Ana içerik

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 4

Ders 6: İkinci Dereceden Denklemleri Tam kareye Tamamlama Yöntemiyle Çözelim

İkinci Dereceden Denklemleri Tam kareye Tamamlama Yöntemiyle Çözelim

Örnek: x²+6x=-2'yi, önce (x+3)²=7 şeklinde yazarak, sonra da karekökünü alarak çözebiliriz.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Şimdiye kadar, ikinci dereceden denklemleri ya karekök alarak ya da çarpanlarına ayırarak çözdünüz. Bu yöntemler, uygulanabildikleri durumlarda, nispeten basit ve yeterlidir. Ne yazık ki, her zaman uygulanamazlar.

Bu derste, ikinci dereceden herhangi bir denklemi çözmek için bir yöntem öğreneceksiniz.

İkinci dereceden denklemleri kareye tamamlayarak çözme

x^{2} + 6 x = - 2

denklemini düşünün. Burada karekök ve çarpanlara ayırma yöntemleri uygulanabilir değildir.

[Peki neden?]

Ancak ümidimizi kaybetmeyelim! Kareye tamamlama' yöntemini kullanabiliriz. Çözümle başlayalım ve sonra dikkatle bir daha gözden geçirelim.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & 9 toplayın, kareyi tamamlama. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Karekök alın. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & 3 çıkarın. \end{aligned}

Sonuç olarak, çözümler

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

'tür.

Burada neler oldu?

Satır

(2)

'deki

x^{2} + 6 x

9

eklemek, ifadenin

(x + 3)^{2}

olarak çarpanlara ayrılabilen bir tamkare olması sonucunu doğurduğu için şanslıydık. Bu, denklemi karekök alarak çözmemizi sağladı.

Bu tabii ki tesadüf değildi.

9

sayısı, ortaya çıkacak ifadeyi tamkare yapacak şekilde özenle seçildi.

Kareyi nasıl tamamlıyoruz?

9

'un nasıl seçildiğini anlamak için, kendimize şu soruyu sormalıyız: Eğer

x^{2} + 6 x

tamkare bir ifadenin başlangıcıysa, sabit terim ne olmalıdır?

İfadenin

(x + a)^{2}

tam kare şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini varsayalım, burada

a

sabitinin değeri hala bilinmemektedir. Bu ifade

x^{2} + 2 a x + a^{2}

şeklinde açılır ve bu bize iki şeyi anlatır:

$x$ ‍'in katsayısı, ki bunun $6$ ‍ olduğunu biliyoruz, $2 a$ ‍'ya eşit olmalıdır. Bu, $a = 3$ ‍ olacağını gösterir.

Eklememiz gereken sabit sayı $a^{2}$ ‍'ye eşittir, yani $3^{2} = 9$ ‍'dur.

Kendiniz birkaç tam kare tamamlamayı deneyin.

$x^{2} + 10 x$ ‍ ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

$x^{2} - 2 x$ ‍ ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

$x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

Zor soru

$x^{2} + b \cdot x$ ‍ ile başlayan tam karede bilinmeyen sabit terim nedir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

Bu zor soru, tamkareye tamamlamak için bize bir kısayol verir (kısayol seven ve ezberlemekten kaçınmayanlar için).

b

herhangi bir sayı olmak üzere,

x^{2} + b x

'i tam kareye tamamlamak için,

{(\frac{b}{2})}^{2}

eklememiz gerektiğini gösterir.

Örneğin,

x^{2} + 6 x

'i tam kareye tamamlamak için, buna

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

ekledik.

Denklemleri bir kez daha çözme

Tamamdır! Artık sertifikalı bir tam kare tamamlayıcı olduğunuza göre, denklem çözme işlemine geri dönelim ve öğrendiğimiz yöntemi kullanalım.

Yeni bir örneğe,

x^{2} - 10 x = - 12

denklemine bakalım.

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & 25 toplayın, kareyi tamamlama. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Soldaki ifadeyi çarpanlara ayırın. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Karekök alın. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & 5 toplayın. \end{aligned}

Sol taraftaki orijinal ifade olan

x^{2} - 10 x

'i tam kare yapmak için, satır

(2)

'de

25

ekledik. Denklemlerde her zaman yaptığımız gibi, aynı şeyi sağ taraf için de yaptık, böylece sağ taraf

- 12

'den

13

'e çıktı.

Genel olarak, tam kareye tamamlamak üzere ekleyeceğimiz sayı denklemin sağ tarafına bağlı değildir, ancak bu sayıyı daima iki tarafa da eklememiz gerekir.

Şimdi bunun gibi denklemler çözmek için sıra sizde.

$x^{2} - 8 x = 5$ ‍'i çözün.

[Yardıma ihtiyacım var!]

$x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍'ü çözün.

[Yardıma ihtiyacım var!]

Tam kareye tamamlamadan önce denklemi düzenleme

Kural 1: Değişken terimleri sabit terimden ayırın

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

denkleminin çözümü böyledir:

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & x çıkarın . \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & 6 toplayın. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & 4 toplayın, kareyi tamamlama. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Çarpanlara ayırın. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Karekök alın. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & 2 çıkarın. \end{aligned}

Denklemin bir tarafını tam kareye tamamlamak, diğer tarafta bir

x

terimi varsa yardımcı olmaz. Satır

(2)

'de

x

terimini çıkarmamızın ve değişken terimlerin tümünü denklemin sol tarafına almamızın nedeni budur.

Ayrıca,

x^{2} + 4 x

'i bir tamkareye tamamlamak için buna

4

eklemeliyiz. Ancak bunu yapmadan önce sabit terimlerin hepsinin denklemin diğer tarafında olduğundan emin olmalıyız. Satır

(3)

'te

6

eklememizin ve

x^{2} + 4 x

'i tek başına bırakmamızın nedeni buydu.

Kural 2: $x^{2}$ ‍'nin katsayısının $1$ ‍'e eşit olduğundan emin olun.

3 x^{2} - 36 x = - 42

denkleminin çözümü böyledir:

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & 3 ile bölün. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & 36 toplayın, kareyi tamamlama. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Çarpanlara ayırın. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Karekök alın. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & 6 toplayın. \end{aligned}

Tamkareye tamamlama yöntemi sadece

x^{2}

'nin katsayısı

1

olduğunda işe yarar.

[Peki neden?]

Bu nedenle,

(2.)

satırda

x^{2}

'nin katsayısına, yani

3

'e böldük.

Bazen

x^{2}

'nin katsayısıyla bölmek, diğer katsayıların kesir olmasına sebep olur. Bu, yanlış bir şey yaptınız demek değildir; sadece denklemi çözmek için kesirlerle işlem yapmanız gerekeceği anlamına gelir.

[Bana kesirli bir denklem örneği gösterin.]

Şimdi bunun gibi bir denklemi çözmek için sıra sizde.

$4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍'ı çözün.