Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 6: Kısıtlanmış Optimizasyon (Makaleler)

Lagrange çarpanları, örnekler

Lagrange çarpanları, örnekler

Google Classroom

Lagrangian ve Lagrange çarpanları yönteminin nasıl kullanılacağını gösteren örnekler.

Arka plan

Lagrange çarpanları yöntemi, hızlı tekrar

Başka bir çok değişkenli fonksiyonun bir

g (x, y, \dots) = c

sabitine eşit olması kısıtlamasına sahip bir

f (x, y, \dots)

çok değişkenli fonksiyonunu maksimum (veya minimum) yapmak istediğinizde, bu adımları izleyin:

Adım 1: Yeni bir $λ$ ‍ değişkeni kullanın ve aşağıdaki gibi yeni bir $L$ ‍ fonksiyonu tanımlayın:
$L (x, y, \dots, λ) = f (x, y, \dots) - λ (g (x, y, \dots) - c)$ ‍
Bu $L$ ‍ fonksiyonuna "Lagrangian" deriz ve bu yeni değişken $λ$ ‍'ya "Lagrange çarpanı" denir
Adım 2: $L$ ‍'nin gradyanını sıfır vektörüne eşitleyin.
$\nabla L (x, y, \dots, λ) = 0 \leftarrow Sıfır vektörü$ ‍
Başka şekilde söylersek, $L$ ‍'nin kritik noktalarını bulun.
Adım 3: Her birisi $(x_{0}, y_{0}, \dots, λ_{0})$ ‍ formunda olacak çözümleri ele alın. Her birini $f$ ‍'ye koyun. Ya da daha doğrusu, önce $λ_{0}$ ‍ bileşenini kaldırın, sonra $f$ ‍'ye koyun; çünkü $f$ ‍'nin $λ$ ‍ girdisi yoktur. Hangisi aradığınız en büyük (veya küçük) değeri veriyorsa, aradığınız maksimum (veya minimum) nokta odur.

Örnek 1: Bütçe kısıtlamaları

Problem

Bir fabrika işlettiğinizi ve ürününüzü üretmek için hammadde olarak çelik gerektiğini varsayın. En önemli giderleriniz, iş gücü ve çelik maliyetidir. İşçilerinize saatte

20

TL ödersiniz, çeliğin ise tonu

170

TL'dir. Gelirinizin

(R)

aşağıdaki denklemle modellendiğini varsayın:

$R (h, s) = 200 h^{2 / 3} s^{1 / 3}$ ‍

$h$ ‍ işgücü saatini temsil eder
$s$ ‍ çeliğin tonunu temsil eder

Eğer bütçeniz

20.000

TL ise, mümkün olan maksimum gelir nedir?

Çözüm

20

TL/saat işgücü maliyeti ve

170

TL/ton çelik maliyeti, bize

h

s

cinsinden toplam üretim maliyetinin bu olduğunu söyler:

\begin{array}{r} 20 h + 170 s \end{array}

Bu nedenle,

20.000

TL'lik bütçe aşağıdaki koşulla ifade edilebilir:

\begin{array}{r} 20 h + 170 s = 20.000 \end{array}

Hesaplamaya girişmeden önce, aşağıdaki etkileşimli şemayı kullanarak bu problemi daha iyi anlamaya çalışabilirsiniz. Hangi

(h, s)

değerlerinin verilen geliri (mavi eğri) verdiğine ve hangilerinin kısıtı (kırmızı doğru) sağladığına bakabilirsiniz.

20 h + 170 s = 20.000

kısıtına sahip bir

R (h, s)

fonksiyonunu maksimize etmemiz gerektiğinden, bu durum için Lagrange fonksiyonunu yazarak başlarız:

$L (h, s, λ) = 200 h^{2 / 3} s^{1 / 3} - λ (20 h + 170 s - 20.000)$ ‍

Sonra

\nabla L

gradyanını

0

vektörüne eşitleyin. Bu, her kısmi türevi

0

'a eşitlemekle aynıdır. Önce

h

'ye göre kısmi türevi ele alıyoruz.

\begin{aligned} 0 & = \frac{\partial L}{\partial h} \\ 0 & = \frac{\partial}{\partial h} (200 h^{2 / 3} s^{1 / 3} - λ (20 h + 170 s - 20,000)) \\ 0 & = 200 \cdot \frac{2}{3} h^{- 1 / 3} s^{1 / 3} - 20 λ \end{aligned}

