Ana içerik

Konu: Matematik II > Ünite 4

Ders 7: İkinci Dereceden Denklemleri Delta Formülünü Kullanarak Çözelim

İkinci Dereceden (Delta) Denklem Formülünü Anlayalım

İkinci dereceden denklem (delta) formülünü anlayalım ve bunun ikinci dereceden denklemleri çözerken nasıl kullanıldığını daha detaylı bir şekilde öğrenelim.

İkinci dereceden denklem formülü (kuadratik formül), ikinci dereceden denklemleri çözmenize yardımcı olur ve muhtemelen matematikteki en önemli beş formülden biridir. Size formül ezberletmeye meraklı değiliz, ama bu formül faydalıdır (ve kullanmanın yanı sıra nasıl elde edildiğini de öğrenmenizi istiyoruz, ama bu ikinci videonun konusu!).
Şöyle ikinci dereceden bir denkleminiz olduğunda:

a x^{2} + b x + c = 0

Formül, ikinci dereceden bir denklemin köklerini, yani bu denklemin çözümü olan

x

değerlerini bulmanıza yardımcı olacaktır.

İkinci derece denklem formülü

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Bu biraz korkutucu görünebilir, ama kolaylıkla alışacaksınız!
Şimdi formülü kullanarak alıştırma yapın.

Çözümlü örnek

Önce, a, b ve c değerlerini (katsayıları) belirlememiz gerekir. Birinci adımda, denklemin yukarıdaki formda olduğundan emin olun:

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍, $x^{2}$ ‍'nin önündeki katsayıdır, yani burada $a = 1$ ‍'dir (dikkat ederseniz $a$ ‍ $0$ ‍'a eşit olamaz -- denklemi ikinci dereceden yapan $x^{2}$ ‍'dir).
$b$ ‍, $x$ ‍'in önündeki katsayıdır, yani burada $b = 4$ ‍'tür.
$c$ ‍ sabit terimdir veya yanında $x$ ‍ yoktur, yani $c = - 21$ ‍'dir.

Daha sonra, formüle

a

b

c

'yi koyarız:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

Bunu şöyle çözeriz:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Buna göre,

x = 3

veya

x = - 7

'dir.

Çözüm bize neyi gösterir?

Bu iki çözüm, denklemin x kesme noktalarıdır; yani, eğrinin x eksenini kestiği yerlerdir.

x^{2} + 3 x - 4 = 0

denklemi şuna benzer:

Burada ikinci dereceden denklem formülünün çözümleri ve kesme noktaları,

x = - 4

x = 1

'dir.

Şimdi, ikinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırma, tam kareye tamamlama ve grafik çizerek çözebileceğimize göre, bu formüle neden ihtiyacımız olsun ki?

Çünkü bazen ikinci dereceden denklemleri çözmek, birinci örnekten çok daha zor olabilir.

İkinci çözümlü örnek

Bu formülü, çarpanlarına ayırması zor bir denklemde deneyelim:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Önce, bunu bütün terimlerin sol tarafta olduğu forma getirelim:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Formül bize bunu verir:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Negatif bir sayının karekökünü, imajiner sayıları kullanmadan alamayacağımızı biliyoruz, yani burada denklemin gerçel kökü olmadığı sonucuna varırız. Bunun anlamı, hiçbir noktada

y = 0

olmayacağıdır, fonksiyon x eksenini kesmez. Hesap makinesiyle grafiğini çizdiğimizde de bunu görebiliriz:

Şimdi ikinci dereceden denklem formülünün temellerini anlamış oldunuz!
İlerideki videolarda birçok çözümlü örnek bulabilirsiniz.

İkinci dereceden denklem formülünü kullanmak için ipuçları

Denklemin doğru formda düzenlendiğinden emin olun: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍; yoksa formül işe yaramayacaktır!
$(b^{2} - 4 a c)$ ‍'nin tamamının karekökünü aldığınızdan ve $2 a$ ‍ üstteki ifadenin tamamının paydası olduğundan emin olun
Negatiflere dikkat edin: $b^{2}$ ‍ negatif olamaz, yani başlangıçta $b$ ‍ negatifse, pozitifle değiştirdiğinizden emin olun; çünkü negatifin veya pozitifin karesi pozitiftir
$+ / -$ ‍ 'yi tutun ve İKİ çözüm olması gerektiğini unutmayın
Hesap makinesi kullanıyorsanız, cevap belirli bir sayıda ondalık basamağına yuvarlanabilir. (Çoğunlukla olduğu gibi) tam cevap istendiğinde ve karekökler kolaylıkla sadeleştirilemiyorsa, karekökleri cevapta tutun; örneğin $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ ve $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Sonraki adım:

İkinci dereceden denklem formülünü kullanarak alıştırma yapın.
Salman'ın bir örnek çözdüğü videoyu izleyin:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

İkinci dereceden denklem formülünü ispatlayın:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.