If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Ders 4: Logaritmalarda taban değiştirme formülü
Matematik
Matematik III
Üstel İfadeler ve Logaritmalar
Logaritmalarda taban değiştirme formülü
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Logaritma Taban Değiştirme Kuralı

Google Classroom
Herhangi bir logaritmayı, farklı tabandaki logaritmaları kullanarak tekrar yazmayı öğrenelim. Bu yöntem, özellikle de hesap makinesinde logaritma bulurken çok yararlıdır!
log2⁡(50) ifadesinin değerini bulmak istediğimizi varsayalım. 50 2'nin rasyonel bir kuvveti olmadığından, bunu hesap makinesiz bulmak zor olurdu.
Bununla birlikte, hesap makinelerinin çoğu sadece 10 tabanlı ve e tabanlı logaritmaları doğrudan hesaplar. Dolayısıyla log2⁡(50)'nin değerini bulmak için, önce logaritma tabanını değiştirmeliyiz.

Taban değiştirme kuralı

Herhangi bir logaritmanın tabanını aşağıdaki kuralı kullanarak değiştirebiliriz:
Notlar:
  • Bu özelliği kullanırken, logaritmayı herhangi bir x. tabanına değiştirmeyi seçebilirsiniz.
  • Her zaman olduğu gibi, bu özelliğin geçerli olması için, logaritmaların argümanları pozitif olmalıdır ve logaritmaların tabanları pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır!

Örnek: log2⁡(50)'yi hesaplama

Hedefiniz logaritmanın değerini bulmaksa, tabanı 10 veya e'ye değiştirin, çünkü bu logaritmalar hesap makinelerin çoğunda bulunabilir.
Onun için log2⁡(50)'nin tabanını 10 olarak değiştirelim.
Bunu yapmak için, taban değiştirme kuralını b=2, a=50, ve x=10 ile uyguluyoruz.
log2⁡(50)=log10⁡(50)log10⁡(2)Taban değişimi kuralı=log⁡(50)log⁡(2)Çünkülog10⁡(x)=log⁡(x)
Şimdi hesap makinesi kullanarak değeri bulabiliriz.
log2⁡(50)≈5,644

Konuyu ne kadar iyi anladığınızı test edin

1) log3⁡(20)'yi hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

2) log7⁡(400)'ü hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

3) log4⁡(0,3)'ü hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

Taban değiştirme kuralını açıklama

Bu noktada, şöyle düşünüyor olabilirsiniz, "Güzel, ama bu kural neden işe yarar?"
logb⁡(a)=logx⁡(a)logx⁡(b)←Taban değişimi kuralı
Bunu incelemek için, başlangıçtaki log2⁡(50) değerine dönelim. log2⁡(50)=n dersek, 2n=50 sonucuna varırız.
İki değer birbirine eşit olduğundan, her iki tarafın logaritmasını herhangi bir tabanda alabiliriz. Şimdi bunu elde ederiz:
2n=50logx⁡(2n)=logx⁡(50)If Y=Z, then logx⁡(Y)=logx⁡(Z)nlogx⁡(2)=logx⁡(50)Kuvvet Kuralın=logx⁡(50)logx⁡(2)İki tarafı da logx⁡(2) ile bölün
n=log2⁡(50) olduğundan, istediğimiz gibi log2⁡(50)=logx⁡(50)logx⁡(2) elde ettik!
Aynı mantıkla, taban değiştirme formülünü ispatlayabiliriz. 2'yi b'ye ve 50'yi a'ya değiştirin ve ispatınız hazır olur!

Zor problemler

1) log⁡(81)log⁡(3) değerini hesap makinesi kullanmadan bulunuz.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0,75 gibi
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

2) Hangi ifade log⁡(6)⋅log6⁡(a) ile denktir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.