Ana içerik
Matematik III
Konu: Matematik III > Ünite 2
Ders 9: Polinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve GrafikleriPolinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve Grafikleri
Polinomların sıfırları, kökleri ve x ekseni kesim noktaları arasındaki ilişkiyi ve sıfır çokluğunu öğrenelim.
Bu derste neler öğreneceksiniz?
Polinomlarla çalışırken sıfır, kök, çarpan ve x kesme noktası terimlerini oldukça sık duyarsınız.
Bu makalede, polinomların bu özelliklerini ve aralarındaki özel ilişkileri araştıracağız.
Polinom fonksiyonlar için temel bağlantılar
Bir f polinomu ve bir k gerçek sayısı için, aşağıdaki ifadeler denktir:
- x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 denkleminin bir kökü veya çözümüdür
- start color #01a995, k, end color #01a995 f fonksiyonunun bir sıfırıdır
- left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin bir x kesme noktasıdır
- x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 f, left parenthesis, x, right parenthesis'in doğrusal bir çarpanıdır
Bunu g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis polinomuyla anlayalım. Bu polinom, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis olarak yazılabilir.
Önce, g, left parenthesis, x, right parenthesis'in doğrusal çarpanlarının left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis ve left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis olduğunu görürüz.
Eğer g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 der ve x için çözersek, x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 veya x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 elde ederiz. Bunlar, denklemin çözümleri veya kökleridir.
Bir fonksiyonun sıfırı, bu fonksiyonun değerini 0 yapan x değeridir. x, equals, 3 ve x, equals, minus, 2'nin g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0'ın çözümleri olduğunu biliyoruz, dolayısıyla start color #01a995, 3, end color #01a995 ve start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 g fonksiyonunun sıfırlarıdır.
Son olarak, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin x kesme noktaları yukarıda çözülmüş olan 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis denklemini sağlar. Denklemin x kesme noktaları left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis ve left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis'dır.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Sıfırlar ve çokluk
Bir polinomun çarpanlara ayrılmasında bir doğrusal çarpan birden çok kez görüldüğünde, bu çarpan için çokluk olduğunu söyleriz.
Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript polinomunda 4 rakamı start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff çokluğunun bir sıfırıdır.
f, left parenthesis, x, right parenthesis'i açtığımızda, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis çarpanının start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff kez yazıldığına dikkat edin.
Buna göre, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0'ı çözdüğünüzde x, equals, 4'ü iki kez elde edeceksiniz.
Genel olarak, eğer bir polinomun çarpanlarına ayrılmasında x, minus, k m kez oluşursa, bu durumda k, m çokluklu bir sıfırdır. 2 çokluklu bir sıfır, çift sıfır olarak adlandırılır.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Grafiksel bağlantı
Bir sıfırın çokluğu önemlidir, çünkü bize polinomun grafiğinin sıfır etrafında nasıl davranacağını anlatır.
Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared grafiğinin 1 sıfırı yakınında, bir çift sıfır olan 4 sıfırı yakınındakinden farklı davrandığına dikkat edin.
Özellikle, grafik x eksenini x, equals, 1'de keserken, x, equals, 4'te x eksenine sadece dokunur.
Sıfırları aynı olan ancak çoklukları farklı olan bir fonksiyonun grafiğine bakalım. Örneğin, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis'ü düşünün. Bu fonksiyon için 1'in şimdi bir çift sıfır olduğuna ve 4'ün ise tek sıfır olduğuna dikkat edin.
Şimdi, g grafiğinin x eksenine x, equals, 1'de değdiğini ve x eksenini x, equals, 4'te kestiğini görüyoruz.
Genel olarak, eğer bir f fonksiyonu tek çokluğun sıfırına sahipse, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiği x eksenini o x değerinde geçecektir. Eğer bir f fonksiyonu çift çokluğun sıfırına sahipse, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiği x eksenine o noktada değecektir.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Zor problem
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.