If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 4

Ders 5: İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırarak Çözelim
Matematik
Matematik II
İkinci Dereceden İfadeler
İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırarak Çözelim
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırarak Çözelim

Google Classroom
(x-1)(x+3)=0 gibi ikinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğimizi ve diğer formlardaki denklemleri çözmek için çarpanlarına ayırma yöntemini nasıl kullanacağımızı öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Şimdiye kadar, sabit terimler (düz sayılar) ve değişkenin birinci kuvvetine yükseltildiği left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis terimler içeren doğrusal denklemleri çözdünüz.
Bazı ikinci dereceden denklemleri (yani ikinci kuvvete yükseltilmiş bir değişken içeren denklemleri) her iki tarafın karekökünü alarak çözmüş olabilirsiniz.
Bu derste, ikinci dereceden denklemleri çözmenin yeni bir yolunu öğreneceksiniz. Özellikle belirtecek olursak,
  • left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 gibi çarpanlara ayrılmış denklemleri nasıl çözeceğinizi
  • farklı denklemleri left parenthesisörneğin x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis çarpanlara ayrılmış forma getirmek için, çarpanlara ayırma yöntemlerinin nasıl kullanılacağını ve bu denklemleri çözmeyi.

Çarpanlara ayrılmış ikinci dereceden denklemlerin çözümü

İkinci dereceden left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 denklemini çözmemizin istendiğini varsayın.
Bu, iki ifadenin çarpımıdır ve sıfıra eşittir. Dikkat ederseniz, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis veya left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis'ü sıfır yapan herhangi bir x değeri, bunların çarpımını da sıfır yapacaktır.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Denkleme x, equals, 1 veya x, equals, minus, 3 koyunca 0, equals, 0 şeklinde doğru bir ifade elde ederiz; dolayısıyla her ikisi de denklemin çözümüdür.
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0'ı çözün.
1 cevap seçin:

left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0'ı çözün.
1 cevap seçin:

Düşündürücü soru

Aynı çözüm yöntemi left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6 denklemine de uygulanabilir mi?
1 cevap seçin:

Çarpımın sıfıra eşit olduğu durumlar hakkında bir not

Yöntemimizi kullanarak bulduğumuz iki sonuçtan başka sonuç olmadığını nasıl biliyoruz?
Sıfırla çarpma kuralı denilen şu basit ancak çok yararlı özellik, bu sorunun cevabını verir:
Eğer iki sayının çarpımı sıfıra eşitse, bu durumda bu sayılardan en az bir tanesi sıfıra eşit olmalıdır.
Çözümlerimiz dışındaki herhangi bir x değerini denkleme koymak, sıfır dışındaki iki sayının çarpımı olan bir sonuç verecektir, dolayısıyla çarpım da kesinlikle sıfır olamaz. Bu nedenle, çözümlerimizin mümkün olan yegane çözümler olduğunu biliyoruz.

Çarpanlarına ayırarak çözme

x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0 denklemini çözmek istediğimizi varsayın, bu durumda tek yapmamız gereken x, squared, minus, 3, x, minus, 10'u çarpanlarına ayırmak ve daha önce yaptığımız şekilde çözmektir!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis olarak çarpanlara ayrılabilir.
Denklemin tam çözümü böyle olacaktır:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Çarpanlara ayırın.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Çarpanlara ayırın.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Şimdi, kendi başınıza birkaç denklem çözmek için sıra sizde. Farklı denklemlerin, farklı çarpanlara ayırma yöntemlerini gerektireceğini aklınızda bulundurun.

x, squared, plus, 5, x, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. x, squared, plus, 5, x'i iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.\quad

2. Adım. Denklemi çözün.
1 cevap seçin:

x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. x, squared, minus, 11, x, plus, 28'i iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.\quad

2. Adım. Denklemi çözün.
1 cevap seçin:

4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1'i iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.\quad

2. Adım. Denklemi çözün.
1 cevap seçin:

3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0'ı çözün.

1. Adım. 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4'ü iki doğrusal ifadenin çarpımı olarak çarpanlara ayırın.\quad

2. Adım. Denklemi çözün.
1 cevap seçin:

Çarpanlara ayırmadan önce denklemi düzenleme

Taraflardan biri sıfır olmalıdır.

x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x denkleminin çözümü böyledir:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=040 çıkarın ve x ekleyin.x2+3x−40=0Benzer terimleri birleştirin.(x+8)(x−5)=0Çarpanlara ayırın.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{40 çıkarın ve }x\text{ ekleyin.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Benzer terimleri birleştirin.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Çarpanlara ayırın.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Çarpanlara ayırmadan önce, denklemi tüm terimler aynı tarafta olacak şekilde yeniden düzenledik, diğer taraf ise sıfır oldu. Ancak bundan sonra çarpanlara ayırabildik ve çözüm yöntemimizi kullanabildik.

Ortak çarpanları yok etme

2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 denkleminin çözümü böyledir:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0 2 ile bo¨lu¨n.(x−3)2=0Çarpanlara ayırın.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{ 2 ile bölün.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Çarpanlara ayırın.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Tüm terimler başlangıçta 2 ortak çarpanına sahipti, dolayısıyla her tarafı 2 ile böldük (sıfır olan taraf, sıfır olarak kaldı), bunu yapmak çarpanlara ayırmamızı kolaylaştırdı.
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Denklemin çözümlerini bulun.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Denklemin çözümlerini bulun.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Denklemin çözümlerini bulun.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.