Logaritma Çarpım Kuralının İspatı

Merhaba, bu videoda logaritmaların özelliklerinden biri üzerinde daha çalışacağız. Hızlıca logaritmaların ne olduğunu hatırlayalım. Log x tabanında a'nın, n'ye eşit olduğunu yazıyorum. Bu ne demek? Bu x üzeri n, a'ya eşit demek. Bunu zaten biliyoruz. Bunu logaritma videosunda öğrenmiştik. Log x tabanında a gibi bir logaritmik ifadeyi genişletince, ulaşılan cevabın bir üs olduğunu fark etmeniz önemli. Burada n bir kuvvet. Log x tabanında a, n'ye eşit. x üzeri log x tabanında a'da, a'ya eşit. Bunu bu şekilde de yazabiliriz. Bütün yaptığım n'nin yerine bu ifadeyi koymak oldu, çünkü ikisi de birbirine eşit. Bunu bu şekilde yazdım çünkü; logaritmanın aslında bir kuvvet olduğu mantığını gerçekten kavramanızı istiyorum. Çünkü bu durum, tüm logaritmik özelliklerin oluşmasını sağlıyor. Logaritmayı, bu bakış açısıyla inceleyeceğiz. Şimdi logaritmalarla ilgili kuralların üzerinden geçeceğiz, bazılarını sayılarla deneyeceğiz. Sonrasında da yaptıklarımızı size özetleyeceğim. Eğer zamanımız kalırsa bu kuralların nasıl bulunduklarını da sizlere açıklayabilirim. Mesela x üzeri L a'ya eşit olsun. Bu ifadeyi logaritma ile yazarsak, log x tabanında a, L'ye eşittir, değil mi? Sadece yukarıda yazdığımı yeniden yazdım. Eğer x üssü m, b'ye eşittir dersem, bu tamamen aynı şey. Sadece harfleri değiştirmiş oldum. Bu log x tabanında b, m'ye eşit demektir, doğru mu? Bir üst satırda yaptığımla aynı şeyi yaptım. Sadece başka bir harf kullandım. Şimdi devam edelim ve ne olacağına bakalım. Şu anda Sal , bu işlemle nereye gidiyorsun? diyebilirsiniz. -Göreceksiniz. Diyelim ki, x üzeri n eşittir a çarpı b. Bu da; log x tabanında A çarpı B'ye eşittir demek. Peki bu yazdıklarımızla ne yapacağız? İlk olarak buradakiyle başlayalım. x üzeri n eşittir A çarpı B. Bunu nasıl başka bir şekilde yazardık? A buna eşit, ve B de buna eşit, değil mi? x üzeri n'in A'ya eşit olduğunu biliyoruz. A bu. A da x üzeri L'ye eşit. çarpı B. B, x üssü m, değil mi? Fakat x üzeri L çarpı x üzeri m nedir? Bunu üslü sayıların özelliklerinden biliyoruz. Aynı tabandaki, kuvvetleri farklı iki ifadeyi çarptığınızda, kuvvetleri birbiriyle toplarsınız. Bu ifade, x üzeri L, artı m'ye eşit. Şimdi ne biliyoruz? x üzeri n'in, x üzeri L artı m'e eşit olduğunu biliyoruz, değil mi? Gördüğünüz gibi tabanlar aynı. Bu iki üslü ifade birbirine eşit olmak zorunda. Yani biliyoruz ki n, L artı m'ye eşit. Bu bizim bayağı işimize yarayacak. Peki, n'i yazmanın bir başka yolu nedir? Pardon, aslında burada bir adım atladım. Geriye, x üssü n'in, A çarpı B'ye eşit olduğu yere dönüyorum. Bu log x tabanında, A çarpı B, n'ye eşittir demek. Sadece unuttuğum bir şeyi düzelttim. Evet, n nedir? n'yi hemen yazalım. log x tabanında, A çarpı B. Biliyoruz ki n yerine, log x tabanında A çarpı B yazabiliriz. Peki, bu neye eşittir? Bu L artı m'ye eşittir. L'yi yazmanın bir diğer yolu hemen burada. Bu eşittir, log x tabanında, a artı log x tabanında b. İşte ilk kuralımızı bulduk. Log x tabanında A çarpı B, eşittir log x tabanında, A artı, log x tabanında B. Umarım bu yaptığımız bu kanıt sayesinde bu kuralı anlamışsınızdır. Bunun neden böyle olduğunu kavramak istiyorsanız, logaritmalara her zaman bir üs olarak bakın. Bu videoyu burada bitireceğim çünkü yeni videoda, logaritmaların özelliklerinden bir tanesini daha kanıtlayacağım. Hoşçakalın.