Ana içerik

Konu: Matematik III > Ünite 2

Ders 9: Polinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve Grafikleri

Polinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve Grafikleri

Polinomların sıfırları, kökleri ve x ekseni kesim noktaları arasındaki ilişkiyi ve sıfır çokluğunu öğrenelim.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Polinomlarla çalışırken sıfır, kök, çarpan ve

x

kesme noktası terimlerini oldukça sık duyarsınız.

Bu makalede, polinomların bu özelliklerini ve aralarındaki özel ilişkileri araştıracağız.

Polinom fonksiyonlar için temel bağlantılar

Bir

f

polinomu ve bir

k

gerçek sayısı için, aşağıdaki ifadeler denktir:

$x = k$ ‍ $f (x) = 0$ ‍ denkleminin bir kökü veya çözümüdür
$k$ ‍ $f$ ‍ fonksiyonunun bir sıfırıdır
$(k, 0)$ ‍ $y = f (x)$ ‍ grafiğinin bir $x$ ‍ kesme noktasıdır
$x - k$ ‍ $f (x)$ ‍'in doğrusal bir çarpanıdır

Bunu

g (x) = (x - 3) (x + 2)

polinomuyla anlayalım. Bu polinom,

g (x) = (x - 3) (x - (- 2))

olarak yazılabilir.

Önce,

g (x)

'in doğrusal çarpanlarının

(x - 3)

(x - (- 2))

olduğunu görürüz.

Eğer

g (x) = 0

der ve

x

için çözersek,

x = 3

veya

x = - 2

elde ederiz. Bunlar, denklemin çözümleri veya kökleridir.

Bir fonksiyonun sıfırı, bu fonksiyonun değerini

0

yapan

x

değeridir.

x = 3

x = - 2

'nin

g (x) = 0

'ın çözümleri olduğunu biliyoruz, dolayısıyla

3

- 2

g

fonksiyonunun sıfırlarıdır.

Son olarak,

y = g (x)

grafiğinin

x

kesme noktaları yukarıda çözülmüş olan

0 = g (x)

denklemini sağlar. Denklemin

x

kesme noktaları

(3, 0)

(- 2, 0)

'dır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) $f (x) = (x + 4) (x - 7)$ ‍'nin sıfırları nelerdir?

2) $g$ ‍ fonksiyonunun grafiği $x$ ‍ eksenini $(2, 0)$ ‍'da keser. $g (x) = 0$ ‍ denkleminin bir kökü ne olmalıdır?

x =

3) $h$ ‍ fonksiyonunun sıfırları $- 1$ ‍ ve $3$ ‍'tür. Aşağıdakilerden hangisi $h (x)$ ‍ olabilir?

Eğer

k

f

fonksiyonunun bir sıfırı ise, bu durumda

x - k

'nin

f (x)

'in doğrusal bir çarpanı olduğunu biliyoruz.

h

fonksiyonunun sıfırları

- 1

3

olduğundan,

(x - (- 1))

(x - 3)

'ün

h

'nin çarpanları olması gerektiğini biliyoruz.

Sadeleştirirsek,

h (x)

'in çarpanlarının

(x + 1)

(x - 3)

olması gerektiğini görüyoruz. Bu çarpanlara sahip olan tek seçenek budur:

h (x) = (x + 1) (x - 3)

Sıfırlar ve çokluk

Bir polinomun çarpanlara ayrılmasında bir doğrusal çarpan birden çok kez görüldüğünde, bu çarpan için çokluk olduğunu söyleriz.

Örneğin,

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

polinomunda

4

rakamı

2

çokluğunun bir sıfırıdır.

f (x)

'i açtığımızda,

(x - 4)

çarpanının

2

kez yazıldığına dikkat edin.

$f (x) = (x - 1) (x - 4) (x - 4)$ ‍

Buna göre,

f (x) = 0

'ı çözdüğünüzde

x = 4

'ü iki kez elde edeceksiniz.

