Örnek 2: Bileşke Fonksiyonla Modelleme Yapalım

Yakıt bir depolama tankına pompalanıyor. Depodaki yakıtın hacmi V, aşağıdaki formüle göre derinliğe, d'ye bağlı. V(d) eşittir dört çarpı üç d kare artı beşin üçüncü kuveti Burada d metre cinsinden verilmiş. Diyelim ki yakıtın derinliği olan d saat cinsinden ölçülen zamana bağlı olsun. O zaman ne olacak? Şu formüle göre: d(t) eşittir 1 bölü karekök 3, çarpı karekök t eksi 5. Bu mantıklı, bir yakıt tankına bir şey pompalıyorsam, doldurduğum şeyin derinliği zamana bağlıdır öyle değil mi? ve hacim de derinliğe bağlı olabilir. Bileşke fonksiyonlar kullanarak depodaki yakıtı zaman cinsinden bir fonksiyon olarak yazınız. Cevabınızı en sade şekilde ifade ediniz. Burada hacim, derinliğe göre bir fonksiyon ve burada da derinlik zamana göre bir fonksiyon olarak verilmiş. Hacmi zaman cinsinden bir fonksiyon olarak bulmak istiyoruz. Bunu bulacağız. Bunu, V(d(t)) olarak alabiliriz. V(d(t)) Bu bize hacmi zaman cinsinden bir fonksiyon olarak verir. d gördüğüm her yere d'nin zamana göre değişiminin bu tanımını yazalım Böyle yapalım. V(d(t)) eşittir dört çarpı üç çarpı d kare d kare yerine bunun tamamının karesini yazacağım. Yani bir bölü karekök üç çarpı karekök t eksi beş bunun tamamının karesi artı beşin üçünçü kuvveti Bu umarım makul bir şekilde sadeleşiyordur. Bakalım bunu kopyalayıp yapıştırayım da biraz yer açılsın Evet Tamam şimdi bu şuna eşit olacak Şuradakinin karesini alalım. Bu dört çarpı üç çarpı bunun tamamının karesi olur Bir bölü karekök üçün karesi bir bölü üç olur. Sonra karekök t eksi beşin karesi t eksi beş olur. Sonra da artı beş üzeri üç var. Şimdi üç çarpı bir bölü üç eşittir bir burada dört çarpı t eksi beş artı beş kaldı, bu güzelce sadeleşir. Burada dört çarpı t'nin üçüncü kuvveti kaldı. Bunu V(t)'ye koyalım. Şimdi bunu açıklayayım. burada V var. Hacmi zaman cinsinden veriyor. V(t) eşittir dört t üzeri üç Bu, hacmi zaman cinsinden gösteren bir fonksiyon. Birazdan size hacmi söyleyebilirim. dört t üzeri üç dört t'nin üçüncü kuvveti Şimdi bu sorunun ikinci bir kısmı var İki saat sonra tankta kaç metreküp yakıt olacak? Cevabınızı en yakın onda birliğe yuvarlayınız. İki saatin anlamı t'nin ikiye eşit olmasıdır. t'nin saat cinsinden olduğunu söylemişler. t ikiye eşit olduğunda Hacim, ikinin üçüncü kuvveti olan sekiz olur. sekiz çarpı dört sekiz çarpı dört eşittir otuz iki Bakalım doğru yapmış mıyız? Evet, doğru bulmuşuz. Şahane!