Ters Fonksiyonlar

Önce, fonksiyonlar ne yapar, onu düşünelim. Sonra da, ters fonksiyonlar nasıl işler, ona bakacağız. Basit bir fonksiyon ile başlayalım. "f x" eşittir "2 x" artı 4, diyelim. Şimdi "f 2" olarak düşünelim. "f 2" kaça eşittir? 2 çarpı 2, artı 4. Yani, 4 artı 4; oda 8 eder. Şimdi "f 3"e bakalım "f 3". Yani, "2 çarpı 3", artı 4; o ne eder ? oda 10 olur.6 artı 4, 10 eder değil mi . ? Şimdi konuyu biraz daha soyut olarak düşünelim. Bu fonksiyona yerleştirebileceğim şeylerin, değerlerin bir kümesi var. Bu cümleyle ne demek istediğimi zaten biliyorsunuz. "Tanım Kümesi"nden bahsediyorum. Fonksiyona yerleştirebileceğim şeylerin kümesi, "Tanım Kümesi"dir. "Tanım Kümesi" Şimdi tanım kümesi'nde 2 var, 3 var. Neredeyse tüm Gerçel Sayıları bu fonksiyona yerleştirebilirsiniz.Yani bu küme, Gerçel Sayılar kümesidir ama zihninizde daha iyi canlandırabilmeniz için sade bir küme oluşturacağız. Fonksiyonu kullandığınızda... Şunu düşünelim: "f 2" dediğimiz şey ne anlama geliyor? "2" sayısını yerleştiriyoruz ve fonksiyonumuz bize 8 sayısını veriyor. 2 ile 8'i eşleştiriyor. Gelin, fonksiyonun alabileceği tüm olası değerlerle başka bir küme oluşturalım. Alabileceği tüm olası değerlerle. Bu kümeye, "Değer Kümesi" deriz. Bu konuda kullanılabilecek daha resmî ifadeler var. İleride, özellikle Doğrusal Cebir'de, çok daha ayrıntılı bir anlatım yapacağım ama şimdilik önemli olan fonksiyonun aldığı farklı değerler,hepsi o. Tanım Kümesi'nden 2'yi alıp fonksiyonumuza yerleştirirsem, 8 sayısını elde ediyoruz. Çizerek göstereyim. 2 sayısından, 8 sayısına gidiyoruz. Bu işlemi, fonksiyon yapıyor. Eşleştirme kısmını yani fonksiyon yapıyor. Fonksiyon, 2'yi 8 ile eşleştiriyor. İşte buna, "f 2" denir. Aynı mantıkla, 3'ü alırsak; bu seferde 3 fonksiyon tarafından 10 ile eşleştiriliyor. Yani aralarında bir ilişki kuruyor. Fonksiyon bizi 3'ten 10'a götürüyor. Peki şimdi şöyle ilginç bir soru ortaya çıkabilir: 8'den 2'ye geri gelmenin bir yolu var mı? Ya da, 10'dan 3'e geri gelmenin bir yolu var mı? Ya da şöyle bir fonksiyon var mı acaba: Adına, mesela "f'nin tersi" diyeceğimiz ve bizi geri getirebilen bir fonksiyon. Bizi 10'dan 3'e geri getirecek bir fonksiyon var mı? Buna işte "f'nin tersi" diyeceğiz ve gösterimi de bu şekilde yapacağız. Bu fonksiyon bizi 10'dan 3'e geri getirecek. Bunu yapmanın bir yolu var mı? "f'nin tersi" fonksiyonuna 8'i yerleştirirsek, bizi 2'ye geri getirir mi? Ya da "f'nin tersi" fonksiyonuna 10'u yerleştirirsek, bizi 3'e geri getirir mi? Bu yaptıklarımız çok soyut ve çok zormuş gibi görünüyor. Ama "f'nin tersi"ni bulmanın aslında çok kolay olduğunu göreceksiniz. Bir kere çözelim, ne demek istediğimi hemen anlayacaksınız. Fonksiyon bizi 2'den 8'e götürüyorsa, ters fonksiyon bizi 8'den 2'ye geri getirir.Bunu aklınızdan çıkarmayın. Şöyle bir tanım yapalım: "f x" eşittir "y" olsun. "f x" eşittir "y" olsun. Yani, "y" eşittir "f x", eşittir, "2 x" artı 4. Şöyle yazabilirim: "y" eşittir, "2 x" artı 4. Bu, bizim fonksiyonumuz. Yani "Sen bana x verirsen, ben de sana 'y' veririm" diyor. Ama biz bu sefer tersten gelmek istiyoruz. Ona "y" verip x almak istiyoruz. Yapmamız gereken, x'i "y" cinsinden bulmak.Hadi bulalım. Eşitliğin her iki yanından 4 çıkarırsak... Bir saniye rengi değiştireyim. Eşitliğin her iki yanından 4 çıkarırsak, "y eksi 4", eşttir, "2 x" elde ederiz. Eşitliğin her iki yanını da ikiye bölersek; "y bölü 2", eksi 2..."4 bölü 2", 2 eder. Eşittir, x. Tam tersi şekilde yazmak isterseniz, yerlerini değiştirebilirsiniz. Peki ne olur ? "x" eşittir, "1 bölü 2" y..."y bölü 2" ile aynı şeydir. Eksi, 2. Elimizde, şimdi sonucu x cinsinden veren y'nin bir fonksiyonu var.Biz