If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Ders 3: Logaritmanın Özellikleri
Matematik
Matematik III
Üstel İfadeler ve Logaritmalar
Logaritmanın Özellikleri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Logaritma Özelliklerini Doğrulayalım

Google Classroom
Logaritma özelliklerinin ispatlarını öğrenelim: çarpım kuralı, bölüm kuralı ve kuvvet kuralı.
Bu derste, üç logaritma özelliğini ispatlayacağız: çarpım kuralı, bölüm kuralı ve kuvvet kuralı. Başlamadan önce, yol boyunca bize yardımcı olacak yararlı bir gerçeği hatırlayalım.
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
Başka şekilde ifade edersek, b tabanında bir logaritma, b taban kuvvetinin etkisini tersine çevirir!
İzleyen ispatları okurken, bunu aklınızda tutun.

Çarpım Kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Kuralın özel bir durumunu - M, equals, 4, N, equals, 8 ve b, equals, 2 olduğu durum - ispatlayarak başlayalım.
Bu değerleri log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis'e koyduğumuzda, şunu görürüz:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 ve 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)Çu¨nku¨ 2=log⁡2(4) ve 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ ve } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Çünkü $2=\log_2(4)$ ve $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Böylece log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis olduğunu bulduk.
Bu bir durumu doğruluyor olmakla birlikte, çarpım kuralını genel olarak ispatlamak için bu mantığı kullanabiliriz.
Dikkat ederseniz, ispatın anahtarı 4 ve 8'i 2'nin kuvvetleri olarak yazmaktı. Buna göre, genel olarak, M ve N'nin b tabanının kuvvetleri olmasını isteriz. Bunu yapabilmek için, bazı x ve y gerçek sayıları için M, equals, b, start superscript, x, end superscript ve N, equals, b, start superscript, y, end superscript diyebiliriz.
Bu durumda tanıma göre, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x ve log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y olduğu da doğrudur.
Şimdi şunu elde ederiz:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Yerine koyma=log⁡b(bx+y)U¨slerin o¨zellikleri=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Yerine koyma\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Yerine koyma}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Yerine koyma}}} \end{aligned}

Bölüm Kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Bu özelliğin ispatı, yukarıda kullanılanla benzer bir yöntem izler.
Yeniden, M, equals, b, start superscript, x, end superscript ve N, equals, b, start superscript, y, end superscript dersek, o zaman log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x ve log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y sonucuna varabiliriz.
Şimdi bölüm kuralını aşağıdaki gibi ispatlayabiliriz:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Yerine koyma=log⁡b(bx−y)U¨slerin o¨zellikleri=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Yerine koyma\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Yerine koyma}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Yerine koyma}}} \end{aligned}

Kuvvet Kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Bu kez, sadece M bu özellikle ilgilidir ve bu nedenle M, equals, b, start superscript, x, end superscript demek yeterlidir, bu bize log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x olduğunu verir.
Kuvvet kuralının ispatı aşağıda gösterilmiştir.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Yerine koyma=log⁡b(bxp)U¨slerin o¨zellikleri=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pYerine koyma=p⋅log⁡b(M)Çarpma işlemi deg˘işme o¨zellig˘ine sahiptir\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Yerine koyma}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Yerine koyma}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{Çarpma işlemi değişme özelliğine sahiptir}}} \end{aligned}
Alternatif olarak, bu özelliği çarpım kuralını kullanarak ispatlayabiliriz.
Örneğin, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis olduğunu biliyoruz, burada M kendisiyle p kere çarpılmıştır.
Şimdi, ispatı tamamlamak için çarpım kuralını ve çarpmanın tekrarlayan toplama olması tanımını birlikte kullanabiliriz. Bu aşağıda gösterilmiştir.
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)U¨slerin tanımı=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Çarpım kuralı=p⋅log⁡b(M)Tekrarlanan toplama, çarpmadır\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Üslerin tanımı}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Çarpım kuralı}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Tekrarlanan toplama, çarpmadır}}}\end{aligned}
İşte böyle! Üç logaritma özelliğini ispatlamış olduk!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.