If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 4

Ders 6: İkinci Dereceden Denklemleri Tam kareye Tamamlama Yöntemiyle Çözelim
Matematik
Matematik II
İkinci Dereceden İfadeler
İkinci Dereceden Denklemleri Tam kareye Tamamlama Yöntemiyle Çözelim
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci Dereceden Denklemleri Tam kareye Tamamlama Yöntemiyle Çözelim

Google Classroom
Örnek: x²+6x=-2'yi, önce (x+3)²=7 şeklinde yazarak, sonra da karekökünü alarak çözebiliriz.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste öğrenecekleriniz:

Şimdiye kadar, ikinci dereceden denklemleri ya karekök alarak ya da çarpanlarına ayırarak çözdünüz. Bu yöntemler, uygulanabildikleri durumlarda, nispeten basit ve yeterlidir. Ne yazık ki, her zaman uygulanamazlar.
Bu derste, ikinci dereceden herhangi bir denklemi çözmek için bir yöntem öğreneceksiniz.

İkinci dereceden denklemleri kareye tamamlayarak çözme

x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2 denklemini düşünün. Burada karekök ve çarpanlara ayırma yöntemleri uygulanabilir değildir.
Ancak ümidimizi kaybetmeyelim! Kareye tamamlama' yöntemini kullanabiliriz. Çözümle başlayalım ve sonra dikkatle bir daha gözden geçirelim.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=79 toplayın, kareyi tamamlama.(3)(x+3)2=7Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın.(4)(x+3)2=±7Kareko¨k alın.(5)x+3=±7(6)x=±7−33 çıkarın.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{9 toplayın, kareyi tamamlama.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Karekök alın.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{3 çıkarın.}\end{aligned}
Sonuç olarak, çözümler x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 ve x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3'tür.

Burada neler oldu?

Satır start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd'deki x, squared, plus, 6, x'e 9 eklemek, ifadenin left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared olarak çarpanlara ayrılabilen bir tamkare olması sonucunu doğurduğu için şanslıydık. Bu, denklemi karekök alarak çözmemizi sağladı.
Bu tabii ki tesadüf değildi. 9 sayısı, ortaya çıkacak ifadeyi tamkare yapacak şekilde özenle seçildi.

Kareyi nasıl tamamlıyoruz?

9'un nasıl seçildiğini anlamak için, kendimize şu soruyu sormalıyız: Eğer x, squared, plus, 6, x tamkare bir ifadenin başlangıcıysa, sabit terim ne olmalıdır?
İfadenin left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared tam kare şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini varsayalım, burada a sabitinin değeri hala bilinmemektedir. Bu ifade x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared şeklinde açılır ve bu bize iki şeyi anlatır:
  1. x'in katsayısı, ki bunun 6 olduğunu biliyoruz, 2, a'ya eşit olmalıdır. Bu, a, equals, 3 olacağını gösterir.
  1. Eklememiz gereken sabit sayı a, squared'ye eşittir, yani 3, squared, equals, 9'dur.
Kendiniz birkaç tam kare tamamlamayı deneyin.
x, squared, plus, 10, x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

x, squared, minus, 2, x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi

Zor soru

x, squared, plus, b, dot, x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
1 cevap seçin:

Bu zor soru, tamkareye tamamlamak için bize bir kısayol verir (kısayol seven ve ezberlemekten kaçınmayanlar için). b herhangi bir sayı olmak üzere, x, squared, plus, b, x'i tam kareye tamamlamak için, left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared eklememiz gerektiğini gösterir.
Örneğin, x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x'i tam kareye tamamlamak için, buna left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 ekledik.

Denklemleri bir kez daha çözme

Tamamdır! Artık sertifikalı bir tam kare tamamlayıcı olduğunuza göre, denklem çözme işlemine geri dönelim ve öğrendiğimiz yöntemi kullanalım.
Yeni bir örneğe, x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12 denklemine bakalım.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=1325 toplayın, kareyi tamamlama.(3)(x−5)2=13Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın.(4)(x−5)2=±13Kareko¨k alın.(5)x−5=±13(6)x=±13+55 toplayın.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{25 toplayın, kareyi tamamlama.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Karekök alın.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{5 toplayın.}\end{aligned}
Sol taraftaki orijinal ifade olan x, squared, minus, 10, x'i tam kare yapmak için, satır start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd'de 25 ekledik. Denklemlerde her zaman yaptığımız gibi, aynı şeyi sağ taraf için de yaptık, böylece sağ taraf minus, 12'den 13'e çıktı.
Genel olarak, tam kareye tamamlamak üzere ekleyeceğimiz sayı denklemin sağ tarafına bağlı değildir, ancak bu sayıyı daima iki tarafa da eklememiz gerekir.
Şimdi bunun gibi denklemler çözmek için sıra sizde.
x, squared, minus, 8, x, equals, 5'i çözün.
1 cevap seçin:

x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction'ü çözün.
1 cevap seçin:

Tam kareye tamamlamadan önce denklemi düzenleme

Kural 1: Değişken terimleri sabit terimden ayırın

x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 denkleminin çözümü böyledir:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1x çıkarın .(3)x2+4x=76 toplayın.(4)x2+4x+4=114 toplayın, kareyi tamamlama.(5)(x+2)2=11Çarpanlara ayırın.(6)(x+2)2=±11Kareko¨k alın.(7)x+2=±11(8)x=±11−22 çıkarın.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{x çıkarın }.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{6 toplayın.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{4 toplayın, kareyi tamamlama.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Çarpanlara ayırın.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Karekök alın.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{2 çıkarın.}\end{aligned}
Denklemin bir tarafını tam kareye tamamlamak, diğer tarafta bir x terimi varsa yardımcı olmaz. Satır start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995'de x terimini çıkarmamızın ve değişken terimlerin tümünü denklemin sol tarafına almamızın nedeni budur.
Ayrıca, x, squared, plus, 4, x'i bir tamkareye tamamlamak için buna 4 eklemeliyiz. Ancak bunu yapmadan önce sabit terimlerin hepsinin denklemin diğer tarafında olduğundan emin olmalıyız. Satır start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff'te 6 eklememizin ve x, squared, plus, 4, x'i tek başına bırakmamızın nedeni buydu.

Kural 2: x, squared'nin katsayısının 1'e eşit olduğundan emin olun.

3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 denkleminin çözümü böyledir:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−143 ile bo¨lu¨n.(3)x2−12x+36=2236 toplayın, kareyi tamamlama.(4)(x−6)2=22Çarpanlara ayırın.(5)(x−6)2=±22Kareko¨k alın.(6)x−6=±22(7)x=±22+66 toplayın.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{3 ile bölün.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{36 toplayın, kareyi tamamlama.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Çarpanlara ayırın.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Karekök alın.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{6 toplayın.}\end{aligned}
Tamkareye tamamlama yöntemi sadece x, squared'nin katsayısı 1 olduğunda işe yarar.
Bu nedenle, start color #ca337c, left parenthesis, 2, point, right parenthesis, end color #ca337c satırda x, squared'nin katsayısına, yani 3'e böldük.
Bazen x, squared'nin katsayısıyla bölmek, diğer katsayıların kesir olmasına sebep olur. Bu, yanlış bir şey yaptınız demek değildir; sadece denklemi çözmek için kesirlerle işlem yapmanız gerekeceği anlamına gelir.
Şimdi bunun gibi bir denklemi çözmek için sıra sizde.
4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0'ı çözün.
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.