İspat: Garfield'in Pisagor Teoremi

Bu videoda, bildiğimiz kadarıyla ilk olarak 1876 yılında James Garfield tarafından yapılan bir Pisagor Teoremi ispatını işleyeceğiz. İşin heyecan verici tarafı, ilginç olan kısmı şu ki Garfield aslında profesyonel bir matematikçi değil. Onu daha çok ABD'nin yirminci başkanı olarak tanıyoruz. 1880 senesinde seçimleri kazandı ve 1881'de başkan oldu. Pisagor Teoremi'nin ispatını yapışı ise dört sene öncesine ABD Temsilciler Meclisi'nde yer aldığı döneme rastlıyor. Anlayacağınız, geometriyle ilgilenen tek ABD başkanı Abraham Lincoln değilmiş. Garfield'ın farkına vardığı şey de şuydu: Diyelim ki bu b kenarı bu a kenarı ve bu da dik üçgenimizin hipotenüsü olan c kenarı. Dik üçgen olduğunu da dik açı işareti ile şurada belirtelim. Garfield benzer bir üçgen yaratmak için bu üçgeni alıp döndürdü. Çizelim şimdi. Burası b kenarımız a kenarı ile aynı doğrultu üzerinde ama birbirlerinin üzerine çıkmıyorlar. Burası b kenarının köşesi ve a kenarının köşesi, dik bir açıyla birleşiyorlar son olarak bu da c kenarı. Şimdi ilk düşünmemiz gereken şey, bu iki köşe arasındaki açı nedir? Bu gizemli açının derecesi nedir? Evet, akla bir şey geliyor, aklımıza bir şey geliyor ama acaba bu açının benzettiğimiz şey, benzettiğimiz açı olduğunu kanıtlayabiliyor muyuz? İlk üçgenimize bakalım bu dereceye teta diyelim a ve c kenarlarının köşesindeki bu açı nedir? Teta ile bu açının toplamı 90 olmalı, zira üçüncü açımız 90 derece. Yani 90 ve 90 üçgenin iç açılarının toplamı olan 180'e eşitleniyor. Eğer bu iki açının toplamı 90 dereceyse o zaman bu açının derecesi de 90 eksi teta'dır. İkinci üçgeni ilkine eş olarak çizmiştik o halde teta'ya eş düşen açı da teta kadar olacak. Buradaki açı da o zaman 90 eksi teta olacak. Ve şimdi bu teta ve bu da 90 eksi teta ise, buradaki açı ne olur? Hepsinin toplamının 180 derece ettiğini biliyoruz. Teta artı 90 eksi teta ve bizim bu gizemli bilinmeyen açımızı topladığımızda sonuç 180 dereceye eşit oluyor. Teta'lar birbirini götürür teta eksi teta 90 artı bu bilinmeyen açı eşittir 180. İki taraftan da 90 çıkaralım. Ve bu bilinmeyen gizemli açımızın 90 derece olduğunu bulduk. Evet , iyi iş çıkardık. Bu az sonra bizim işimize yarayacak. Artık bu açının 90 derece olduğundan eminiz. Yani bu bir dik açı. Şimdi de ikizkenar bir yamuk çizeceğiz. Bir ikizkenar yamuk çizeceğiz. a kenarı aşağıdaki b kenarına paralel ve yandaki bu kenar da ikisini birleştiriyor. Şimdi a ve b kenarlarını diğer taraftan da birleştirelim. Bu ikizkenar yamuğun alanını farklı şekillerde bulabiliriz. Örneğin, bunu sadece bir ikizkenar yamuk olarak alıp alanını bulabiliriz. Ama aynı zamanda bileşenlerinin alanlarının toplamı olarak da düşünebiliriz, değil mi? Önce ikizkenar bir yamuk olarak düşünelim. İkizkenar yamuğun alanı nasıl bulunur? Yükseklik, yani burada (a artı b)'nin üst ve alt kenarların ortalamasıyla çarpımı bize ikizkenar yamuğumuzun alanını verecek. Formül olarak yazarsak (a artı b) çarpı 1 bölü 2 (a+b). Yani alanı bulmak için yaptığımız şey, yükseklikle alt ve üst kenarların ortalamasını çarpmak. Peki aynı yamuğun alanını bileşenlerden yani bileşenlerin alanının toplamı olarak nasıl bulabiliriz bir de ona bakalım. İşleri doğru yaptığımız takdirde aynı sonuca varacağız. Peki bu bölgenin alanını başka ne şekilde bulabiliriz? Bu alanı üç dik açılı üçgenin oluşturduğunu söyleyebiliriz. İki üçgenin de alanı a ve b'nin çarpımının yarısına eşit. Elimizde bunlardan da iki tane var değil mi? Öyleyse ikiyle çarpacağız. Yani a ve b'nin çarpımının yarısının iki ile çarpımı: hem alttaki hem de üstteki üçgenin alanını verecek. Şahane!! Şimdi yeşille boyadığım bu daha büyük üçgenin alanı nedir? Elbette, c çarpı c'nin yarısı. Yani bu kısmı c çarpı c'nin yarısıyla toplayacağız. Şimdi bu işlemi biraz sadeleştirelim gerçi daha şimdiden nereye gittiğini tahminen gördünüz. Şimdi burayı yeniden düzenleyelim. (a artı b)'nin karesinin yarısı 1 bölü 2 ve 2 birbirini götürecek (ab) yani a çarpı b, artı 1 bölü 2 (c kare) 'ye eşit olacak. Bu 1 bölü 2'leri pek sevmedim, denklemin iki tarafını da o yüzden 2'yle çarpalım. Bu 1 bölü 2'ler den kurtulalım. Sol tarafta sadece (a artı b)'nin karesi, sağ tarafta da 2ab artı c kare kaldı. (a artı b)'nin karesi nedir? a kare artı 2 ab artı b kare. Bu da 2ab artı c kare'ye eşitmiş. İki taraftaki 2ab'leri sadeleştirdiğimizde de geriye kalan denklem a kare artı b kare eşittir c kare. Yani Pisagor Teoremi. Bu ispat için yirminci ABD Başkanı James Garfield'a teşekkür borçlu olduğumuzu unutmayalım. Hoşçakalın.