Logaritmaların Değerini Bulalım: Taban Değiştirme Kuralı

Taban değiştirme formulünü kullanarak 5 tabanında log 100'ü en yakın bindeliğe yuvarlayarak bulunuz. Taban değiştirme yöntemi oldukça kullanışlıdır. Özellikle hesap makinası ile hesaplama yapıyorsanız bu yöntem sizin işinizi oldukça kolaylaştıracaktır. Çünkü çoğu hesap makinası, yazdığınız logaritmanın tabanını değiştirmenize izin vermiyor. Hesap makinalarının doğal logaritma, ve 10 tabanındaki logaritmalara göre fonksiyonları vardır. Doğal logaritmada bu arada e tabanında ki logaritmalara denir. Yani tabanı genellikle değiştirmeniz gerekiyor. Zamanımız kalırsa size formulün neden çok mantıklı olduğunu ve ona nasıl ulaştığımızı göstereceğim. Taban değiştirme formulü bize a tabanında log b'nin, x tabanında log b bölü x tabanında a'nın logaritması ile aynı olduğunu gösterir. Formul ile logaritmaların tabanını değiştirebiliyoruz, bu nedenle de bu formül bizim işimizi oldukça kolaylaştırıyor. Burada tabanımız a ve onu x ile değiştirebiliriz. Eğer hesap makinamızın belirli bir x tabanlı fonksiyonu varsa, tabanımızı bu fonksiyona çevirebiliriz. Bu bahsettiğim taban genellikle e ya da 10 olur. Ama tabi ki 10 tabanında hesaplama yapmak daha kolay. Genel olarak, birinin logaritmayı bu şekilde yazdığını görürseniz, eğer log x diye yazıyorlarsa 10 tabanında log x'ten bahsediyorladır. Eğer x'in doğal logaritması yazılmışsa, bu e tabanında log x'ten bahsediyordur. "e", burada sonsuza kadar devam eden 2.718... sayısı. Evet, şimdi bu öğrendiğimiz formülü bu soruda uygulayalım. 5 tabanında log 100'ümüz var. Bu taban değiştirme formulü, bize bunun x'i 10 ile değiştireceğim, 10 tabanında log 100 bölü 10 tabanında log 5 olduğunu söylüyor. Aslında bu üsteki kısmı bulmak için hesap makinasına ihtiyacımız yok. log 10 tabanında 100 10'un hangi kuvveti, bize 100'ü verir? Tabi ki 10 üzeri 2. Yani, bu sayı 2'ye eşit. Dolayısıyla bu denklem, 2 bölü, 10 tabanında log 5 ediyor. Hesap makinamızı kullanabiliriz.Çünkü 10 tabanında logaritmaları hesap makinamız ile hesaplayabiliyoruz. İstediğimiz sayıyı elde edebileceğiz; 2 bölü hesap makinasında sadece log yazıyorsa, bu 10 tabanını kasteder. Ln ise e tabanını kasteder. 10 tabanında log 5, bizden bunu en yakın bindeliğe yuvarlamamızı istiyorlar. Bu da yaklaşık olarak 2.861 ediyor. Bunu doğrulayabiliriz, çünkü teoride 5'i bu üste yükseltirsem 100 elde etmem gerekir. Mantıklı çünkü 5 üssü 2, 25 ve 5 üssü 3 ise 125 yapar. Bulduğumuz sayı da 3'e, 2'ye olduğundan daha yakın. Bunu doğrulayalım, 5'in bu kuvvetini alalım. Ne yaptığımızı en yakın bindeliğe yuvarlayıp yazayım. 5 üzeri 2.861, tüm basamakları koymuyorum. Neye ulaşıyoruz? 99,94 buldum. Tüm basamakları yazarsam 100'e çok yakın bir sayı etmem gerekir. 100'e ulaşmak için 5'in üzerine yazmam gereken kuvvet bu. Şimdi biraz düşünelim. a tabanında log b'nin, c sayısına eşit olduğunu düşünelim. Bu da a üzeri c'nin b'ye eşit olduğunu söyler. Bu yazdığımız üstel sayı biçiminde yazım; bu ise logaritmik yazım. Şimdi denklemin iki tarafını da istediğimiz tabana göre logaritmik olarak yazabiliriz. Mesela 10 üzeri kaç, b'ye eşit diyebilirsiniz. 10'un aynı kuvveti b'ye eşit olacaktır. Çünkü 10 üzeri c, b'ye eşit. O zaman iki tarafın da aynı logaritmasını alalım. Unutmayın ki, aynı tabanlı bir logaritma olması gerekiyor. Genel kuralı size kanıtlamak için, eşitliğin iki tarafını da x tabanında yapacağım. O zaman, x tabanında log a üzeri c, renklere bağlı kalmaya çalışıyorum x tabanında log b'ye eşit oluyor. Logaritmik özelliklerden biliyoruz ki log a üzeri c, c çarpı log a'ya eşit. Bunu uygularken tabanlar bizim için fark etmiyor. Tabi ki, eşitliğin sağ tarafında ise x tabanında log b mevcut. Eğer c'yi bulmak istersek, iki tarafı x tabanında log a'ya bölmemiz yeterli. Dolayısıyla c, x tabanında log b bölü x tabanında log a'ya eşit. Bu c, a tabanında log b'ye eşitti.Bunu da bir yazayım. Renklerine göre yazarsam daha rahat anlayacağınızı düşünüyorum o yüzden dikkat ediyorum. c, x tabanında log b bölü x tabanında log a'ya eşit. Buradan kopyalayıp yapıştırayım bunun da c'ye eşit olduğunu biliyoruz. C'yi böyle tanımlamıştık. Kopyalayıp yapıştıralım. Evet, bu da c'ye eşit.Ve bitti. Taban değiştirme formulünü kanıtladık. a tabanında ki log b, x tabanında log b bölü x tabanında log a'ya eşit. Bu örnekte, a 5, b 100 ve taban 10'du.