Trigonometrik Oranlar

Merhaba bu videoda trigonometrinin temellerinden bahsedeceğim. Çok karmaşıkmış gibi gözüken bir konu aslında ama tamamen üçgenlerin kenarlarının birbirleriyle oranları ile ilgili. "Trigonometri" kelimesindeki "Trig" kısmı üçgen demektir, "metry" kısmı da ölçmek anlamına gelir. Buna dair birkaç örnek vereyim. Bence bu herşeyi açıklığa kavuşturacak. Birkaç dik üçgen çizelim veya durun, öncelikle bir tane dik üçgen çizeyim. Bu bir dik üçgen. Açılarından bir tanesi 90 derece olduğu için, Buradaki de bir dik açı yani 90 derece. İlerideki videolarda açıların ölçülerini göstermenin diğer yollarından da bahsedeceğim. Sonuçta 90 derecelik bir açımız var. Kenarların uzunluklarını yazayım. Bu kenarın uzunluğu 3. Buradaki ne de 4 diyelim. O zaman üçgenin hipotenüsü de 5 olur. Hipotenüs sadece dik üçgenlerde vardır. Dik açının karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır. Yani buradaki uzunluk hipotenüstür. Bunu zaten geometriden öğrenmiş olabilirsiniz. Üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu Pisagor teoreminden ispatlayabilirsiniz. Çünkü, Pisagor teoremine göre 3'ün karesi artı 4'ün karesi hipotenüsün karesine eşit olmalı ve bu uzunluk da hipotenüsün karesi olan 5'in karesine eşit. Bunu çözerek bu üçgenin Pisagor teoremine uygun olduğunu ispatlayabilirsiniz. Bu kuralı söylediğimize göre başka şeyleri de öğrenelim, mesela trigonometrinin temel fonksiyonlarını. Bu fonksiyonların ne anlama geldiklerini az sonra anlayacağız. Bunlardan bir tanesi sinüs fonksiyonudur. Ayrıca kosinüs ve tanjant fonksiyonları da bu tür fonksiyonlardandır. Bu fonksiyonlar kısaca sin, cos ve tan diye yazılırlar. Bu fonksiyonlar herhangi bir açı için, üçgenin belirli kenarlarının oranlarını belirtirler. Hemen şöyle bir şey yazayım. Bu fonksiyonların tanımlarını hatırlamanıza yardımcı olacak bir şey, "karşı" ve "komşu" kavramları. Bu formülün sizi trigonometride ne kadar ileri götüreceğine inanamayacaksınız. Elimizde "karşı" ve "komşu" diye iki terim var, bu bize kısaca şunu belirlemede yardımcı olur; Sinüs'ün formülü "karşı" bölü hipotenüstür. Şimdilik bu bize pek anlamlı gelmeyebilir. Ancak birazdan biraz daha detaylı olarak göstereceğim bunu. Kosinüs komşu bölü hipotenüse eşittir. Tanjant ise karşı bölü komşuya eşittir. Şu an büyük ihtimalle " komşu, komşu, karşı, hipotenüs falan filan neyin nesi?" diyorsunuz. O zaman şuradaki bir açıyı ele alalım ve somutlaştıralım. Buradaki açıya teta diyelim, uzunluğu 4 olan kenar ile 5 olan kenar arasında. Bu teta. Hadi tetanın şimdi sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını bulalım. Öncelikle tetanın sinüsüne odaklanalım, formülün karşı bölü hipotenüs olduğunu biliyoruz. Burada karşı dediğimiz şey, açının karşısındaki kenarın uzunluğudur. Tam şuradaki bizim açımız ve eğer tam karşı kenara gidersek bu kenarın 3 olduğunu görürüz. Sanki 3'e doğru açılıyormuş gibidir teta, bu yüzden karşı kenarımız 3 tür. Peki hipotenüs nedir? Onu zaten biliyoruz buradaki hipotenüs 5. Yani 3 bölü 5, tetanın sinüsü 3 bölü 5 dir. Birazdan size tetanın sinüsünün eğer bu bilindik bir açıysa her zaman 3 bölü 5 olacağını göstereceğim. Karşı bölü hipotenüs oranı, üçgenimiz daha büyük ya da daha küçük olsa da hep aynı kalacaktır. Bunu size birazdan ispat edeceğim. Şimdi tüm trigonometrik fonksiyonlara bakalım. Tetanın kosinüsünün ne olduğunu bulalım şimdi de. Kosinüs komşu bölü hipotenüstür. 