If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 1

Ders 8: Fonksiyonların Ters Olduklarını Doğrulayalım
Matematik
Matematik III
Fonksiyonları değiştirme
Fonksiyonların Ters Olduklarını Doğrulayalım
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Bileşke Fonksiyonlarla Ters Fonksiyonu Doğrulayalım

Google Classroom
İki fonksiyonun bileşkesini alarak, bu fonksiyonların birbirinin tersi olup olmadığını nasıl doğrulayabileceğimizi öğrenelim. Örneğin, f(x)=5x-7 ve g(x)=x/5+7 birbirinin tersi midir?
Bu makalede fonksiyon bileşkesi konusu ele alınmaktadır. Eğer bu konuyu bir daha gözden geçirmeniz gerekiyorsa, bu makaleyi okumadan önce buraya göz atmanızı öneririz.
Ters fonksiyonlar, en genel anlamıyla, birbirini ''tersine çeviren'' fonksiyonlardır. Örneğin, eğer bir fonksiyon a'yı b'ye götürüyor ise, bu durumda tersi, b'yi a'ya götürüyor olmalıdır.
f ile g fonksiyonlarına örnek olarak şunları alalım: f(x)=x+13 ve g(x)=3x−1.
Dikkat ederseniz, f(5)=2 ve g(2)=5.
Burada f'yi ve sonra g'yi uyguladığımızda, orijinal girdiyi tekrar elde ettiğimizi görüyoruz. Bileşke olarak yazarsak, bu g(f(5))=5'tir.
Ancak iki fonksiyonun birbirinin tersi olabilmesi için, bunun f ve g'nin uygulandığı sıradan bağımsız olarak, tüm olası girdiler için geçerli olduğunu göstermeliyiz. Bu, ters bileşke kuralını gündeme getirir.

Ters bileşke kuralı

f ve g fonksiyonlarının birbirinin tersi olmasının koşulları bunlardır:
  • f(g(x))=x g'nin tanım kümesindeki tüm x değerleri için
  • g(f(x))=x f'nin tanım kümesindeki tüm x değerleri için
Bunun nedeni, eğer f ve g birbirinin tersiyse, f ve g'yi (herhangi bir sırayla) birleştirmenin, her girdi için o girdiyi veren bir fonksiyon yaratmasıdır. Bu fonksiyonu ''birim fonksiyon'' olarak adlandırırız.

Örnek 1: f ve g fonksiyonları birbirinin tersidir

Ters bileşke kuralını kullanarak, üstteki f ve g'nin gerçekten ters fonksiyon olduğunu doğrulama.
f(x)=x+13 ve g(x)=3x−1 olduğunu hatırlayın.
f(g(x)) ile g(f(x))'i bulalım.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x
f ve g fonksiyonları birbirinin tersi olduğunu görürüz, çünkü f(g(x))=g(f(x))=x.

Örnek 2: f ve g fonksiyonları birbirinin tersi değildir

Eğer f(g(x)) veya g(f(x)) x'e eşit değilse, bu durumda f ve g birbirinin tersi olamaz.
Bunu f(x)=5x−7 ve g(x)=x5+7 için deneyelim.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285
Buna göre f ve g fonksiyonları birbirinin tersi değildir, çünkü f(g(x))≠x ve g(f(x))≠x.
(Burada, f(g(x))=x+28 olduğunu gösterdikten sonra f ve g'nin birbirinin tersi olmadığı sonucuna vardığımıza dikkat edin.)

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Genel olarak, f ve g'nin ters fonksiyonlar olup olmadığını kontrol etmek için, bunları birleştiririz. Eğer sonuç x ise, fonksiyonlar birbirinin tersidir. Değilse, tersi değildir.

1) f(x)=2x+7 ve h(x)=x−72

f(h(x)) ve h(f(x)) için x cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.
f(h(x))=
h(f(x))=
f ve h fonksiyonları birbirinin tersi midir?
1 cevap seçin:

2) f(x)=4x+10 ve g(x)=14x−10

f(g(x)) ve g(f(x)) için x cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.
f(g(x))=
g(f(x))=
f ve g fonksiyonları birbirinin tersi midir?
1 cevap seçin:

3) f(x)=23x−8 ve h(x)=32(x+8)

f(h(x)) ve h(f(x)) için x cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.
f(h(x))=
h(f(x))=
f ve h fonksiyonları birbirinin tersi midir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.