30-60-90 Üçgeni ile İlgili Soru

Elimizde bu dikdörtgen var AB kenarına 1 birim diyelim Buraya yazdığımız gibi, AB kenarı bir birim Soruda bize BE ve BD kenarlarının ABC üçgenini üç eşit parçaya böldüğü veriliyor. Yani BE ve BD kenarları ABC açısını üçe bölüyor. Burada üçe bölmekten kasıt, üç eşit parçaya bölmek. Yani bu demek oluyor ki bu açı bu açıya ve şu açıya eşit. Bizden BED üçgeninin çevresini bulmamız istenmiş. BED üçgeni aslında bu dikdörtgenin ortasındaki üçgen oluyor. İlk bakışta çok zor bir soru gibi görünüyor. Çünkü bu dikdörtgenin eninin uzunluğunu bilmiyoruz. Peki soruyu çözmeye nereden başlayalım? Bize sadece buradaki kenarın uzunluğu veriliyor. Aslında verilen şeklin bir dikdörtgen olduğunu anlamamız için bize bir çok bilgi verilmiş. Dört kenar ve dört de açımız var. Ayrıca biliyoruz ki bir dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit uzunluktadır. Bu kenar 1 birimse bunun bu kenarın karşısında ki kenarda 1 birim olur. Diğer bildiğimiz şey ise, bu açı üç eşit parçaya bölünüyor. Biz zaten bu açının kaç derece olduğunu biliyoruz. Bu açı bir dik açı, yani 90 derece. O zaman bu dik açıyı üç eşit parçaya bölersek buradaki açı 30 buradaki açı da 30 derece olur ve buradaki açı da yine 30 derece olacak. Aslında burada bir çift "30-60-90 üçgeni" ile bu soruyu çözebiliriz. ABE üçgeninde 30 ve 90 derece duruyor, burada. o zaman bu karşıdaki açı da 60 derece olmalı. Yani buradaki AEB açısı da 60 olmalı. BCD üçgeninde de 30 derecemiz var, 90 derecemiz var. 180'e tamamlamak için burası 60 derece olmalı. Ve işte ilk 30-60-90 üçgenimiz. Ve bu da ikinci 30-60-90 üçgeni. BED üçgenin açılarını, dik üçgen olmasa bile, kendiniz bulabilirsiniz. 30-60-90 üçgenlerinde verilenleri kullanarak mesela üçgenin sadece bir kenarını bilsek bile diğer kenarları bulabiliyoruz. Mesela bu kısa kenarın karşısında 30 derecelik bir açı var. Bu 30 derecelik açının karşısındaki kenar 1 birimse 60 derecenin karşısındaki kenar da bunun kök 3 katı olacak. Ve bu kök 3 bize baya yardımcı olacak çünkü verilen dikdörtgenimizin taban uzunluğunu böylece bulmuş olduk. Şu an sadece 30-60-90 üçgenlerine dair bilgilerle bu sonucu bulabildik. Burada kafanızda takılan herhangi bir şey varsa 30-60-90 üçgenleri ile ilgili videolarımıza bir tekrar bakın. Biliyoruz ki 30-60-90 üçgenlerinin bir kenarı 1 birim cinsinden verildiğinde; diğer kenarların kök 3 ve 2 birim olduğunu bulabiliyoruz. Yani bu 30 derecenin karşısındaki kenar 1 birimse 60 derecenin karşısı bunun kök 3 katı olacak ve burada gördüğümüz hipotenüs de 2 birim olacak. Bu durumda, bu uzunluk, buradaki hipotenüsün uzunluğu da 2 katı olacak. O zaman, 2 çarpı 1 eşittir 2. İlginç olansa, buradaki diğer üçgenle de benzer bir hesap yapabilmemiz. Buradaki fark, 1 birimlik kenar 30 derecenin karşısındaki kenar değil, bu sefer 60 derecenin karşısındaki kenar. Yani 1 birim 60 derecenin karşısı. Bir daha yapalım, eğer bu kenarı kök 3 ile çarparsak buradaki AE kenar uzunluğunu buluruz. Hatırlayın bu kenar 1 birim, yani buradaki kenar 60 derecenin karşısında. Yani AE kenar uzunluğu 1 bölü kök 3 olacak. Bunları bulabilmemin tek sebebi bu kenar ne olursa olsun kök 3 ile çarptığımda buradaki kenar uzunluğunu elde edebiliyor olmam. Ya 60 derecenin karşısındaki kenarı almalıyım ya da 90 derecelik kenarı alırsam onu kök 3'e bölmeliyim. Böylelikle 30 dereceye karşılık gelen, en kısa kenarı elde edebilirim. 60 derecenin karşısındaki kenarı kök 3'e bölerek başlayayım. Buradaki açıyı elde edeceğim. Buna göre de hipotenüs uzunluğu daima 30 derecenin karşısındaki kenar uzunluğunun iki katı olacak. Öyleyse bu kenar 30 derecenin karşısında ve hipotenüsün daima iki katı olacak. O zaman ABE üçgeninde 30 dereceye karşılık gelen AE kenarı bu hipotenüs de bunun daima iki katı. Hipotenüs 2 bölü kök 3 olacak. Gayet güzel gidiyoruz. Şimdi ise AED iç üçgeninin çevresini bulmamız gerekiyor. Zaten BD kenarının 2 birim olduğunu bulmuştuk. Uzunluğu 2 bölü kök 3 olan başka bir kenar da bulmuştuk. Şimdi ED'nin ne olduğunu kolayca bulabiliriz. Çünkü AD kenarı BC kenarıyla aynı şekilde olacak. AD kenar uzunluğunun tamamı kök 3 olan bir dikdörtgenle uğraştığımızı biliyoruz. Eğer bu bölümde AE 1 bölü kök 3 ise bu ED uzunluğu da kök 3 eksi 1 bölü kök 3 olacaktır. Bu uzunluk AD eksi öteki Yani AE' nin uzunluğu. Artık çevreyi bulmak baya kolay. Sadece bulduklarımızı toplayıp sadeleştireceğiz. Öyleyse BED üçgeninin çevresi eşittir: 2 bölü kök 3, artı kök 3 eksi 1 bölü kök 3 artı 2 olacak. Şimdi sadece köklüleri sadeleştireceğiz. Hesap makinelerinizi çıkarıp bu köklü değerlere yakın kesirler bulabilirsiniz. Bakalım 2 kök 3 eksi bir kök 3'ümüz var. O zaman bunu yalnızca bir bölü kök 3 olarak yazabiliriz. Çünkü 2 bölü kök 3 eksi 1 bölü kök 3'ün sonucu 1 bölü kök 3 olur. Bir de elimize kök 3 artı 2 var. Bakalım bunu nasıl bir rasyonel sayıya çevirebiliriz? Eğer payı ve paydayı kök 3 ile genişletirsem kök 3 bölü 3 artı kök 3 elde ederiz. Bunu da 3 kök 3 bölü 3 olarak yazabilirim. Evet az önce 3'ü 3 artı 2 ile genişlettim. Bu da bize şunu veriyor. 1 kök 3 artı ,3 kök 3 ve bunların hepsi bölü 3. Bize ne verir, 4 kök 3 bölü 3 artı 2'yi verir. 2'yi ilk koyabileceğiniz yerde bazıları rasyonel olan bölümü irrasyonel bölümden önce yazmayı seviyor. Bitti ! BED üçgenin çevresini bulduk!