Ana içerik

Matematik III

Konu: Matematik III > Ünite 2

Ders 9: Polinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve Grafikleri

Polinomların Pozitif ve Negatif Aralıkları

Polinomun sıfırlarıyla, polinomun pozitif veya negatif olduğu aralıklar arasında ne gibi bir ilişki olduğunu öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bir f polinomunun sıfırları, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin x kesme noktalarına karşılık gelir.

Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared olduğunu varsayalım. f fonksiyonunun sıfırları minus, 3 ve 1 olduğundan, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin x kesme noktaları left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis ve left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis'da olacaktır.

Eğer bu konu sizin için yeniyse, polinomların sıfırları makalemize göz atmanızı öneririz.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

x kesme noktaları bir fonksiyonun grafiğinin önemli ögelerinden olmakla birlikte, iyi bir çizim üretebilmek için bundan fazlasına hitiyacımız var.

Bir polinom fonksiyonun iki sıfır arasındaki işaretini bilmek, bazı boşlukları doldurmamıza yardımcı olabilir.

Bu makalede, bir polinomun negatif veya pozitif olduğu aralıkları belirlemeyi ve bunları grafikle ilişkilendirmeyi öğreneceksiniz.

Pozitif ve negatif aralıklar

Bir polinomun herhangi iki ardışık sıfır arasındaki işareti daima pozitiftir veya daima negatiftir.

[Neden?]

Örneğin, grafiği verilen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis fonksiyonunu düşünün.

Grafikten, f, left parenthesis, x, right parenthesis'in daima ...

...minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1 olduğunda negatiftir.
...minus, 1, is less than, x, is less than, 1 olduğunda pozitiftir.
...1, is less than, x, is less than, 3 olduğunda negatiftir.
...3, is less than, x, is less than, infinity olduğunda pozitiftir.

Bununla birlikte, bir polinom fonksiyonun sıfırlar arasında işaret değiştirmesi gerekmez.

Örneğin, grafiği verilen g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared fonksiyonunu düşünün.

Grafikten, g, left parenthesis, x, right parenthesis'in daima ...

...minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2 olduğunda negatiftir.
...minus, 2, is less than, x, is less than, 0 olduğunda negatiftir.
...0, is less than, x, is less than, infinity olduğunda pozitiftir.

g, left parenthesis, x, right parenthesis'in x, equals, minus, 2 yakınında işaret değiştirmediğine dikkat edin.

Polinomların pozitif ve negatif aralıklarını belirleme

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared polinomunun hangi aralıklar için pozitif ve hangi aralıklar için negatif olduğunu bulalım.

f'nin sıfırları minus, 3 ve 1'dir. Bu, f'nin işaretinin sabit olduğu üç aralık yaratır:

f'nin minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3'teki işaretini bulalım.

Bu aralıkta f'nin daima pozitif veya daima negatif olacağını biliyoruz. Bu durumlardan hangisinin geçerli olduğunu, bu aralıktaki bir değer için f'yi hesaplayarak belirleyebiliriz. minus, 4 bu aralıkta olduğundan, şimdi f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis'ü bulalım.

Burada sadece polinomun işaretiyle ilgilendiğimizden, değerini bulmamız gerekmiyor:

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2\\ \\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&\small{\gray{\text{Sadece cevabın işaretini belirleyin.}}}\\\\ &=(-)(+)&&\small{\gray{\text{Negatifin karesi pozitiftir.}}}\\ \\ &=-&&\small{\gray{\text{Negatif çarpı pozitif, negatiftir.}}}\end{aligned}

Burada f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis'ün negatif olduğunu görüyoruz, dolayısıyla minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 için f, left parenthesis, x, right parenthesis daima negatif olacaktır.

Kalan aralıklar için bu süreci tekrarlayabiliriz.

[Bunu görmek istiyorum.]

Sonuçlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Aralık	Aralıktaki belirli bir f, left parenthesis, x, right parenthesis değeri	Aralıkta f'nin değeri	f grafiğiyle bağlantı
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3	f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0	negatif	x ekseninin altında
minus, 3, is less than, x, is less than, 1	f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0	pozitif	x ekseninin üstünde
1, is less than, x, is less than, infinity	f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0	pozitif	x ekseninin üstünde

Bu, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğiyle tutarlıdır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis'nın sıfırları x, equals, minus, 6 ve x, equals, minus, 1'dedir.

g'nin minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 aralığında işareti nedir?

(A şıkkı)
g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 aralığında daima pozitiftir.
(B şıkkı)
g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 aralığında daima negatiftir.
(C şıkkı)
g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 aralığında hem pozitif hem negatiftir.

[Yardıma ihtiyacım var!]

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis'nin sıfırları x, equals, minus, 5, x, equals, 2 ve x, equals, 3'tedir.

h, left parenthesis, x, right parenthesis'in minus, 5, is less than, x, is less than, 2 aralığında işareti nedir?

(A şıkkı)
h, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 5, is less than, x, is less than, 2 aralığında daima pozitiftir.
(B şıkkı)
h, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 5, is less than, x, is less than, 2 aralığında daima negatiftir.
(C şıkkı)
h, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 5, is less than, x, is less than, 2 aralığında hem pozitif hem negatiftir.

[Yardıma ihtiyacım var!]

Zor problem

3*) Aşağıdakilerden hangisi g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed grafiği olabilir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

Grafikten pozitif ve negatif aralıkları belirleme

Bir polinomun pozitif veya negatif olduğu aralıkları belirlemenin bir diğer yolu, polinomun sonsuzdaki davranışına ve sıfırlarının çokluğuna göre grafiğini çizmektir.

Daha detaylı bilgi için polinomların grafikleri makalesine göz atın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.