer hayır ise, Soru 5'e geçin. Eğer cevabınız evet ise, b) şıkkına geçin.
b.) c'nin toplamları b olan çarpanları var mıdır?
Eğer evet ise, toplam-çarpım formülünü kullanarak çarpanlara ayırın. Aksi takdirde, ikinci dereceden ifade daha fazla çarpanlara ayrılamaz.
Soru 5: a, c'nin toplamları b olan çarpanları var mıdır?
Eğer buraya kadar geldiyseniz, ikinci dereceden ifade a, x, squared, plus, b, x, plus, c formunda olmalıdır, burada a, does not equal, 1. Eğer a, c'nin toplamları b olan çarpanları varsa, gruplama yöntemini kullanarak çarpanlara ayırın. Eğer yoksa, ikinci dereceden ifade daha fazla çarpanlara ayrılamaz.
Bu kontrol listesini takip etmek, ikinci dereceden ifadeyi tamamen çarpanlara ayırdığınızdan emin olmanıza yardımcı olacaktır!
Bunu aklımızda tutalım ve birkaç örnek deneyelim.

Örnek 1: 5, x, squared, minus, 80'i çarpanlara ayırma

İfadenin zaten standart formda olduğuna dikkat edin. Kontrol listesine devam edebiliriz.
Soru 1: Ortak bir çarpan var mıdır?
Evet. 5, x, squared ve 80'in EBOB'u 5'tir. Bunu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Soru 2: Bir kareler farkı var mı?
Evet. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Aşağıda görüldüğü gibi, polinomu çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanabiliriz.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
İfadede artık ikinci dereceden terim yoktur. Polinomu çarpanlara tamamen ayırdık.
Sonuç olarak, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Örnek 2: 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9'u çarpanlara ayırma

İkinci dereceden ifade gene standart formdadır. Kontrol listesine başlayalım!
Soru 1: Ortak bir çarpan var mıdır?
Hayır. 4, x, squared, 12, x ve 9'un ortak çarpanı yoktur. Sıradaki soru.
Soru 2: Bir kareler farkı var mı?
Hayır. Bir x terimi olduğundan bu kareler farkı olamaz. Sonraki soru.
Soru 3: Bir tamkare üç terimli var mı?
Evet. İlk terim bir tamkaredir, çünkü 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared'dir vr son terim bir tamkaredir çünkü 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Ayrıca, ortadaki terim karesi alınan sayıların çarpımının iki katıdır, çünkü 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis'tür.
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayırmak için, tamkare üç terimli formülünü kullanabiliriz.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Sonuç olarak, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Örnek 3: 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared'yi çarpanlara ayırma

Bu ikinci dereceden ifade şu an standart formda değildir. Bunu 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 olarak tekrar yazabilir ve sonra kontrol listesinden devam edebiliriz.
Soru 1: Ortak bir çarpan var mıdır?
Evet. 3, x, squared, 12, x ve 63'ün EBOB'u 3'tür. Bunu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Soru 2: Bir kareler farkı var mı?
Hayır. Sonraki soru.
Soru 3: Bir tamkare üç terimli var mı?
Hayır. 21'in bir tamkare olmadığına dikkat edin, dolayısıyla bu bir tamkare üç terimli olamaz. Sıradaki soru.
Soru 4a: x, squared, plus, b, x, plus, c formunda bir ifade var mı?
Evet. Elde edilen ikinci dereceden ifade x, squared, plus, 4, x, minus, 21 bu formdadır.
Soru 4b: c'nin toplamları b olan çarpanları var mıdır?
Evet. Özellikle, minus, 21'in toplamları 4 olan çarpanları vardır.
7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 and 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4 olduğundan, aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Sonuç olarak, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Örnek 4: 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10'u çarpanlara ayırma

Bu ikinci dereceden fadenin zaten standart formda olduğuna dikkat edin.
Soru 1: Ortak bir çarpan var mıdır?
Evet. 4, x, squared, 18, x ve 10'un EBOB'u 2'dir. Bunu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Soru 2: Bir kareler farkı var mı?
Hayır. Sonraki soru.
Soru 3: Bir tamkare üç terimli var mı?
Hayır. Sıradaki soru.
Soru 4a: x, squared, plus, b, x, plus, c formunda bir ifade var mı?
Hayır. İkinci dereceden çarpandaki başkatsayı 2'dir. Sonraki soru.
Soru 5: a, c'nin toplamları b olan çarpanları var mıdır?
Elde edilen ikinci dereceden ifade 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5'tir ve dolayısıyla 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10'un toplamları 9 olan çarpanlarını arıyoruz.
left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 ve left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9 olduğundan, cevap evettir.
Şimdi orta terimi minus, 1, x, plus, 10, x olarak yazabilir ve çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanabiliriz:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Ortadaki terimi ayırın=2((2x2−1x)+(10x−5))Terimleri gruplayın=2(x(2x−1)+5(2x−1))EBOB’ları dışarı alın=2(2x−1)(x+5)2x−1 çarpanını dışarı alın\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Ortadaki terimi ayırın}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Terimleri gruplayın}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{EBOB'ları dışarı alın}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{$2x-1$ çarpanını dışarı alın}}} \end{aligned}

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16'yı çarpanlarına tamamen ayırın.
1 cevap seçin:

2) 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300'ü çarpanlarına tamamen ayırın.

3) 72, x, squared, minus, 2'yi çarpanlarına tamamen ayırın.

4) 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15'i çarpanlarına tamamen ayırın.
1 cevap seçin:

5) 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8'i çarpanlarına tamamen ayırın.

6) 56, minus, 18, x, plus, x, squared'yi çarpanlarına tamamen ayırın.

7) 3, x, squared, plus, 27'yi çarpanlarına tamamen ayırın.
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.