Rasyonel Fonksiyon Grafiği Örneği

Rasyonel fonksiyon grafikleri ile ilgili birkaç örnek daha yapalım. y eşittir 2 x bölü x artı 1. İlk olarak, varsa, yatay asimptotları bulalım. Daha önce söylediğim gibi, yalnızca pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlere bakmanız gerekiyor. Şimdi burada en yüksek dereceli terim, burada tek terim var. 2 x. Ve buradaki en yüksek dereceli terim de, x. Yani ikisi de birinci dereceden terimler. Şöyle düşünebilirsiniz. x sonsuza giderken x çok büyük değerler aldıkça, bu iki terim baskın çıkacak. Ve bu pek fark yaratmayacak. Yani ifademiz, y, yaklaşık 2 x bölü x'e, yani 2'ye eşit olacak. x eksi sonsuza giderken de aynı durum geçerli olur. x eksi yönde çok büyük değerler alırken, bu yine 2'ye yaklaşacak. Bu terimin fazla bir önemi olmayacak. Şimdi bu yatay asimptotu çizelim. y eşittir 2 asimptotu. Çizelim bakalım. Bu, yatay asimptotumuz. y eşittir 2, bunu da yazayım yatay asimptot. x'in pozitif yönde değeri arttıkça ve negatif yönde değeri azaldıkça, grafiğin yaklaştığı değer budur. Peki, burada düşey asimptot var mı? Elbette var. x eksi 1'e eşit olduğunda, bu denklem veya fonksiyon tanımsız olur. Yani x eksi 1'e eşit olduğunda, y tanımsızdır deriz. Bu doğrudur, çünkü x eksi 1'e eşit olduğunda payda 0 olur. 1 bölü 0'ın ne olduğunu da bilmiyoruz. Tanımsızdır. Ayrıca x'leri sadeleştiremediğimiz için, bu bir düşey asimptottur. x artı 1 herhangi bir ifadeyle sadeleşmez. Burada size kısa bir örnek göstereyim. Diyelim ki, y eşittir x artı 1 bölü x artı 1 diye bir denklemim var. Bu durumda x eksi 1'e eşit olduğunda grafiğin tanımsız olduğunu görebilirsiniz. Değil mi? Çünkü buraya eksi 1 koyduğunuzda, aşağısı 0 olurdu. Aslında, üstte de 0 olurdu. O zaman da 0 bölü 0 elde ederdiniz. Ve bu tanımsızdır. Ama x'in eksi 1'e eşit olmadığını varsayarsanız yani bu iki terimin 0'a eşit olmadığını varsayarsanız pay ve paydayı x artı 1'e bölebilirsiniz ve bunun şuna bölümünün 1'e eşit olduğunu söyleyebilirsiniz. x eksi 1'e eşit olmadığında, bu 1'e eşittir dersiniz. Veya bu terimler 0'a eşit olmadığında diyebiliriz. x, eksi 1'e eşit olduğunda, 0 bölü 0 elde ederiz, bunun değerini bilemeyiz. Yani bu durumda düşey asimptot yoktur. Buradaki grafiğin düşey asimptotu yoktur. Belki de bu grafiğin neye benzediğini merak ediyorsunuz. Hemen çizeyim. Bunun grafiğini çizseydim, x eşittir eksi 1 hariç tüm x değerleri için y eşittir 1 olurdu. Yani bu durumda x eşittir eksi 1 dışında y eşittir 1'in grafiğini çizerdik. x eşittir eksi 1'de grafik tanımsız olurdu. Buraya bir delik çizerdik. Aslında küçük bir çember çizerdik x eksi 1 olduğunda y'nin değerini bilmediğimiz için. Yani şöyle bir şeye benzerdi. Yatay bir doğruya. Düşey asimptotu olmayan. Çünkü pay ve payda 0'a eşit olmadığında x eksi 1'e eşit olmadığında, bu iki terim birbirini götürür. Evet, şurayı biraz silelim. Şimdi düşey asimptotları tanımlarken, buradaki ifadenin payda ki bir ifadeyle sadeleşmediğinden emin olmanız gerekiyor. Şu durumda sadeleşti ve düşey asimptotumuz olmadı. Bu durumda sadeleşmiyor, yani bu grafikte düşey asimptot olacak. x eşittir eksi 1 bu grafiğin düşey asimptotu olacak. x eşittir eksi 1 düşey asimptot şöyle olacak. Sonra da grafiğin şeklini belirlemek için birkaç değer deneriz. x 0'a eşit olduğunda ne olur? x 0'a eşit olduğunda, 2 çarpı 0, yani 0, bölü 0 artı 1 elde ederiz. Ve bu da 0 bölü 1, yani 0'dır. 0'a 0 noktası eğrimizin üstünde. x 1'e eşit olduğunda ne olur? 2 çarpı 1, yani 2 bölü 1 artı 1. Yani 2 bölü 2. Buna göre, 1'e, 1 de eğrimizin üstünde. Burada. Böyle noktalar çizmeye devam edebiliriz, ama eğrimiz şöyle olacak. Asimptota sağdan yaklaşırken eksi sonsuza gidecek. Yani şöyle giderken, eksi sonsuza gider. Ve yatay asimptota eksi yönden yaklaşacak. Yani şöyle bir şey olacak. Peki, x eksi 2'ye eşit olduğunda ne olur? Eksi 2 çarpı 2 eşittir eksi 4. Eksi 4 bölü eksi 2 artı 1 yani eksi 1 bu da eşittir 4. Yani eksi 2'ye, 4 noktası. Eksi 2, 1, 2, 3, 4. Yani eksi 2'ye, 4 noktası da eğrimizin üstünde. Bir nokta daha bulalım. Mesela, eksi 3. 2 çarpı eksi 3 eşittir eksi 6 bölü eksi 3 artı 1 bu da eksi 2. Eksi 6 bölü eksi 2 eşittir artı 3. Yani eksi 3'e, 3. 1, 2, 3. Bu da burada. Yani grafik şöyle olacak. Eksi sonsuza giderken, asimptota üstten yaklaşacağız. x eşittir eksi 1'e yaklaşırken, artı sonsuza gideceğiz. Şimdi grafiğimizin gerçekten böyle olduğunu bir teyit edelim. Hemen grafikli hesap makinemizi çıkaralım. y eşittir 2 x bölü x artı 1 grafiğini çiziyoruz. İşte. Çizdiğimizin neredeyse aynısı. Düşey asimptotun olduğu yerde makine noktaları birleştirmiş, ama burada tanımsız olduğunu biliyoruz. Hesap makinesi bu en büyük değerle en küçük değeri birleştirmek istemiş. Çünkü tüm hesap makinelerinin yaptığı gibi, ayrıntılı bir değer tablosu oluşturup bu noktaları birleştirmeye çalışıyor. Bunun asimptot olduğunu bilmediği için, tüm noktaları birleştirmeye çalışıyor. Ama burada bir bağlantı olmaması lazım.