If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

İkinci Dereceden Denklemleri Tam kareye Tamamlama Yöntemiyle Çözelim

Örnek: x²+6x=-2'yi, önce (x+3)²=7 şeklinde yazarak, sonra da karekökünü alarak çözebiliriz.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Şimdiye kadar, ikinci dereceden denklemleri ya karekök alarak ya da çarpanlarına ayırarak çözdünüz. Bu yöntemler, uygulanabildikleri durumlarda, nispeten basit ve yeterlidir. Ne yazık ki, her zaman uygulanamazlar.
Bu derste, ikinci dereceden herhangi bir denklemi çözmek için bir yöntem öğreneceksiniz.

İkinci dereceden denklemleri kareye tamamlayarak çözme

x2+6x=2 denklemini düşünün. Burada karekök ve çarpanlara ayırma yöntemleri uygulanabilir değildir.
Ancak ümidimizi kaybetmeyelim! Kareye tamamlama' yöntemini kullanabiliriz. Çözümle başlayalım ve sonra dikkatle bir daha gözden geçirelim.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=79 toplayın, kareyi tamamlama.(3)(x+3)2=7Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın.(4)(x+3)2=±7Karekök alın.(5)x+3=±7(6)x=±733 çıkarın.
Sonuç olarak, çözümler x=73 ve x=73'tür.

Burada neler oldu?

Satır (2)'deki x2+6x'e 9 eklemek, ifadenin (x+3)2 olarak çarpanlara ayrılabilen bir tamkare olması sonucunu doğurduğu için şanslıydık. Bu, denklemi karekök alarak çözmemizi sağladı.
Bu tabii ki tesadüf değildi. 9 sayısı, ortaya çıkacak ifadeyi tamkare yapacak şekilde özenle seçildi.

Kareyi nasıl tamamlıyoruz?

9'un nasıl seçildiğini anlamak için, kendimize şu soruyu sormalıyız: Eğer x2+6x tamkare bir ifadenin başlangıcıysa, sabit terim ne olmalıdır?
İfadenin (x+a)2 tam kare şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini varsayalım, burada a sabitinin değeri hala bilinmemektedir. Bu ifade x2+2ax+a2 şeklinde açılır ve bu bize iki şeyi anlatır:
  1. x'in katsayısı, ki bunun 6 olduğunu biliyoruz, 2a'ya eşit olmalıdır. Bu, a=3 olacağını gösterir.
  1. Eklememiz gereken sabit sayı a2'ye eşittir, yani 32=9'dur.
Kendiniz birkaç tam kare tamamlamayı deneyin.
x2+10x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • 0,75 gibi bir tam ondalık sayı
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

x22x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • 0,75 gibi bir tam ondalık sayı
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

x2+12x ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • basit kesir, 3/5 gibi

Zor soru

x2+bx ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?
1 cevap seçin:

Bu zor soru, tamkareye tamamlamak için bize bir kısayol verir (kısayol seven ve ezberlemekten kaçınmayanlar için). b herhangi bir sayı olmak üzere, x2+bx'i tam kareye tamamlamak için, (b2)2 eklememiz gerektiğini gösterir.
Örneğin, x2+6x'i tam kareye tamamlamak için, buna (62)2=9 ekledik.

Denklemleri bir kez daha çözme

Tamamdır! Artık sertifikalı bir tam kare tamamlayıcı olduğunuza göre, denklem çözme işlemine geri dönelim ve öğrendiğimiz yöntemi kullanalım.
Yeni bir örneğe, x210x=12 denklemine bakalım.
(1)x210x=12(2)x210x+25=1325 toplayın, kareyi tamamlama.(3)(x5)2=13Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın.(4)(x5)2=±13Karekök alın.(5)x5=±13(6)x=±13+55 toplayın.
Sol taraftaki orijinal ifade olan x210x'i tam kare yapmak için, satır (2)'de 25 ekledik. Denklemlerde her zaman yaptığımız gibi, aynı şeyi sağ taraf için de yaptık, böylece sağ taraf 12'den 13'e çıktı.
Genel olarak, tam kareye tamamlamak üzere ekleyeceğimiz sayı denklemin sağ tarafına bağlı değildir, ancak bu sayıyı daima iki tarafa da eklememiz gerekir.
Şimdi bunun gibi denklemler çözmek için sıra sizde.
x28x=5'i çözün.
1 cevap seçin:

x2+3x=14'ü çözün.
1 cevap seçin:

Tam kareye tamamlamadan önce denklemi düzenleme

Kural 1: Değişken terimleri sabit terimden ayırın

x2+5x6=x+1 denkleminin çözümü böyledir:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1x çıkarın .(3)x2+4x=76 toplayın.(4)x2+4x+4=114 toplayın, kareyi tamamlama.(5)(x+2)2=11Çarpanlara ayırın.(6)(x+2)2=±11Karekök alın.(7)x+2=±11(8)x=±1122 çıkarın.
Denklemin bir tarafını tam kareye tamamlamak, diğer tarafta bir x terimi varsa yardımcı olmaz. Satır (2)'de x terimini çıkarmamızın ve değişken terimlerin tümünü denklemin sol tarafına almamızın nedeni budur.
Ayrıca, x2+4x'i bir tamkareye tamamlamak için buna 4 eklemeliyiz. Ancak bunu yapmadan önce sabit terimlerin hepsinin denklemin diğer tarafında olduğundan emin olmalıyız. Satır (3)'te 6 eklememizin ve x2+4x'i tek başına bırakmamızın nedeni buydu.

Kural 2: x2'nin katsayısının 1'e eşit olduğundan emin olun.

3x236x=42 denkleminin çözümü böyledir:
(1)3x236x=42(2)x212x=143 ile bölün.(3)x212x+36=2236 toplayın, kareyi tamamlama.(4)(x6)2=22Çarpanlara ayırın.(5)(x6)2=±22Karekök alın.(6)x6=±22(7)x=±22+66 toplayın.
Tamkareye tamamlama yöntemi sadece x2'nin katsayısı 1 olduğunda işe yarar.
Bu nedenle, (2.) satırda x2'nin katsayısına, yani 3'e böldük.
Bazen x2'nin katsayısıyla bölmek, diğer katsayıların kesir olmasına sebep olur. Bu, yanlış bir şey yaptınız demek değildir; sadece denklemi çözmek için kesirlerle işlem yapmanız gerekeceği anlamına gelir.
Şimdi bunun gibi bir denklemi çözmek için sıra sizde.
4x2+20x3=0'ı çözün.
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.