Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 1

Ders 7: Fonksiyonların Terslerini Bulalım

Fonksiyonların Terslerini Bulalım

f(x)=3x+2 gibi bir fonksiyonun tersinin formülünün nasıl bulunduğu öğrenmek ister misiniz?

Ters fonksiyonlar, en genel anlamıyla, birbirini ''tersine çeviren'' fonksiyonlardır. Örneğin, eğer

f

fonksiyonu

a

'yı

b

'ye götürüyor ise, bu durumda tersi olan

f^{- 1}

b

'yi

a

'ya götürüyor olmalıdır.

Başka şekilde ifade edersek,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

'dır.

Bu makalede, orijinal fonksiyonun formülünü bildiğimizde ters fonksiyonun formülünü nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Başlamadan önce...

Bu derste,

f (x) = 3 x + 2

'nin ters fonksiyonunu bulacağız.

Bunu yapmadan önce,

f^{- 1} (8)

'i nasıl bulacağımızı düşünelim.

f^{- 1} (8)

'i bulmak için,

f

'nin

8

çıktısıyla eşleşen girdisini bulmalıyız. Bunun nedeni, eğer

f^{- 1} (8) = x

ise, bu durumda terslerin tanımına göre

f (x) = 8

olmasıdır.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Let f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & İki taraftan da 2 çıkarın \\ 2 & = x & İki tarafı da 3’e bölün \end{aligned}

Buna göre

f (2) = 8

'dir, bu

f^{- 1} (8) = 2

anlamını taşır.

Ters fonksiyon bulma

Yukarıda herhangi bir

y

için

f^{- 1} (y)

'yi bulmak için yaptıklarımızı genelleştirebiliriz.

[Burada neden y kullandık?]

f^{- 1} (y)

'yi bulmak için,

f

'nin

y

çıktısıyla eşleşen girdisini bulmalıyız. Bunun nedeni, eğer

f^{- 1} (y) = x

ise, bu durumda terslerin tanımına göre

f (x) = y

olmasıdır.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Let f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & İki taraftan da 2 çıkarın \\ \frac{y - 2}{3} & = x & İki tarafı da 3’e bölün \end{aligned}

Buna göre,

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Değişken seçimi isteğe bağlı olduğundan, bunu

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

olarak yazabiliriz.

[Bunu yapmak için başka bir yol var mı?]

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) Doğrusal fonksiyon

$g (x) = 2 x - 5$ ‍'in tersini bulun.

g^{- 1} (x) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

2) Üçüncü dereceden fonksiyon

$h (x) = x^{3} + 2$ ‍'nin tersini bulun.

h^{- 1} (x) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

3) Küp kök fonksiyonu

$f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍'in tersini bulun.

f^{- 1} (x) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

4) Rasyonel fonksiyonlar

$g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍'nin tersini bulun.

g^{- 1} (x) =

[Yardıma ihtiyacım var!]

5) Zor problem

Her fonksiyonu, tersinin türüyle eşleştirin.

1

[Yardıma ihtiyacım var!]

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.