3'ün karşı kenar olduğunu zaten söylemiştik. Tabii ki şu anda bahsettiğimiz karşı ve komşu kavramları sadece bu açıya göre karşı ve komşu olan kenarlar. Üçgen içindeki başka bir açıdan bahsediyor olsaydık, o açının karşı ve komşu kenarı farklı olurdu. Teta açısından bahsederken, komşu kenar 4'tür. Ve tekrarlıyorum, bu durum sadece bu açıdan bahsederken geçerli. Eğer şu açıdan bahsetseydik, yeşil kenar karşı kenar, sarı kenar da komşu kenar olurdu. Fakat şimdilik sadece buradaki açıya odaklanıyoruz. Biz hesabımıza dönelim, komşu kenar 4 olduğuna göre ve kosinüs de komşu bölü hipotenüs olduğuna göre, kosinüs 4 bölü 5 e eşittir. Şimdi de tanjantı bulalım. Tanjant karşı bölü komşuysa, tetanın tanjantı kaçtır? Karşı kenar 3'tür. Komşu kenarı da biliyoruz, ki o da 4 tür. Yani üçgenin kenar uzunluklarını bildiğimizde trigonometri oranlarını hesaplayabiliyoruz. Ancak tabi ki bu oranlardan başka oranlar da var trigonometride. Yine de hepsi bu basit fonksiyonlardan yola çıkarak elde edilir. Şimdi bu üçgendeki başka bir açıya bakalım. Ancak üçgenimi tekrar çizeceğim çünkü bu üçgenim biraz fazla karmaşık hale geldi. Şimdi çiziyorum. Bu sırada kenar uzunluklarını tekrar hatırlayalım, burası 4, burası 3 ve son olarak burası da 5 birim uzunluktadır. Geçen örneğimizde bu teta açısını kullandık. Fakat bu sefer başka bir açıyı kullanalım ve bu açının adını da herhangi bir başka Yunan harfi olarak koyalım. Bu açıya doğrudan x diyelim. Şimdi de x açısı için trigonometri fonksiyonlarını hesaplayalım. Peki x in sinüsü kaç eder? Sinüs karşı bölü hipotenüs olduğuna göre x in karşısında hangi kenar olduğunu bulmamız gerekir once. Bu açı 4 e doğru açılıyor, ki artık bu da bu kenarın karşı kenar olduğunu gösterir. Hatırlayın, 4 teta açısına göre komşuydu, ancak x e göre karşı kenar oldu. Şimdi de hipotenüsü bulalım. Hipotenüs açıya göre değişmediğine göre yine 5 olacak. Bu yüzden x için sinüs değeri 4 bölü 5 olur. Peki x in kosinüsü nedir? Kosinüs komşu bölü hipotenüstür. x açısına hipotenüs dışındaki komşu kenar hangisidir peki? Hipotenüs buradadır. Bu kenar 3 tür, çünkü x açısının köşesini oluşturan diğer kenar budur. Bu da komşu olduğunu gösterir. Yani cevap 3 bölü 5 tir. Son olarak da tanjantı bulalım. x in tanjantını bulmaya çalışıyoruz. Tanjant neydi ? Karşı bölü komşu idi. Bunu maviyle çizeyim. Karşı 4 tür ve komşu da 3 tür. Ve bitti. Bir sonraki videoda başka birçok örnek daha yapacağız, anlamanıza yardımcı olmak için. Ancak bitirmeden önce şunu düşünmenizi istiyorum; bu açılar 90'a yaklaştığında ne olur ve nasıl 90'dan büyük olabilirler? Karşı ve komşu kavramlarının da 0 ile 90 arasındaki derecelerde yararlı olduğunu göreceğiz, ancak 90 dereceden sonraki açılarda sıkıntı yarattığını fark edeceğiz. Bu yüzden de yeni bir tanım anlatacağım karşı ve komşulardan yola çıkarak bulunmuş bir tanım. Ve bu tanım herhangi bir açının sinüs kosinüs ve tanjantını bulmamda yardımcı olacak.