Standart Formdaki Parabolün Tepe Noktasını Bulalım

Burada ikinci dereceden bir denklem verilmiş. Bunun grafiği o zaman bir parabol olacak. Hemen parabol formunu hatırlayalım, parabol şeklini hatırlayalım. Parabol bu şekilde veya bu şekilde görünebilir. Buradaki x kare teriminin, x kare teriminin katsayısı pozitif olduğu için bu yukarı doğru açılan bir parabol olacak. Bu parabolun tepe noktasını bulmak istiyorum. Eğer yukarı doğru açılan bir parabol noktası ise, tepe noktası burada olacak. Eğer aşağı doğru açılan bir parabol ise tepe noktası, burada olacak. Bu parabol x eksenini kesiyor mu, veya nerede kesiyor bilmiyorum. Ama bu fonksiyonun en düşük x değerini aldığı yeri bulmak istiyorum. Tepe noktasını bulmanın pek çok yolu var. Ama en kolayı formülü kullanmak. Daha önceki pek çok videomuzda bu konuya değindik. Parabolun tepesinin x koordinatı eşittir eksi b bölü 2a. Bu formüldeki b, birinci derece terimin katsayısı. Yani buradaki x'nin katsayısı. a ise x kare teriminin katsayısı. Yani bu eşittir Eksi eksi 20 bölü 2 çarpı 5 olacak ve bu da artı 20 bölü 10 olacak ve bu da 2'ye eşit. Tepe noktasının y değerini bulmak için, denklemde x yerine 2 koyalım. Tepe noktasının y koordinatı 5 çarpı 2'nin karesi eksi 20 çarpı 2 artı 15 Bu da eşittir Burası 5 çarpı 4, yani 20 eksi 40, buraya kadar eksi 20 etti artı 15 sonuç eksi 5. Parabolun tepe noktasının koordinatlarını bulduk. Bu nokta 2'ye eksi 5 imiş. Sadece formüle kullanarak bulduk ama formülü her zaman hatırlamayabilirsiniz değil mi. Bu denklemi yeniden düzenleyerek de tepe noktasını bulabiliriz. Bu denklemde kareye tamamlama methodunu kullanacağım. Bunun için burayı 5 parantezine alıyorum. 15'i de sağ tarafta bırakacağım. Y eşittir 5 çarpı x kare eksi 4x artı 15 Burayı tam kare olarak yazmak istiyorum. Şunu hatırlayalım: x artı a'nın karesi eşittir x kare artı 2ax artı a kare. Eğer x kare artı 2ax gibi görünen bir şeyi tam kareye çevirmek istersem, bu katsayının yarısını alıp, karesini alıp toplamalıyım ki bunun gibi gözüksün. Şimdi burada bunu yapalım. Eksi 4'ün yarısını alırsam eksi 2 eder eksi 2'nin karesini alırsam bu da 4 eder. Burada çok dikkatli olmalıyız. Bu eşitliğin sadece bir yerine, sadece bir tarafına 4 eklersem eşitliğin dengesi bozulur. Eşitliğin bozulmaması için her iki tarafa da aynı değeri eklemeliyim veya her iki taraftan da aynı değeri çıkarmalıyım. Burada aslında denkleme sadece 4 eklemedik dikkat edin bu 4 ayrıca 5 ile çarpılıyor. Yani eşitliğin sağ tarafına aslında 20 eklemiş olduk. Eşitliğin bozulmaması için, ya sol tarafa da 20 eklicez, ya da sağ taraftan 20 çıkarıcaz. Sağ taraftan 20 çıkaralım. 5 kere 4 eklemiştik aynı değeri çıkarttık. Burada da sağ tarafa 20 eklesem ve 20 çıkartsam, eşitlik bozulmazdı. Burada yaptığım aynı şey. Parantezin başındaki 5'i dağıtırsanız burası da y eşittir 5 çarpı x eksi 2'nin karesi eksi 5 olarak yazabilirim. Bu eşitliğin minimum değeri nedir? Buradaki terimin hiç bir zaman negatif olmayacağını, negatif olmayacağını biliyoruz. Her zaman 0'a eşit veya 0'dan büyük olacak. Burası, bu terim sıfıra eşit olduğunda en küçük değeri alacak. Yani x eşittir 2 olduğunda en küçük değere ulaşacak. x 2'ye eşit olduğunda ne olacak? Bu terim 0'a eşit olacak ve y de eksi 5'e eşit olacak. Tepe noktası 2'ye eksi 5. Daha önce bulduğum sonuçla aynı şahane.