Ana içerik
Matematik III
Konu: Matematik III > Ünite 5
Ders 3: Logaritmanın Özellikleri- Logaritma Özellikleri 1
- Logaritma Özellikleri 2
- Logaritma Özellikleri
- Logaritmada Çarpım Kuralı
- Logaritmada Kuvvet Kuralı
- Logaritma Özelliklerini Kullanalım
- Logaritmanın Özellikleri: Çoklu Adımlar
- Logaritma Çarpım Kuralının İspatı
- Logaritmada Bölüm ve Kuvvet Kurallarının İspatı
- Logaritma Özelliklerini Doğrulayalım
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası
Logaritma Özelliklerini Doğrulayalım
Logaritma özelliklerinin ispatlarını öğrenelim: çarpım kuralı, bölüm kuralı ve kuvvet kuralı.
Bu derste, üç logaritma özelliğini ispatlayacağız: çarpım kuralı, bölüm kuralı ve kuvvet kuralı. Başlamadan önce, yol boyunca bize yardımcı olacak yararlı bir gerçeği hatırlayalım.
Başka şekilde ifade edersek, b tabanında bir logaritma, b taban kuvvetinin etkisini tersine çevirir!
İzleyen ispatları okurken, bunu aklınızda tutun.
Çarpım Kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Kuralın özel bir durumunu - M, equals, 4, N, equals, 8 ve b, equals, 2 olduğu durum - ispatlayarak başlayalım.
Bu değerleri log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis'e koyduğumuzda, şunu görürüz:
Böylece log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis olduğunu bulduk.
Bu bir durumu doğruluyor olmakla birlikte, çarpım kuralını genel olarak ispatlamak için bu mantığı kullanabiliriz.
Dikkat ederseniz, ispatın anahtarı 4 ve 8'i 2'nin kuvvetleri olarak yazmaktı. Buna göre, genel olarak, M ve N'nin b tabanının kuvvetleri olmasını isteriz. Bunu yapabilmek için, bazı x ve y gerçek sayıları için M, equals, b, start superscript, x, end superscript ve N, equals, b, start superscript, y, end superscript diyebiliriz.
Bu durumda tanıma göre, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x ve log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y olduğu da doğrudur.
Şimdi şunu elde ederiz:
Bölüm Kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Bu özelliğin ispatı, yukarıda kullanılanla benzer bir yöntem izler.
Yeniden, M, equals, b, start superscript, x, end superscript ve N, equals, b, start superscript, y, end superscript dersek, o zaman log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x ve log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y sonucuna varabiliriz.
Şimdi bölüm kuralını aşağıdaki gibi ispatlayabiliriz:
Kuvvet Kuralı: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Bu kez, sadece M bu özellikle ilgilidir ve bu nedenle M, equals, b, start superscript, x, end superscript demek yeterlidir, bu bize log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x olduğunu verir.
Kuvvet kuralının ispatı aşağıda gösterilmiştir.
Alternatif olarak, bu özelliği çarpım kuralını kullanarak ispatlayabiliriz.
Örneğin, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis olduğunu biliyoruz, burada M kendisiyle p kere çarpılmıştır.
Şimdi, ispatı tamamlamak için çarpım kuralını ve çarpmanın tekrarlayan toplama olması tanımını birlikte kullanabiliriz. Bu aşağıda gösterilmiştir.
İşte böyle! Üç logaritma özelliğini ispatlamış olduk!
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.