If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 4

Ders 3: İkinci Dereceden Denklemleri Kareköklerini Alarak Çözelim
Matematik
Matematik II
İkinci Dereceden İfadeler
İkinci Dereceden Denklemleri Kareköklerini Alarak Çözelim
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci Dereceden Denklemleri Kareköklerini Alarak Çözelim

Google Classroom
x^2=36 or (x-2)^2=49 gibi ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Şimdiye kadar, sabit terimler (düz sayılar) ve değişkenin birinci kuvvetine yükseltildiği left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis terimler içeren doğrusal denklemleri çözdünüz.
Şimdi ikinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz, bunlar değişkenin ikinci kuvvetine yükseltildiği left parenthesis, x, squared, right parenthesis terimler içerirler.
Burada, çözmeyi öğreneceğiniz ikinci dereceden denklem türlerine benzer birkaç örnek bulunuyor:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
Şimdi işe koyulalım.

x, squared, equals, 36 ve benzer denklemlerin çözümü

x, squared, equals, 36 denklemini çözmek istediğimizi varsayın. Önce, denklemin neyi bulmamızı istediğini kelimelerle ifade edelim. Bize hangi sayının kendisiyle çarpıldığında 36'ya eşit olduğu sorulmaktadır.
Bu soru size tanıdık geliyorsa, nedeni bunun 36'nın karekökünün tanımı olmasıdır. Bu matematiksel olarak square root of, 36, end square root şeklinde ifade edilir.
Şimdi, denklemin tam çözümü böyle gözükür:
x2=36x2=36Kareko¨ku¨ alın.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{Karekökü alın.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Bu çözümde neler olduğunu bir daha gözden geçirelim.

plus minus işaretinin anlamı

Her pozitif sayının iki karekökü olduğunu hatırlayın: pozitif bir karekök ve negatif bir karekök. Örneğin, hem 6'nın hem minus, 6'nın karesi 36'ya eşittir. Dolayısıyla, bu denklemin iki çözümü vardır.
plus minus, bunu matematiksel olarak ifade etmenin kolay yoludur. Örneğin plus minus, 6, "6 veya minus, 6" anlamına gelmektedir.

Ters işlemlere ilişkin bir not

Doğrusal denklemleri çözerken, ters işlemleri kullanarak değişkeni tek başına bırakıyorduk: Mesela değişkene 3 ekleniyorsa, her iki taraftan 3 çıkarıyorduk. Ya da değişken 4 ile çarpılıyorsa, her iki tarafı 4 ile bölüyorduk.
Kare almanın ters işlemi, karekök almaktır. Bununla birlikte, diğer işlemlerden farklı olarak, karekök aldığımızda hem pozitif hem negatif karekökleri almayı hatırlamalıyız.
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Problem 1
x, squared, equals, 16'yı çözün.
x, equals, plus minus
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problem 2
x, squared, equals, 81'i çözün.
x, equals, plus minus
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problem 3
x, squared, equals, 5'i çözün.
1 cevap seçin:

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 ve benzer denklemlerin çözümü

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 denkleminin çözümü böyledir:
(x−2)2=49(x−2)2=49Kareko¨ku¨nu¨ alın.x−2=±7x=±7+22 ekleyin.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{Karekökünü alın.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{2 ekleyin.}\end{aligned}
Çözümler x, equals, 9 ve x, equals, minus, 5'tir.
Bu çözümde neler olduğunu bir daha gözden geçirelim.

x'i tek başına bırakma

Karekök almanın ters işlemini kullanarak, kare işaretini yok ettik. Bu x'i yalnız bırakmak için önemliydi, ancak x'i gerçekten tek başına bırakmak için o son adımda 2 eklememiz gerekiyordu.

Çözümleri anlamak

İşimiz x, equals, plus minus, 7, plus, 2 ile bitti. Bu ifadeyi nasıl anlamalıyız? plus minus, 7'nin "plus, 7 veya minus, 7" anlamına geldiğini hatırlayın. Dolayısıyla, cevabımızı iki duruma göre ayırmalıyız: x, equals, 7, plus, 2 veya x, equals, minus, 7, plus, 2.
Bu bize x, equals, 9 ve x, equals, minus, 5 olarak iki çözüm verir.
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Problem 4
left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25'i çözün.
1 cevap seçin:

Problem 5
left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9'u çözün.
1 cevap seçin:

Problem 6
left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7'yi çözün.
1 cevap seçin:

Parantezi açmamamızın nedeni

Örnek denklemimize yani left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49'a geri dönelim. Oradaki parantezi açmak istediğimizi varsayalım. Ne de olsa, doğrusal denklemlerde yaptığımız buydu, değil mi?
Parantezi açınca aşağıdaki denklemi elde ederiz:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Eğer bu denklemde karekök almak isteseydik, x'in karekökünü almamız gerekirdi. Ancak bu bize square root of, x, end square root'i verir ve bunun bize bir yararı yoktur.
Bunun aksine, x, squared veya left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared gibi ifadelerin kareköklerini almak bize x veya left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis gibi hoş ifadeler verir.
Dolayısıyla, ikinci dereceden denklemlerde ögeleri çarpanlara ayrılmış olarak tutmak yararlıdır, çünkü bu karekök almamıza olanak sağlar.

2, x, squared, plus, 3, equals, 131 ve benzer denklemlerin çözümü

İkinci dereceden denklemlerin tümü hemen karekök alarak çözülmez. Bazen karekökünü almadan önce, kareli terimi tek başına bırakmak gerekir.
Örneğin, 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 denklemini çözmek için önce x, squared'yi yalnız bırakmalıyız. Bu, bir doğrusal denklemde x terimini tek başına bıraktığımız gibi yapılır.
2x2+3=1312x2=1283 çıkarın.x2=642’ye bo¨lu¨n.x2=64Kareko¨ku¨nu¨ alın..x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{3 çıkarın.}\\\\ x^2&=64&&\text{2'ye bölün.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{Karekökünü alın..}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Şimdi benzer birkaç denklemi kendi başınıza çözün.
Problem 7
3, x, squared, minus, 7, equals, 5'i çözün.
1 cevap seçin:

Problem 8
4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38'i çözün.
1 cevap seçin:

Zor Soru
x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9'u çözün.
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.