Ana içerik

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 4

Ders 5: İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırarak Çözelim

İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırarak Çözelim

(x-1)(x+3)=0 gibi ikinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğimizi ve diğer formlardaki denklemleri çözmek için çarpanlarına ayırma yöntemini nasıl kullanacağımızı öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste öğrenecekleriniz:

Şimdiye kadar, sabit terimler (düz sayılar) ve değişkenin birinci kuvvetine yükseltildiği left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis terimler içeren doğrusal denklemleri çözdünüz.

Bazı ikinci dereceden denklemleri (yani ikinci kuvvete yükseltilmiş bir değişken içeren denklemleri) her iki tarafın karekökünü alarak çözmüş olabilirsiniz.

Bu derste, ikinci dereceden denklemleri çözmenin yeni bir yolunu öğreneceksiniz. Özellikle belirtecek olursak,

left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 gibi çarpanlara ayrılmış denklemleri nasıl çözeceğinizi
farklı denklemleri left parenthesisörneğin x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis çarpanlara ayrılmış forma getirmek için, çarpanlara ayırma yöntemlerinin nasıl kullanılacağını ve bu denklemleri çözmeyi.

Çarpanlara ayrılmış ikinci dereceden denklemlerin çözümü

İkinci dereceden left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 denklemini çözmemizin istendiğini varsayın.

[Bu neden ikinci dereceden bir denklemdir?]

Bu, iki ifadenin çarpımıdır ve sıfıra eşittir. Dikkat ederseniz, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis veya left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis'ü sıfır yapan herhangi bir x değeri, bunların çarpımını da sıfır yapacaktır.

\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}

Denkleme x, equals, 1 veya x, equals, minus, 3 koyunca 0, equals, 0 şeklinde doğru bir ifade elde ederiz; dolayısıyla her ikisi de denklemin çözümüdür.

Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.

left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0'ı çözün.

(A şıkkı)
x, equals, 5 ve x, equals, 7
(B şıkkı)
x, equals, 5 ve x, equals, minus, 7
(C şıkkı)
x, equals, minus, 5 ve x, equals, 7
(D şıkkı)
x, equals, minus, 5 ve x, equals, minus, 7

[Yardıma ihtiyacım var!]

left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0'ı çözün.

(A şıkkı)
x, equals, 1 ve x, equals, 3
(B şıkkı)
x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction ve x, equals, start fraction, 3, divided by, 4, end fraction
(C şıkkı)
x, equals, 2 ve x, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction
(D şıkkı)
x, equals, minus, 1 ve x, equals, minus, 3

[Yardıma ihtiyacım var!]

Düşündürücü soru

Aynı çözüm yöntemi left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6 denklemine de uygulanabilir mi?

[Yardıma ihtiyacım var!]

Çarpımın sıfıra eşit olduğu durumlar hakkında bir not

Yöntemimizi kullanarak bulduğumuz iki sonuçtan başka sonuç olmadığını nasıl biliyoruz?

Sıfırla çarpma kuralı denilen şu basit ancak çok yararlı özellik, bu sorunun cevabını verir:

Eğer iki sayının çarpımı sıfıra eşitse, bu durumda bu sayılardan en az bir tanesi sıfıra eşit olmalıdır.
[Bu neden doğrudur?]

Çözümlerimiz dışındaki herhangi bir x değerini denkleme koymak, sıfır dışındaki iki sayının çarpımı olan bir sonuç verecektir, dolayısıyla çarpım da kesinlikle sıfır olamaz. Bu nedenle, çözümlerimizin mümkün olan yegane çözümler olduğunu biliyoruz.

Çarpanlarına ayırarak çözme

x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0 denklemini çözmek istediğimizi varsayın, bu durumda tek yapmamız gereken x, squared, minus, 3, x, minus, 10'u çarpanlarına ayırmak ve daha önce yaptığımız şekilde çözmektir!

x, squared, minus, 3, x, minus, 10, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis olarak çarpanlara ayrılabilir.

[Bana çarpanlara ayırma işlemini gösterin.]

Denklemin tam çözümü böyle olacaktır:

$\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Çarpanlara ayırın.}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}$

Şimdi, kendi başınıza birkaç denklem çözmek için sıra sizde. Farklı denklemlerin, farklı çarpanlara ayırma yöntemlerini gerektireceğini aklınızda bulundurun.

x, squared, plus, 5, x, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. x, squared, plus, 5, x'i iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.