de bunu istiyorduk zaten. Değer Kümesi'ndeki değerleri, x'e geri getiren bir fonksiyon olsun istiyorduk. Bu fonksiyona da... Eşittir diyebiliriz.Aynı renkle yazayım. Bu fonksiyona, da "f y"nin tersi denir. Evet "f y"nin ters fonksiyonu. Az önceki Değer Kümesi, "f"nin tersi için bu sefer Tanım Kümesi olur. "f y"nin tersi eşittir, "1 bölü 2" y, eksi 2'dir. Ne yaptık? İlk baştaki fonksiyonumuzla başladık. "y" eşittir, "2 x" artı 4 ile. "y"yi x cinsinden ifade ettik. Sonra da, cebir kullanarak, x'i "y" cinsinden ifade ettik ve ona da, "f y"nin ters fonksiyonu dedik. İşte burası.Tabii burada, "y" değil de "a", ya da "b" ya da "x" yazabilirsiniz, nasıl isterseniz. "y" yerine mesela "x" yazalım. Fonksiyonda "y" yerine "x" yazarsak, "f x"in tersi, eşittir, "1 bölü 2" x, eksi 2 olur. Fonksiyonu x'e göre çözersiniz. Sonra da x'leri "y" ile değiştirirsiniz.Bu da mümkün. Bence en kolay yolu bu. Göstermek istediğim bir diğer şey de, fonksiyonun ve onun tersinin grafiğinin nasıl çizildiği. Size çalakalem bir grafik çizeyim. İleride ters fonksiyonlarla ilgili bir dolu örnek çözeceğim ama şimdi size genel mantığı anlatmak istiyorum. Fonksiyon, sizi Tanım Kümesi'nden Değer Kümesi'ne götürür. Ters fonksiyon da, o değerden alır ve ilk baştaki tanıma getirir; tabii öyle bir fonksiyon varsa. Şimdi grafiğimizi çizelim. Öncelikle şu koordinat eksenlerini şöyle çizeyim. Koordinat eksenlerini şuraya çizdim.İlk fonksiyonumuz; "2 x" artı 4. "y" ekseni üzerinde... 1, 2, 3, 4. "y" eksenini 4'te keser. Doğru da şöyle bir şey olur. Doğrunun eğimi 2'dir. Yani, şöyle bir şey... Doğrumuz aynen... Biraz daha düzgün çizeyim. Doğrumuz böyle bir şeydir.Fonksiyonun grafiği böyledir. Peki, bu fonksiyonun grafiği nasıldır? Ters fonksiyon, x'in bir fonksiyonuyken grafiği nasıldır? Unutmayın, "y"nin fonksiyonu olarak çözüp, "y"nin yerine x yazmıştık. Yani, "f x"in tersi, eşittir, "y" diyebiliriz. "y" ekseninde kestiği nokta "eksi 2"dir. 1,2. Eğimi de "1 bölü 2"dir. Yani doğrumuz yaklaşık olarak şöyledir. Bakalım çizebilecek miyim. Doğrumuz böyle bir şey işte. Peki, şimdi ikisi arasındaki ilişki nedir? Çünkü baktığınız zaman aralarında bir ilişki varmış gibi görünüyor. Sanki simetrikmişler gibi duruyorlar değil mi. ? "y eşittir x" doğrusunu çizersem, simetrik oldukları şimdi daha iyi görünecek. "y eşittir x" doğrusu da şöyle birşeydir. Kesikli çizgi olarak çiziyorum. "y eşittir x" doğrusuda böyledir. Gördüğünüz gibi, fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, "y eşittir x" doğrusuna göre simetriktir. Şimdi umarım, nedenini anlamışsınızdır. Gelin, şimdi doğru üzerinde kolay bir örnek göstereyim. Fonksiyonu "0" için ele alalım. "f 0", 4'e eşittir. Yani fonksiyonumuz, sıfırı 4'e götürür. Ters fonksiyon ise... Yani, "f 4"ün ters fonksiyonunu düşünürsek; "f 4"ün tersi, sıfıra eşittir. Ters fonksiyon, bizi 4'ten sıfıra götürücek değil mi?. Biz bunu yapmasını bekliyorduk. Fonksiyon bizi, x dünyasından "y" dünyasına götürür. Ardından, "y" yerine x yazarız, yani fonksiyonun tersini alırız. İşte iki grafik bu yüzden "y eşittir x" doğrusuna göre simetriktir. Size gösterdiğim bu örnekte, fonksiyon bizi sıfırdan 4'e götürüyor. Fonksiyon rengi kullansam daha iyi olacak. Fonksiyon bizi, sıfırdan 4'e götürüyor. Yani, "f 0" eşittir 4, diyoruz. Grafikte görüyorsunuz.Sıfırdan 4'e götürüyor. Ters fonksiyon da bizi, 4'ten 0'a geri getiriyor. Hemen şurada görüyoruz.4'ü yerine koyduğumuzda, "1 bölü 2" çarpı 4, 2 eder, 2 eksi 2, 0 eder. Sonraki videolarda bayağı bir örnek çözeceğiz.Sizde bu sayede, bu soruların nasıl çözüldüğünü görüceksiniz, ve bol bol alıştırma yapmış olacaksınız.Sonraki videolarda görüşmek dileği ile.