$\begin{aligned} 0 & = (x - 1) (x - 4) (x - 4) \\ x - 1 = 0 x - 4 = 0 x - 4 = 0 \\ x = 1 x = 4 x = 4 \end{aligned}$ ‍

Genel olarak, eğer bir polinomun çarpanlarına ayrılmasında

x - k

m

kez oluşursa, bu durumda

k

m

çokluklu bir sıfırdır.

2

çokluklu bir sıfır, çift sıfır olarak adlandırılır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

4) $f (x) = (x - 3) (x - 1)^{3}$ ‍'ün hangi sıfırının çokluğu $3$ ‍'tür?

5) $g (x) = (x + 1)^{3} (2 x + 1)^{2}$ ‍'nin hangi sıfırı bir çift sıfırdır?

Grafiksel bağlantı

Bir sıfırın çokluğu önemlidir, çünkü bize polinomun grafiğinin sıfır etrafında nasıl davranacağını anlatır.

Örneğin,

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

grafiğinin

1

sıfırı yakınında, bir çift sıfır olan

4

sıfırı yakınındakinden farklı davrandığına dikkat edin.

Özellikle, grafik

x

eksenini

x = 1

'de keserken,

x = 4

'te

x

eksenine sadece dokunur.

Sıfırları aynı olan ancak çoklukları farklı olan bir fonksiyonun grafiğine bakalım. Örneğin,

g (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

'ü düşünün. Bu fonksiyon için

1

'in şimdi bir çift sıfır olduğuna ve

4

'ün ise tek sıfır olduğuna dikkat edin.

Şimdi,

g

grafiğinin

x

eksenine

x = 1

'de değdiğini ve

x

eksenini

x = 4

'te kestiğini görüyoruz.

Genel olarak, eğer bir

f

fonksiyonu tek çokluğun sıfırına sahipse,

y = f (x)

grafiği

x

eksenini o

x

değerinde geçecektir. Eğer bir

f

fonksiyonu çift çokluğun sıfırına sahipse,

y = f (x)

grafiği

x

eksenine o noktada değecektir.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

6) Grafiği verilen fonksiyonda, $6$ ‍ sıfırının çokluğu çift midir yoksa tek midir?

7) $h (x) = x^{2} (x - 3)$ ‍ grafiği hangisidir?

Bu fonksiyonun iki sıfırı vardır (

0

3

), dolayısıyla

y = h (x)

grafiğinin

x

kesme noktaları

(0, 0)

(3, 0)

'da olmalıdır.

x

h

'nin çarpanlara ayrılmasında iki kez görüldüğünden, ilgili sıfır (

0

)

2

kez görülmektedir. Bu çifttir ve dolayısıyla

h

grafiği

x

eksenine

x = 0

'da değecektir.

x - 3

h

'nin çarpanlara ayrılmasında bir kez görüldüğünden, ilgili sıfır (

3

)

1

kez görülmektedir. Bu tektir ve dolayısıyla

h

grafiği

x

eksenini

x = 3

'te kesecektir.

Bunu yansıtan tek grafik

B

grafiğidir.

Zor problem

8*) Aşağıdakilerden hangisi $f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$ ‍ grafiğidir?

Bu polinomun standart formda olduğuna dikkat edin, dolayısıyla sıfırlarını bulmak için bu polinomu çarpanlarına ayırmalıyız.

\begin{aligned} f (x) & = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \\ = - x (x^{2} - 4 x + 4) \\ = - x (x - 2) (x - 2) \\ = - x (x - 2)^{2} \end{aligned}

Bundan,

0

'ın tek çokluklu bir sıfır ve

2

'nin çift çokluklu bir sıfır olduğunu görüyoruz. Buna göre,

f

grafiği

x

eksenini

(0, 0)

'da geçecektir ve

x

eksenine

(2, 0)

'da değecektir.

Bunu yansıtan tek grafik

D

grafiğidir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.