Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Ders 1: Logaritma

Logaritma

Google Classroom

Logaritmanın ne olduğunu ve nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler

Tercihen negatif üsler de dahil olmak üzere üsler konusuna aşina olmalısınız.

Bu derste öğrenecekleriniz

Logaritmanın ne olduğunu öğrenecek ve bazı basit logaritmaların değerini hesaplayacaksınız. Bu, sizi gelecekte yapacağınız logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar çalışmalarınız için hazırlayacak.

Logaritma nedir?

Logaritmalar, üsleri düşünmenin bir başka yoludur.

Örneğin,

2

'nin

4

. kuvvetinin

16

'ya eşit olduğunu bliyoruz. Bu,

2^{4} = 16

üstel denklemiyle ifade edilir.

Şimdi diyelim ki, birisi bize "

2

'nin hangi kuvveti

16

'dır?" diye sordu. O zaman, cevap

4

olur. Bu,

\log_{2} (16) = 4

logaritmalı denklemiyle ifade edilir ve "log iki tabanında on altı eşittir dört'' olarak okunur.

$2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4$ ‍

İki denklem de

2

4

, ve

16

sayıları arasındaki aynı ilişkiyi ifade eder, burada

2

taban,

4

üstür.

Aradaki fark şöyledir, üstel form kuvveti

(16)

tek başına bırakırken logaritmalı form üssü

(4)

tek başına bırakır.

Burada denk logaritmalı ve üstel denklemlerle ilgili başka örnekler bulabilirsiniz.

Logaritmik form		Üstel form
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Logaritmanın tanımı

Üstteki örnekleri genelleştirerek logaritmanın biçimsel bir tanımına ulaşabiliriz.

$\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a$ ‍

Her iki denklem de

a

b

c

sayıları arasındaki aynı ilişkiyi tanımlar:

$b$ ‍ $taban$ ‍dır,
$c$ ‍ $üs$ ‍tür ve
$a$ ‍, $argüman$ ‍dır.

Yararlı bir not

Üstel bir denklemi logaritmalı formda, veya logaritmalı bir denklemi üstel formda yazarken, logaritmanın tabanının üssün tabanıyla aynı olduğunu hatırlamak faydalı olur.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Aşağıdaki problemlerde, denklemlerin üstel ve logaritmik formlarını birbirine çevireceksiniz.

1) Aşağıdakilerden hangisi, $2^{5} = 32$ ‍'ye denktir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

1) Aşağıdakilerden hangisi, $5^{3} = 125$ ‍'e denktir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

3) $\log_{2} (64) = 6$ ‍'yı üstel formda yazınız.

[Yardıma ihtiyacım var!]

4) $\log_{4} (16) = 2$ ‍'yi üstel formda yazınız.

[Yardıma ihtiyacım var!]

Logaritmaların değerini bulma

Harika! Artık üslerle logaritmalar arasındaki ilişkiyi anladığımıza göre, logaritma değerlerini bulmayı görelim.

Örneğin

\log_{4} (64)

'ü hesaplayalım.

O ifadeyi

x

'e eşitleyerek başlayalım.

$\log_{4} (64) = x$ ‍

Bunu bir üstel denklem olarak yazmak, bize aşağıdakini verir:

$4^{x} = 64$ ‍

4

'ün hangi kuvveti

64

'tür? Şimdi,

4^{3} = 64

ve böylece

\log_{4} (64) = 3

Daha çok alıştırma yaptıkça, bu adımları birleştirmeyi ve

\log_{4} (64)

'ün değerini bulurken sadece " $4$ ‍'ün hangi kuvveti $64$ ‍'tür?" diye sormayı düşünebilirsiniz.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Unutmayın,

\log_{b} (a)

değerini bulurken, şöyle sorabilirsiniz: "

b

'nin hangi kuvveti

a

'dır?"

5) $\log_{6} (36) =$ ‍
Cevabınız şöyle olmalı
bir tam sayı, $6$ ‍ gibi
basit kesir, $3 / 5$ ‍ gibi
birleşik kesir, $7 / 4$ ‍ gibi
$1 3 / 4$ ‍ gibi bir tam sayılı kesir
ondalık sayı, $0, 75$ ‍ gibi
pi'nin katı, $12 g i b i pi$ ‍ veya $2 / 3 pi$ ‍

[Yardıma ihtiyacım var!]

