Rasyonel İfadelerde Çarpma

Aşağıdaki ifadeleri çarpın ve sadeleştirerek bir rasyonel ifade elde edin. Tanım kümesini belirtin Pekala önce çarpma işlemini yapalım, sonrada sadeleştirmeden önce tanım kümesini belirtelim. Payları çarpınca, a kare eksi 4, çarpı a artı 1 bölü paydaların çarpımı. Paydaların çarpımı ise a kare eksi 1 çarpı, a artı 2. Pay ve payda da ki a kare eksi 4 ve a kare eksi 1 ifadeleri tanıdık gelebilir. Bu ifadeler, iki kare farkı dediğimiz özel binom ifadeleridir. Görünce hemen, yani umarım hemen, tanıdık gelmiştir. İki kare farkının açılımını yapalım; a kare eksi b kare eşittir, a artı b çarpı, a eksi b. Yani buradaki a kare eksi 4'ü ve a kare eksi 1'i çarpanlarına ayırabiliriz. Böylece sadeleştirme yapmamız daha kolay olur. Pay kısmındaki a kare eksi 4'ü, a artı 2 çarpı, a eksi 2 olarak açabiliriz. Ve çarpı tabi ki a artı 1. Paydada ise a kare eksi 1'i, başka renkte yapayım a artı 1 çarpı, a eksi 1 olarak çarpanlarına ayırırız. Eğer bunun doğruluğundan emin olmak isterseniz, açtığımız çarpanları birbiriyle çarpın, tekrar iki kare farkı ifadesini elde edersiniz. Paydada a artı 2 de var tabi, onu da yazalım. Ve böylece pay ve paydadaki iki kare farkı açılımlarını yaptık. Bu ifadeyi biraz daha düzenleyelim. a artı 2 leri hem pay hem de paydada ilk olarak yazalım. Böylece payda a artı 2 olur ve paydada da a artı 2 olur. Bunları aşağıya tekrar yazdık, üstünü çizeyim. Sanırım başka ortak yok. Aslında burada a artı 1 de var, bunu da yazalım. Payda a artı 1 var, paydada da a artı 1 var. Payda a eksi 2 var, paydada a eksi 1 var. Benim tüm yaptığım pay ve paydayı yeniden düzenleyerek yazmak. Eğer ikisinde de aynı ifade varsa onları alt alta yazdım. Sadeleştirmeden önce tanım kümesini düşünmenin vakti geldi. Düşünelim, a nın tanım kümesi ne olacak. hangi a değerleri ifadeyi tanımsız yapıyor. Daha önce de gördüğümüz gibi ifadeyi tanımsız yapacak a değerleri paydayı 0 yapacak değerlerdir. Bu değerlerden bir tanesi, a eşittir negatif 2. Bunu deneyebilirsiniz. a artı 2 eşittir 0 ya da a eşittir negatif 2. a artı 1 eşittir 0. Her iki taraftan da 1 çıkaralım a eşittir negatif 1. a eksi 1 eşittir sıfır. İki tarafa da 1 ekleyelim, a eşittir 1 çıkar. O halde ,buradaki ifade için a nın alamayacağı değerleri yazalım, a eşit değildir dedik, eşit değildir negatif 2, negatif 1 ya da 1. a bunlar dışında herhangi bir değer alabilir, herhangi bir reel sayı olabilir. Burada tanım kümemizi belirliyoruz. Tanım kümemizin bunlar hariç tüm a lar olabileceğini söylüyoruz. Tanım kümemizi belirlediğimize göre , şimdi ifademizi çarpanlarına ayıralım. a artı 2 bölü, a artı 2, a nın negatif 2 olmayacağını biliyoruz. Onun için bu ifade her zaman tanımlanabilir olacaktır. Bir şeyi kendisine bölersek, cevap 1 olur. Aynısı a artı 1 bölü a artı 1 için de geçerli. Bu da 1 olacak. Geriye kalan a eksi 2 bölü, a eksi 1. O zaman sadeleştirilmiş rasyonel hali, a eksi 2 bölü a eksi 1 olup a nın negatif 2, negatif 1 ya da 1e eşit olmaması gerekir. Belki burada diyeceksiniz ki, eşit olsa ne olur? Mesela negatif 1 olsa. Eksi 1 eksi 1 eşittir negatif 2. Tanımlanabilir. Ama bu ifadenin baştaki ifade ile tamamen aynı olabilmesi için aynı kısıtlamalara sahip olması gerekir. Yani, aynı tanımlama kümesine sahip olmalıdır. Baştaki ifade negatif 1 de tanımsızsa bu ifadede negatif 1 de tanımsızdır. Bu kısıtlamalar 'nerdeyse aynı' ifadelerle değil 'tamamen aynı ifadelerle uğraştığımızı gösterir .