Rasyonel Denklemlerle İlgili Sözel Soru: Çözümleri Eleme

İki farklı musluk bir havuzu dolduruyorlarmış. Musluklar aynı anda açıldıklarında, boş havuzu doldurmaları 12 dakika sürüyormuş. Eğer ilk musluk, tek başına, havuzu diğerinden 10 dakika önce dolduruyorsa. İki musluk da tek başlarına havuzu kaçar dakikada doldururlar? Evet... havuzumuzu dolduran musluklar. İki musluğu yada iki hortumu ayrı ayrı düşünelim şimdi. Elimizde biri hızlı diğeri yavaş iki hortumumuz var. Varsayalım ki hızlı akan musluk havuzu doldurdu. Bunu yapması da, f dakika sürdü. Buna göre, yavaş musluk havuzu tek başına ne kadar zaman da doldurur? Hızlı musluk havuzu doldurma işini, 10 dakika daha kısa, daha kısa sürede yapıyor. Yani 10 dakika daha hızlı. Yani yavaş musluğun havuzu doldurması 10 dakika daha fazla sürecek, daha geç dolduracak. Yani bu da, yavaş olan musluk için, f artı 10 dakika demek değil mi? Havuzu doldurması f artı 10 dakika alacak. Ama muslukların hızlarını toplarsak, bir dakikada, havuzun ne kadarını doldurabildiklerini hesaplayabiliriz. Bunları 'bir dakikada havuzun ne kadarı dolar' olacak şekilde tekrar yazalım. Bunu f dakika da bir havuz, ya da, f artı10 dakikada bir havuz olacak şekilde yazabiliriz. Eğer bu dediklerimizin tersini alırsak, bu oranlar, 1 dakikada havuzun ne kadarı dolar'a döner. Sadece oranların tersini alıyorum. Ya da sadece dakikada 1 bölü f havuz olarak da ifade edebiliriz, bu da aynı mantık. Bu oranı da dakikada 1 bölü f artı 10 havuz olarak yazabiliriz. Burada, elimizde hızlı musluğun hızı var. Burada da yavaş olanın. Eğer bu iki oranı toplarsak, ikisinin birlikte çalışarak bir dakikada, havuzun ne kadarını doldurabileceklerini bulabiliriz. Dakikada havuzun 1 bölü f kadarı, artı, dakikada havuzun 1 bölü f artı10 kadarı. Bu hızlı olan, bu da yavaşolan. Bu bize, bir dakikada havuzun ne kadarını doldurabileceklerini verecek. Artık bunu biliyoruz. İki hortumun birlikte havuzu 12 dakika doldurabiliyorlarmış, buraya yazıyorum. Yani birlikte, bir havuz doldurmak, 12 dakika sürüyor. Peki birlikteyken hızları ne kadar? Bir havuz için 12 dakika. Bunun tersini alalım. Yani birlikte hızları, dakikada havuzun on iki de biri kadar. Birlikte çalışırken, bir dakikada tam olarak havuzun on iki de birini doldurabilirler değil mi? Gayet mantıklı. Çünkü bir havuz 12 dakika sürüyorsa, birlikte iki musluk tarafından, bir dakikada havuzun on iki de biri dolar. Şimdi bu denklemi f değerini bulmak için çözelim. Hadi çarpalım bakalım. İki tarafıda f ve f artı10 ile çarpıyoruz. İki tarafı da f ve f+10 ile çarpıyorum.. Hadi bu f ve f artı 10'ları içeri dağıtalım. Eğer 1 bölü f'i, f ve f artı 10 ile çarparsak, f' ler sadeleşir ve geriye sadece f artı 10 kalır. 1 bölü f artı 10'u da aynı şekilde, f ve f 10 ile çarpınca, f10 değil düzeltiyorum, f artı 10 ile çarpınca, f artı 10'lar sadeleşicekler ve geriye sadece f kalıcak. Bu denklemin her iki tarafını da az sonra 12 ile çarpacağım. Birazdannnnn. :) Az sonraaaaa.... Yani bu şimdi, f kare artı 10 f, bölü 12 olacak. Şimdi her iki tarafı da 12 ile çarpalım. Şimdi... Her hangi bir kesir kalmayacak. Sol tarafta, 12 f artı, 120, artı 12 f. Sağ taraf sağdeleşiyor ve geriye f kare artı 10 f kalıyor. Şimdi ikinci dereceden bir denklemimiz oluştu elimizde Şimdi bunu doğru formda yazalım. Ve öncesinde bir sadeleştirme yapalım. 12 f artı 12 f, demek ki 24 f'imiz var. 24 f artı 120 eşittir, f kare artı 10 f. Şimdi hepsini sağa taşıyalım. İki taraftan da 24 f ve 120 çıkaralım. Sol tarafta hiçbir şey kalmadı, yani sıfır. Ve zaten amacımız da buydu. Sağ tarafta da, f kare... 10 f eksi 24 f, eksi 14 f, evet budur. Ve eksi 120. Şimdi çarpanlarına ayıralım. Eksi 20 çarpı 6 bize, eksi 120'yi verir değil mi? Ve eksi 20 artı 6 da, bize eksi 14 veriyor. Yani bunu böyle çarpanlarına ayırabiliriz. Sonuç da sıfıra eşit olacaktır. Eksi 20 çarpı 6, eksi 120. Eksi 20 artı 6, eksi 14. Ve bunun sıfıra eşit olması için, f eksi 20 sıfıra eşit olmalı veya, f artı 6 sıfıra eşit olmalı. İki tarafa da 20 ekleyelim ve f 20'ye eşit olacaktır. Unutmayın, f burada hızlı akan musluğun, havuzu kaç dakika dolduracağı değerdir. Ve eğer bunu alırsanız, iki taraftan da 6 çıkarırsanız, f eşittir eksi 6 bulacaksınız. Hızlı akan musluğun havuzu kaç dakikada dolduracağından bahsederken, eksi 6 dakikada doldurur demek, bayağı tuhaf duyuluyor değil mi? Yani cevap, eksi 6 olamaz. Bizim pozitif bir değere ihtiyacımız var. Demek ki cevap, 20' imiş. Hızlı akan musluk bu havuzu 20 dakikada doldurabiliyormuş. Evet buraya yazıyorum. Hızlı musluk için havuzu doldurmak 20 dakika sürüyor. Yavaş akan içinse bu süre fazladan 10 dakika. Yani bu süreye 10 dakika eklememiz gerekiyor, yani 30. Ve sorumuz çözüldü. Hızlı musluk tek başına 20 dakikada dolduruyor. Yavaş olan da tek başına 30 dakikada doldurabiliyor. Eğer birlikte başlasalardı, en baştan, 12 dakika sürecekti. Eğer iki tane hızlı akan musluğumuz olsaydı ve beraber kullansaydık, 10 dakika sürecekti. Ama bu ikinci musluk, daha yavaş. İkisi birlite 10 dakikadan biraz daha uzun bir sürede dolduracaklar. Ve bu da zaten 12 dakika.