\log_{3} (27) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

\log_{4} (4) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

\log_{5} (1) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

Zor Problem

9*)

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

Değişkenlerdeki kısıtlamalar

\log_{b} (a)

, taban

b

pozitif olduğunda ve

1

' eşit olmadığında ve

a

argümanı pozitif olduğunda tanımlıdır. Bu kısıtlamalar, logaritmalar ve üsler arasındaki bağlantının bir sonucudur.

Kısıtlama	Mantık
$b > 0$ ‍	Üstel bir fonksiyonda, taban $b$ ‍ daima pozitif olarak tanımlanır.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍, $b^{c} = a$ ‍ olduğu anlamını taşır. Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti pozitif olduğundan $b^{c} > 0$ ‍'dır, buna göre $a > 0$ ‍'dır.
$b \neq 1$ ‍	Bir an için $b$ ‍'nin $1$ ‍ olabileceğini varsayın. Şimdi $\log_{1} (3) = x$ ‍ denklemini düşünün. Denk üstel form, $1^{x} = 3$ ‍ olacaktır. Ancak bu asla doğru olamaz, zira $1$ ‍'in herhangi bir kuvveti daima $1$ ‍'dir. Dolayısıyla, $b \neq 1$ ‍.

Özel logaritmalar

Bir logaritmanın tabanı pek çok değişik değer olabilir. Bununla birlikte, diğerlerinden daha sık kullanılan iki taban bulunmakatdır.

Çoğu hesap makinesinde sadece bu iki tip logaritma için butonlar bulunur. Şimdi bunları gözden geçirelim.

Bayağı logaritma (onluk logaritma)

Bayağı logaritma, tabanı

10

olan ("

10

tabanlı logaritma") logaritmadır.

Bu logaritmaları matematiksel olarak yazarken, tabanı yazmayız. Tabanın

10

olduğu anlaşılır.

$\log_{10} (x) = \log (x)$ ‍

Doğal logaritma

Doğal logaritma, tabanı

e

sayısı olan ("

e

tabanlı logaritma") logaritmadır.

[e nedir?]

Tabanı

e

olarak yazmak yerine, logaritmayı

\ln

ile gösteririz.

$\log_{e} (x) = \ln (x)$ ‍

Bu iki özel logaritma için bilmemiz gerekenler, bu tabloda özetlenmiştir:

İsim	Taban	Normal gösterim	Özel gösterim
Bayağı logaritma	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Doğal logaritma	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Gösterim farklı olmakla birlikte, logaritmayı hesaplamanın ardındaki düşünce tam olarak aynıdır!

[Onluk ve doğal logaritma değerleri bulmayla ilgili birkaç örnek görmek istiyorum.]

Logaritmaları neden öğreniyoruz?

Az önce öğrendiğiniz gibi, logaritmalar üsleri tersine çevirir. Bu nedenle, üstel denklemleri çözmek için çok işe yararlar.

Örneğin,

2^{x} = 5

için sonuç bir logaritma olarak verilebilir,

x = \log_{2} (5)

. Önümüzdeki derslerde, bu logaritma ifadesinin değerinin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.

Logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar son derece ilginçtir ve aslında günlük yaşamda oldukça yaygın kullanılırlar. Örneğin, fiziksel olguların çoğu logaritmik ölçekler ile ölçülür.

Bir sonraki nedir?

Logaritma ifadelerini tekrar yazmamıza yardımcı olan logaritmaların özelliklerini ve hesap makinesi kullanarak istediğimiz herhangi bir logaritmayı hesaplamamızı sağlayacak olan taban değiştirme kuralını öğrenin.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Beren Erdoğan
6 yıl önce önce paylaşıldı. Beren Erdoğan kullanıcısının ''Logaritmayı neden öğrendi'...' gönderisini görmek için direkt link
Logaritmayı neden öğrendiğimize dair daha güzel açıklamalar eklenebilir :))
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(14 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.