Ana içerik

Konu: Matematik III > Ünite 8

Ders 2: Sonlu Aritmetik Seriler

Aritmetik Seriler - Çalışma Sayfası

Sonlu aritmetik serilerin değerini bulmamız gereken birkaç soru çözelim.

Aritmetik serileri hesaplama alıştırmaları yapın

Problem 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

Soruda ne isteniyor?

Soruda

- 5 k + 12

'nin

k = 1

'den

k = 275

'e değerlerinin toplamı sorulmaktadır:

(- 5 \cdot 1 + 12) + (- 5 \cdot 2 + 12) + … + (- 5 \cdot 275 + 12)

Seri aritmetiktir, çünkü

- 5 k + 12

k

'nin doğrusal bir fonksiyonudur.

Aritmetik seri formülü

Sonsuz bir aritmetik serinin toplamı

S_{n}

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

a_{1}

ilk terim,

a_{n}

son terim,

n

de terim sayısıdır.

Formülü kullanabilmek için neye ihtiyacımız var?

Terim sayısı

(n = 275)

, toplam sembolünün üst limitidir.

a_{1}

'i (ilk terim) ve

a_{275}

'i (son terim) bulmalıyız.

Adım 1: $a_{1}$ ‍ ve $a_{275}$ ‍'i (ilk ve son terim) bulun

a_{1} = - 5 (1) + 12 = 7

a_{275} = - 5 (275) + 12 = - 1363

Adım 2: Serinin toplamını $(S_{n})$ ‍ bulun

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \cdot 275 \\ S_{275} & = - 678 (275) \\ S_{275} & = - 186.450 \end{aligned}

Cevap:

- 186.450

Problem 2

a_{i}

aritmetik serisi, şu formülle tanımlanmıştır:

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Serideki ilk $335$ ‍ terimin toplamını bulun.

Başlarken

Serinin ilk birkaç terimini yazalım:

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

Bir aritmetik seriyle uğraşıyoruz, çünkü terimler arasındaki fark sabittir. Yani, her terim kendisinden önceki terimden

3

azdır.

Terimlerin toplamını hesaplamak için bir formüle ihtiyacımız var.

Aritmetik seri formülü

Sonsuz bir aritmetik serinin toplamı

S_{n}

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

a_{1}

ilk terim,

a_{n}

son terim,

n

de terim sayısıdır.

Formülü kullanabilmek için neye ihtiyacımız var?

İlk terim

(a_{1} = 2)

ve terim sayısı

(n = 335)

soruda verilmiştir.

Son terimi

(a_{n})

bulmalıyız.

Adım 1: $a_{n}$ ‍'yi (son terim) bulun

Birinci terimden sonra

335 - 1 = 334

terim vardır. Her yeni terimde dizi

3

azalır. Dolayısıyla, dizi başladığı yer olan

2

'den toplam

334 \cdot 3 = 1002

azalır. Bunun anlamı, son terimin

2 - 1002 = - 1000

olması gerektiğidir.

Başka bir deyişle,

a_{n} = - 1000

Adım 2: Serinin toplamını $(S_{n})$ ‍ bulun

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \cdot 335 \\ S_{335} & = - 499 (335) \\ S_{335} & = - 167.165 \end{aligned}

Cevap:

- 167.165

Problem 3

$- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍'ün toplamını bulun.

Başlarken

Bir aritmetik seriyle uğraşıyoruz, çünkü terimler arasındaki fark sabittir. Yani, her terim kendisinden önceki terimden

6

fazladır.

Terimlerin toplamını hesaplamak için bir formüle ihtiyacımız var.

Aritmetik seri formülü

Sonsuz bir aritmetik serinin toplamı

S_{n}

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

a_{1}

ilk terim,

a_{n}

son terim,

n

de terim sayısıdır.

Formülü kullanabilmek için neye ihtiyacımız var?

İlk terim

(a_{1} = - 50)

ve son terim

(a_{n} = 2044)

soruda verilmiştir.

n

'yi (terim sayısı) bulmalıyız.

Adım 1: $n$ ‍'yi (terim sayısı) bulun

Dizi birinci terimden sonuncu terime

2044 - (- 50) = 2094

artar. Dizi her seferinde

6

arttığı için, birinci terimden sonuncu terime ulaşmak

\frac{2094}{6} = 349

terim gerektirir. Birinci terimi de saymamız gerekir, yani dizide

349 + 1 = 350

terim vardır.

Başka bir deyişle,

n = 350

Adım 2: Serinin toplamını $(S_{n})$ ‍ bulun

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \cdot 350 \\ S_{350} & = 997 (350) \\ S_{350} & = 348.950 \end{aligned}

Cevap:

348.950

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.