Ana içerik
Matematik III
Konu: Matematik III > Ünite 5
Ders 1: Logaritma- Logaritma
- Logaritma
- Logaritmaların Değerini Bulalım (İleri Seviye)
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişki
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişkiyi Grafikte Gösterelim
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişkiyi Tabloda Gösterelim
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişki
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası
Logaritma
Logaritmanın ne olduğunu ve nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim.
Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler
Tercihen negatif üsler de dahil olmak üzere üsler konusuna aşina olmalısınız.
Bu derste öğrenecekleriniz
Logaritmanın ne olduğunu öğrenecek ve bazı basit logaritmaların değerini hesaplayacaksınız. Bu, sizi gelecekte yapacağınız logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar çalışmalarınız için hazırlayacak.
Logaritma nedir?
Logaritmalar, üsleri düşünmenin bir başka yoludur.
Örneğin, start color #11accd, 2, end color #11accd'nin start color #0d923f, 4, end color #0d923f. kuvvetinin start color #e07d10, 16, end color #e07d10'ya eşit olduğunu bliyoruz. Bu, start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10 üstel denklemiyle ifade edilir.
Şimdi diyelim ki, birisi bize "start color #11accd, 2, end color #11accd'nin hangi kuvveti start color #e07d10, 16, end color #e07d10'dır?" diye sordu. O zaman, cevap start color #0d923f, 4, end color #0d923f olur. Bu, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f logaritmalı denklemiyle ifade edilir ve "log iki tabanında on altı eşittir dört'' olarak okunur.
İki denklem de start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, ve start color #e07d10, 16, end color #e07d10 sayıları arasındaki aynı ilişkiyi ifade eder, burada start color #11accd, 2, end color #11accd taban, start color #0d923f, 4, end color #0d923f üstür.
Aradaki fark şöyledir, üstel form kuvveti left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis tek başına bırakırken logaritmalı form üssü left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis tek başına bırakır.
Burada denk logaritmalı ve üstel denklemlerle ilgili başka örnekler bulabilirsiniz.
Logaritmik form | Üstel form | |
---|---|---|
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
Logaritmanın tanımı
Üstteki örnekleri genelleştirerek logaritmanın biçimsel bir tanımına ulaşabiliriz.
Her iki denklem de start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd ve start color #0d923f, c, end color #0d923f sayıları arasındaki aynı ilişkiyi tanımlar:
- start color #11accd, b, end color #11accd start color #11accd, start text, t, a, b, a, n, end text, end color #11accddır,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f start color #0d923f, start text, u, with, \", on top, s, end text, end color #0d923ftür ve
- start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #e07d10, start text, a, r, g, u, with, \", on top, m, a, n, end text, end color #e07d10dır.
Yararlı bir not
Üstel bir denklemi logaritmalı formda, veya logaritmalı bir denklemi üstel formda yazarken, logaritmanın tabanının üssün tabanıyla aynı olduğunu hatırlamak faydalı olur.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Aşağıdaki problemlerde, denklemlerin üstel ve logaritmik formlarını birbirine çevireceksiniz.
Logaritmaların değerini bulma
Harika! Artık üslerle logaritmalar arasındaki ilişkiyi anladığımıza göre, logaritma değerlerini bulmayı görelim.
Örneğin log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis'ü hesaplayalım.
O ifadeyi x'e eşitleyerek başlayalım.
Bunu bir üstel denklem olarak yazmak, bize aşağıdakini verir:
4'ün hangi kuvveti 64'tür? Şimdi, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 ve böylece log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Daha çok alıştırma yaptıkça, bu adımları birleştirmeyi ve log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis'ün değerini bulurken sadece "4'ün hangi kuvveti 64'tür?" diye sormayı düşünebilirsiniz.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Unutmayın, log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis değerini bulurken, şöyle sorabilirsiniz: "start color #11accd, b, end color #11accd'nin hangi kuvveti start color #e07d10, a, end color #e07d10'dır?"
Zor Problem
Değişkenlerdeki kısıtlamalar
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, taban b pozitif olduğunda ve 1' eşit olmadığında ve a argümanı pozitif olduğunda tanımlıdır. Bu kısıtlamalar, logaritmalar ve üsler arasındaki bağlantının bir sonucudur.
Kısıtlama | Mantık |
---|---|
b, is greater than, 0 | Üstel bir fonksiyonda, taban b daima pozitif olarak tanımlanır. |
a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c, b, start superscript, c, end superscript, equals, a olduğu anlamını taşır. Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti pozitif olduğundan b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0'dır, buna göre a, is greater than, 0'dır. |
b, does not equal, 1 | Bir an için b'nin 1 olabileceğini varsayın. Şimdi log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x denklemini düşünün. Denk üstel form, 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3 olacaktır. Ancak bu asla doğru olamaz, zira 1'in herhangi bir kuvveti daima 1'dir. Dolayısıyla, b, does not equal, 1. |
Özel logaritmalar
Bir logaritmanın tabanı pek çok değişik değer olabilir. Bununla birlikte, diğerlerinden daha sık kullanılan iki taban bulunmakatdır.
Çoğu hesap makinesinde sadece bu iki tip logaritma için butonlar bulunur. Şimdi bunları gözden geçirelim.
Bayağı logaritma (onluk logaritma)
Bayağı logaritma, tabanı 10 olan ("10 tabanlı logaritma") logaritmadır.
Bu logaritmaları matematiksel olarak yazarken, tabanı yazmayız. Tabanın 10 olduğu anlaşılır.
Doğal logaritma
Doğal logaritma, tabanı e sayısı olan ("e tabanlı logaritma") logaritmadır.
Tabanı e olarak yazmak yerine, logaritmayı natural log ile gösteririz.
Bu iki özel logaritma için bilmemiz gerekenler, bu tabloda özetlenmiştir:
İsim | Taban | Normal gösterim | Özel gösterim |
---|---|---|---|
Bayağı logaritma | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
Doğal logaritma | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
Gösterim farklı olmakla birlikte, logaritmayı hesaplamanın ardındaki düşünce tam olarak aynıdır!
Logaritmaları neden öğreniyoruz?
Az önce öğrendiğiniz gibi, logaritmalar üsleri tersine çevirir. Bu nedenle, üstel denklemleri çözmek için çok işe yararlar.
Örneğin, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 için sonuç bir logaritma olarak verilebilir, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Önümüzdeki derslerde, bu logaritma ifadesinin değerinin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.
Logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar son derece ilginçtir ve aslında günlük yaşamda oldukça yaygın kullanılırlar. Örneğin, fiziksel olguların çoğu logaritmik ölçekler ile ölçülür.
Bir sonraki nedir?
Logaritma ifadelerini tekrar yazmamıza yardımcı olan logaritmaların özelliklerini ve hesap makinesi kullanarak istediğimiz herhangi bir logaritmayı hesaplamamızı sağlayacak olan taban değiştirme kuralını öğrenin.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
- Logaritmayı neden öğrendiğimize dair daha güzel açıklamalar eklenebilir :))(12 oy)