Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare

"Tamkare" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmayı, örneğin, x²+6x+9'u (x+3)² olarak yazmayı öğrenelim.
Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.
Bu makalede, tamkare üç terimlileri özel formülleri kullanarak nasıl çarpanlara ayıracağımızı öğreneceğiz. Bu, bir iki terimlinin karesini alma sürecini tersine çevirir, dolayısıyla devam etmeden önce bunu iyice anlamak isteyeceksiniz.

Giriş: Tamkare üç terimlileri çarpanlarına ayırma

Herhangi bir iki terimliyi açmak için, aşağıdaki formüllerden birisini uygulayabiliriz.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Dikkat ederseniz, formüllerde a ve b herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin, (x+5)2'yi açmak istediğimizi varsayalım. Bu durumda, a=x ve b=5'tir ve bunu elde ederiz:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
Bu formülü, çarpmayı kullanarak (x+5)2'yi açarak kontrol edebilirsiniz.
Bu açma sürecinin tersi, çarpanlara ayırmanın bir türüdür. Eğer denklemleri ters sırayla tekrar yazarsak, a2±2ab+b2 formundaki polinomları çarpanlara ayırmak için formüller elde edeceğiz.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
x2+10x+25'i çarpanlara ayırmak için ilk formülü kullanabiliriz. Burada a=x ve b=5'tir.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
Bu formdaki ifadeler tamkare üç terimliler olarak adlandırılır. İsim, bu tip üç terimli polinomların, bir tamkare olarak ifade edilebileceğini belirtir.
Bu formülü kullanarak tam kare üç terimlileri çarpanlarına ayırdığımız birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1: x2+8x+16'yı çarpanlara ayırma

Hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin: x2=(x)2 ve 16=(4)2'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin: 2(x)(4)=8x.
Bu bize polinomun bir tamkare üç terimli olduğunu söyler, dolayısıyla aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü kullanabiliriz.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
Bizim durumumuzda, a=x ve b=4'tür. Polinomumuzu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
Yaptıklarımızı (x+4)2'yi açarak kontrol edebiliriz:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) x2+6x+9'u çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

2) x26x+9'u çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

3) x2+14x+49'u çarpanlarına ayırın.

Örnek 2: 4x2+12x+9'u çarpanlara ayırma

Bir tamkare üç terimlinin başkatsayısının 1 olması şart değildir.
Örneğin, 4x2+12x+9'da hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin: 4x2=(2x)2 ve 9=(3)2'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin: 2(2x)(3)=12x.
Bu yukarıdaki koşulları sağladığından, 4x2+12x+9 bir tamkare üç terimlidir. Aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü tekrar uygulayabiliriz.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
Bizim durumumuzda, a=2x ve b=3'tür. Polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Yaptıklarımızı (2x+3)2'yi açarak kontrol edebiliriz.

Anlamış olduğumuzu kontrol etme

4) 9x2+30x+25'i çarpanlarına ayırın.
1 cevap seçin:

5) 4x220x+25'i çarpanlarına ayırın.

Zor problemler

6*) x4+2x2+1'i çarpanlarına ayırın.

7*) 9x2+24xy+16y2'yi çarpanlarına ayırın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

  • Erol Yurt kullanıcısının avatarı old spice man green style
    Zor problemler kısmındaki sorularda "toplam-çarpım yöntemi" veya "başkatsayı x sabit terim" yönteminin uygulanamadığını fark ettim. Dolayısıyla bir konuya ne kadar farklı yaklaşım uygulanabilirse, ne kadar farklı yaklaşım bilinirse sanırım o kadar iyi:D
    (1 oy)
     kullanıcısının avatarı Default Khan Academy avatar
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.