Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Ders 3: Logaritmanın Özellikleri

Logaritma Özelliklerini Doğrulayalım

Logaritma özelliklerinin ispatlarını öğrenelim: çarpım kuralı, bölüm kuralı ve kuvvet kuralı.

Bu derste, üç logaritma özelliğini ispatlayacağız: çarpım kuralı, bölüm kuralı ve kuvvet kuralı. Başlamadan önce, yol boyunca bize yardımcı olacak yararlı bir gerçeği hatırlayalım.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Başka şekilde ifade edersek,

b

tabanında bir logaritma,

b

taban kuvvetinin etkisini tersine çevirir!

[Bu neden doğrudur?]

İzleyen ispatları okurken, bunu aklınızda tutun.

Çarpım Kuralı: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Kuralın özel bir durumunu -

M = 4

N = 8

b = 2

olduğu durum - ispatlayarak başlayalım.

Bu değerleri

\log_{b} (M N)

'e koyduğumuzda, şunu görürüz:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 ve 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Çünkü 2 = \log_{2} (4) ve 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Böylece

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

olduğunu bulduk.

Bu bir durumu doğruluyor olmakla birlikte, çarpım kuralını genel olarak ispatlamak için bu mantığı kullanabiliriz.

Dikkat ederseniz, ispatın anahtarı

4

8

2

'nin kuvvetleri olarak yazmaktı. Buna göre, genel olarak,

M

N

'nin

b

tabanının kuvvetleri olmasını isteriz. Bunu yapabilmek için, bazı

x

y

gerçek sayıları için

M = b^{x}

N = b^{y}

diyebiliriz.

[Neden bunu yapabiliriz?]

Bu durumda tanıma göre,

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

olduğu da doğrudur.

Şimdi şunu elde ederiz:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Yerine koyma \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Üslerin özellikleri \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Yerine koyma \end{aligned}$ ‍

Bölüm Kuralı: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Bu özelliğin ispatı, yukarıda kullanılanla benzer bir yöntem izler.

Yeniden,

M = b^{x}

N = b^{y}

dersek, o zaman

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

sonucuna varabiliriz.

Şimdi bölüm kuralını aşağıdaki gibi ispatlayabiliriz:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Yerine koyma \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Üslerin özellikleri \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Yerine koyma \end{aligned}$ ‍

Kuvvet Kuralı: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Bu kez, sadece

M

bu özellikle ilgilidir ve bu nedenle

M = b^{x}

demek yeterlidir, bu bize

\log_{b} (M) = x

olduğunu verir.

Kuvvet kuralının ispatı aşağıda gösterilmiştir.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Yerine koyma \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Üslerin özellikleri \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Yerine koyma \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Çarpma işlemi değişme özelliğine sahiptir \end{aligned}$ ‍

Alternatif olarak, bu özelliği çarpım kuralını kullanarak ispatlayabiliriz.

Örneğin,

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

olduğunu biliyoruz, burada

M

kendisiyle

p

kere çarpılmıştır.

Şimdi, ispatı tamamlamak için çarpım kuralını ve çarpmanın tekrarlayan toplama olması tanımını birlikte kullanabiliriz. Bu aşağıda gösterilmiştir.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Üslerin tanımı \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Çarpım kuralı \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Tekrarlanan toplama, çarpmadır \end{aligned}

İşte böyle! Üç logaritma özelliğini ispatlamış olduk!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Çarpım Kuralı: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Bölüm Kuralı: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Kuvvet Kuralı: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Çarpım Kuralı: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Bölüm Kuralı: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Kuvvet Kuralı: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