If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Ders 4: Logaritmalarda taban değiştirme formülü
Matematik
Matematik III
Üstel İfadeler ve Logaritmalar
Logaritmalarda taban değiştirme formülü
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Logaritma Taban Değiştirme Kuralı

Google Classroom
Herhangi bir logaritmayı, farklı tabandaki logaritmaları kullanarak tekrar yazmayı öğrenelim. Bu yöntem, özellikle de hesap makinesinde logaritma bulurken çok yararlıdır!
log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis ifadesinin değerini bulmak istediğimizi varsayalım. 50 2'nin rasyonel bir kuvveti olmadığından, bunu hesap makinesiz bulmak zor olurdu.
Bununla birlikte, hesap makinelerinin çoğu sadece 10 tabanlı ve e tabanlı logaritmaları doğrudan hesaplar. Dolayısıyla log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis'nin değerini bulmak için, önce logaritma tabanını değiştirmeliyiz.

Taban değiştirme kuralı

Herhangi bir logaritmanın tabanını aşağıdaki kuralı kullanarak değiştirebiliriz:
Notlar:
  • Bu özelliği kullanırken, logaritmayı herhangi bir start color #0d923f, x, end color #0d923f. tabanına değiştirmeyi seçebilirsiniz.
  • Her zaman olduğu gibi, bu özelliğin geçerli olması için, logaritmaların argümanları pozitif olmalıdır ve logaritmaların tabanları pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır!

Örnek: log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis'yi hesaplama

Hedefiniz logaritmanın değerini bulmaksa, tabanı 10 veya e'ye değiştirin, çünkü bu logaritmalar hesap makinelerin çoğunda bulunabilir.
Onun için log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis'nin tabanını start color #1fab54, 10, end color #1fab54 olarak değiştirelim.
Bunu yapmak için, taban değiştirme kuralını b, equals, 2, a, equals, 50, ve x, equals, 10 ile uyguluyoruz.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Taban deg˘işimi kuralı=log⁡(50)log⁡(2)Çu¨nku¨log⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&\small{\gray{\text{Taban değişimi kuralı}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{Çünkü} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Şimdi hesap makinesi kullanarak değeri bulabiliriz.
log⁡2(50)≈5,644\begin{aligned}\phantom{\log_2(50)}\approx 5,644 \end{aligned}

Konuyu ne kadar iyi anladığınızı test edin

1) log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis'yi hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis'ü hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis'ü hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Taban değiştirme kuralını açıklama

Bu noktada, şöyle düşünüyor olabilirsiniz, "Güzel, ama bu kural neden işe yarar?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction, left arrow, start color #e07d10, start text, T, a, b, a, n, space, d, e, g, with, \u, on top, i, ş, i, m, i, space, k, u, r, a, l, ı, end text, end color #e07d10
Bunu incelemek için, başlangıçtaki log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis değerine dönelim. log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n dersek, 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50 sonucuna varırız.
İki değer birbirine eşit olduğundan, her iki tarafın logaritmasını herhangi bir tabanda alabiliriz. Şimdi bunu elde ederiz:
2n=50log⁡x(2n)=log⁡x(50)If Y=Z, then log⁡x(Y)=log⁡x(Z)nlog⁡x(2)=log⁡x(50)Kuvvet Kuralın=log⁡x(50)log⁡x(2)I˙ki tarafı da log⁡x(2) ile bo¨lu¨n\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log_x(2^n) &= \log_x(50)&&\small{\gray{\text{If $Y=Z$, then $\log_x(Y)=\log_x(Z)$}}} \\\\ n\log_x(2)&=\log_x(50)&&\small{\gray{\text{Kuvvet Kuralı}}}\\\\ n &= \dfrac{\log_x(50)}{\log_x(2)} &&\small{\gray{\text{İki tarafı da $\log_x(2)$ ile bölün}}}\end{aligned}
n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis olduğundan, istediğimiz gibi log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction elde ettik!
Aynı mantıkla, taban değiştirme formülünü ispatlayabiliriz. 2'yi b'ye ve 50'yi a'ya değiştirin ve ispatınız hazır olur!

Zor problemler

1) start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction değerini hesap makinesi kullanmadan bulunuz.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Hangi ifade log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis ile denktir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.