\quad

[Yardıma ihtiyacım var!]

2. Adım. Denklemi çözün.

(A şıkkı)
x, equals, 5 ve x, equals, minus, 5
(B şıkkı)
x, equals, 0 ve x, equals, 5
(C şıkkı)
x, equals, square root of, 5, end square root ve x, equals, minus, square root of, 5, end square root
(D şıkkı)
x, equals, 0 ve x, equals, minus, 5

[Yardıma ihtiyacım var!]

x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. x, squared, minus, 11, x, plus, 28'i iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.

\quad

[Yardıma ihtiyacım var!]

2. Adım. Denklemi çözün.

(A şıkkı)
x, equals, 2 ve x, equals, 14
(B şıkkı)
x, equals, 4 ve x, equals, 7
(C şıkkı)
x, equals, minus, 2 ve x, equals, minus, 14
(D şıkkı)
x, equals, minus, 4 ve x, equals, minus, 7

[Yardıma ihtiyacım var!]

4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1'i iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.

\quad

[Yardıma ihtiyacım var!]

2. Adım. Denklemi çözün.

(A şıkkı)
x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
(B şıkkı)
x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction ve x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
(C şıkkı)
x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
(D şıkkı)
x, equals, 2 ve x, equals, minus, 2

[Yardıma ihtiyacım var!]

3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4'ü iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.

\quad

[Yardıma ihtiyacım var!]

2. Adım. Denklemi çözün.

(A şıkkı)
x, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction ve x, equals, minus, 3
(B şıkkı)
x, equals, minus, 1 ve x, equals, 12
(C şıkkı)
x, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction ve x, equals, minus, 4
(D şıkkı)
x, equals, 1 ve x, equals, minus, 12

[Yardıma ihtiyacım var!]

Çarpanlara ayırmadan önce denklemi düzenleme

Taraflardan biri sıfır olmalıdır.

x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x denkleminin çözümü böyledir:

$\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{40 çıkarın ve }x\text{ ekleyin.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Benzer terimleri birleştirin.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Çarpanlara ayırın.}\end{aligned}$

\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}

Çarpanlara ayırmadan önce, denklemi tüm terimler aynı tarafta olacak şekilde yeniden düzenledik, diğer taraf ise sıfır oldu. Ancak bundan sonra çarpanlara ayırabildik ve çözüm yöntemimizi kullanabildik.

Ortak çarpanları yok etme

2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 denkleminin çözümü böyledir:

$\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{ 2 ile bölün.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Çarpanlara ayırın.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}$

Tüm terimler başlangıçta 2 ortak çarpanına sahipti, dolayısıyla her tarafı 2 ile böldük (sıfır olan taraf, sıfır olarak kaldı), bunu yapmak çarpanlara ayırmamızı kolaylaştırdı.

Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.

Denklemin çözümlerini bulun.

2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34

[Yardıma ihtiyacım var!]

Denklemin çözümlerini bulun.

3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0

[Yardıma ihtiyacım var!]

Denklemin çözümlerini bulun.

3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16

[Yardıma ihtiyacım var!]

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 4

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste öğrenecekleriniz:

Çarpanlara ayrılmış ikinci dereceden denklemlerin çözümü

Düşündürücü soru

Çarpımın sıfıra eşit olduğu durumlar hakkında bir not

Çarpanlarına ayırarak çözme

x2+5x=0x^2+5x=0x2+5x=0x, squared, plus, 5, x, equals, 0'ı çözün.

x2−11x+28=0x^2-11x+28=0x2−11x+28=0x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0'ı çözün.

4x2+4x+1=04x^2+4x+1=04x2+4x+1=04, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0'ı çözün.

3x2+11x−4=03x^2+11x-4=03x2+11x−4=03, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0'ı çözün.

Çarpanlara ayırmadan önce denklemi düzenleme

Taraflardan biri sıfır olmalıdır.

Ortak çarpanları yok etme

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

x, squared, plus, 5, x, equals, 0'ı çözün.

x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0'ı çözün.

4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0'ı çözün.

3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0'ı çözün.