If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 5

Ders 1: Logaritma
Matematik
Matematik III
Üstel İfadeler ve Logaritmalar
Logaritma
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Logaritma

Google Classroom
Logaritmanın ne olduğunu ve nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim. 

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler

Tercihen negatif üsler de dahil olmak üzere üsler konusuna aşina olmalısınız.

Bu derste öğrenecekleriniz

Logaritmanın ne olduğunu öğrenecek ve bazı basit logaritmaların değerini hesaplayacaksınız. Bu, sizi gelecekte yapacağınız logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar çalışmalarınız için hazırlayacak.

Logaritma nedir?

Logaritmalar, üsleri düşünmenin bir başka yoludur.
Örneğin, start color #11accd, 2, end color #11accd'nin start color #0d923f, 4, end color #0d923f. kuvvetinin start color #e07d10, 16, end color #e07d10'ya eşit olduğunu bliyoruz. Bu, start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10 üstel denklemiyle ifade edilir.
Şimdi diyelim ki, birisi bize "start color #11accd, 2, end color #11accd'nin hangi kuvveti start color #e07d10, 16, end color #e07d10'dır?" diye sordu. O zaman, cevap start color #0d923f, 4, end color #0d923f olur. Bu, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f logaritmalı denklemiyle ifade edilir ve "log iki tabanında on altı eşittir dört'' olarak okunur.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
İki denklem de start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, ve start color #e07d10, 16, end color #e07d10 sayıları arasındaki aynı ilişkiyi ifade eder, burada start color #11accd, 2, end color #11accd taban, start color #0d923f, 4, end color #0d923f üstür.
Aradaki fark şöyledir, üstel form kuvveti left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis tek başına bırakırken logaritmalı form üssü left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis tek başına bırakır.
Burada denk logaritmalı ve üstel denklemlerle ilgili başka örnekler bulabilirsiniz.
Logaritmik formÜstel form
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Logaritmanın tanımı

Üstteki örnekleri genelleştirerek logaritmanın biçimsel bir tanımına ulaşabiliriz.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Her iki denklem de start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd ve start color #0d923f, c, end color #0d923f sayıları arasındaki aynı ilişkiyi tanımlar:
  • start color #11accd, b, end color #11accd start color #11accd, start text, t, a, b, a, n, end text, end color #11accddır,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f start color #0d923f, start text, u, with, \", on top, s, end text, end color #0d923ftür ve
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #e07d10, start text, a, r, g, u, with, \", on top, m, a, n, end text, end color #e07d10dır.

Yararlı bir not

Üstel bir denklemi logaritmalı formda, veya logaritmalı bir denklemi üstel formda yazarken, logaritmanın tabanının üssün tabanıyla aynı olduğunu hatırlamak faydalı olur.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Aşağıdaki problemlerde, denklemlerin üstel ve logaritmik formlarını birbirine çevireceksiniz.
1) Aşağıdakilerden hangisi, 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32'ye denktir?
1 cevap seçin:

1) Aşağıdakilerden hangisi, 5, cubed, equals, 125'e denktir?
1 cevap seçin:

3) log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6'yı üstel formda yazınız.

4) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2'yi üstel formda yazınız.

Logaritmaların değerini bulma

Harika! Artık üslerle logaritmalar arasındaki ilişkiyi anladığımıza göre, logaritma değerlerini bulmayı görelim.
Örneğin log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis'ü hesaplayalım.
O ifadeyi x'e eşitleyerek başlayalım.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Bunu bir üstel denklem olarak yazmak, bize aşağıdakini verir:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
4'ün hangi kuvveti 64'tür? Şimdi, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 ve böylece log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Daha çok alıştırma yaptıkça, bu adımları birleştirmeyi ve log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis'ün değerini bulurken sadece "4'ün hangi kuvveti 64'tür?" diye sormayı düşünebilirsiniz.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Unutmayın, log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis değerini bulurken, şöyle sorabilirsiniz: "start color #11accd, b, end color #11accd'nin hangi kuvveti start color #e07d10, a, end color #e07d10'dır?"
5) log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zor Problem

9*) log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Değişkenlerdeki kısıtlamalar

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, taban b pozitif olduğunda ve 1' eşit olmadığında ve a argümanı pozitif olduğunda tanımlıdır. Bu kısıtlamalar, logaritmalar ve üsler arasındaki bağlantının bir sonucudur.
KısıtlamaMantık
b, is greater than, 0Üstel bir fonksiyonda, taban b daima pozitif olarak tanımlanır.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c, b, start superscript, c, end superscript, equals, a olduğu anlamını taşır. Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti pozitif olduğundan b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0'dır, buna göre a, is greater than, 0'dır.
b, does not equal, 1Bir an için b'nin 1 olabileceğini varsayın. Şimdi log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x denklemini düşünün. Denk üstel form, 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3 olacaktır. Ancak bu asla doğru olamaz, zira 1'in herhangi bir kuvveti daima 1'dir. Dolayısıyla, b, does not equal, 1.

Özel logaritmalar

Bir logaritmanın tabanı pek çok değişik değer olabilir. Bununla birlikte, diğerlerinden daha sık kullanılan iki taban bulunmakatdır.
Çoğu hesap makinesinde sadece bu iki tip logaritma için butonlar bulunur. Şimdi bunları gözden geçirelim.

Bayağı logaritma (onluk logaritma)

Bayağı logaritma, tabanı 10 olan ("10 tabanlı logaritma") logaritmadır.
Bu logaritmaları matematiksel olarak yazarken, tabanı yazmayız. Tabanın 10 olduğu anlaşılır.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Doğal logaritma

Doğal logaritma, tabanı e sayısı olan ("e tabanlı logaritma") logaritmadır.
Tabanı e olarak yazmak yerine, logaritmayı natural log ile gösteririz.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Bu iki özel logaritma için bilmemiz gerekenler, bu tabloda özetlenmiştir:
İsimTabanNormal gösterimÖzel gösterim
Bayağı logaritma10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Doğal logaritmaelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Gösterim farklı olmakla birlikte, logaritmayı hesaplamanın ardındaki düşünce tam olarak aynıdır!

Logaritmaları neden öğreniyoruz?

Az önce öğrendiğiniz gibi, logaritmalar üsleri tersine çevirir. Bu nedenle, üstel denklemleri çözmek için çok işe yararlar.
Örneğin, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 için sonuç bir logaritma olarak verilebilir, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Önümüzdeki derslerde, bu logaritma ifadesinin değerinin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.
Logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar son derece ilginçtir ve aslında günlük yaşamda oldukça yaygın kullanılırlar. Örneğin, fiziksel olguların çoğu logaritmik ölçekler ile ölçülür.

Bir sonraki nedir?

Logaritma ifadelerini tekrar yazmamıza yardımcı olan logaritmaların özelliklerini ve hesap makinesi kullanarak istediğimiz herhangi bir logaritmayı hesaplamamızı sağlayacak olan taban değiştirme kuralını öğrenin.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.