Sonra,

s

'ye göre kısmi türevi ele alıyoruz.

\begin{aligned} 0 & = \frac{\partial L}{\partial s} \\ 0 & = \frac{\partial}{\partial s} (200 h^{2 / 3} s^{1 / 3} - λ (20 h + 170 s - 20,000)) \\ 0 & = 200 \cdot \frac{1}{3} h^{2 / 3} s^{- 2 / 3} - 170 λ \end{aligned}

Son olarak,

λ

'ye göre kısmi türevi

0

'a eşitliyoruz, bu daima koşulla aynı şeydir. Pratikte, tabii ki siz sadece koşulu yazabilirsiniz, ancak her şeyin daha net olması için ben burada kısmi türevi yazacağım.

\begin{aligned} 0 & = \frac{\partial L}{\partial λ} \\ 0 & = \frac{\partial}{\partial λ} (200 h^{2 / 3} s^{1 / 3} - λ (20 h + 170 s - 20.000)) \\ 0 & = - 20 h - 170 s + 20.000 \\ 20 h & + 170 s = 20.000 \end{aligned}

Hepsini bir araya koyduğumuzda, çözmemiz gereken denklem sistemi budur:

\begin{aligned} 0 & = 200 \cdot \frac{2}{3} h^{- 1 / 3} s^{1 / 3} - 20 λ \\ 0 & = 200 \cdot \frac{1}{3} h^{2 / 3} s^{- 2 / 3} - 170 λ \\ 20 h & + 170 s = 20,000 \end{aligned}

Uygulamada, bu tür bir denklem sistemine ulaştığınızda, hemen hemen her zaman bir bilgisayar kullanmalısınız. Özellikle de, denklemin gerçek uygulamalarda buradakilerden daha karmaşık olması olası olduğundan. Böyle yapınca, cevabın bu olduğunu bulacaksınız:

\begin{aligned} h & = \frac{2.000}{3} \approx 666, 667 \\ s & = \frac{2.000}{51} \approx 39, 2157 \\ λ & = \sqrt[3]{\frac{8.000}{459}} \approx 2, 593 \end{aligned}

Bu, yaklaşık

667

saatlik işgücü kullanmanız ve

39

ton çelik almanız gerektiği anlamını taşır ve size maksimum gelir olarak bunu verir:

\begin{array}{r} R (667, 39) = 200 (667)^{2 / 3} (39)^{1 / 3} \approx $ 51.777 \end{array}

λ = 2, 593

sabitinin yorumlanması sonraki makaleye bırakılmıştır.

Örnek 2: İç çarpımı maksimize etme

Problem: Üç boyutlu

\vec{v}

vektörü aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun.

\begin{array}{r} \vec{v} = [\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}] \end{array}

Üç boyutlu uzayda olası her

\hat{u}

birim vektörünü düşünün.

\hat{u} \cdot \vec{v}

iç çarpımı hangisi için en büyüktür?

Aşağıdaki şema iki boyutludur, ama üç boyuta geçtiğimizde, sezgisel olarak çok da değişmez.

İç çarpımları iyi biliyorsanız, cevabı bulmuş olabilirsiniz. Bu, hatırlanmaya değer matematiksel bilgilerden biridir. Cevabı bilmiyorsanız, en iyisi! Çünkü biz şimdi Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak sonucu bulacağız ve kanıtlayacağız.

Çözüm:

Önce, bunun nasıl bir kısıtlamalı optimizasyon problemi olduğunu açıklamamız gerekir. Birim vektörlerimizin koordinatlarını

x

y

, ve

z

olarak yazın:

\begin{array}{r} \hat{u} = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] \end{array}

\hat{u}

'nün bir birim vektör olduğu gerçeği, büyüklüğünün

1

olması anlamına gelir:

\begin{aligned} | | \hat{u} | | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = 1 \\ ⇓ \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & = 1 \end{aligned}

Kısıtlamamız budur.

\hat{u} \cdot \vec{v}

'nü maksimize etmek, şu miktarı maksimize etmek anlamına gelir:

$[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}] = 2 x + 3 y + z$ ‍

Bu fonksiyona ve üstteki kısıtlamaya göre Lagrangian,

$L (x, y, z, λ) = 2 x + 3 y + z - λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1) .$ ‍

Şimdi, bu ifadenin her kısmi türevini

0

'a eşitleyerek

\nabla L = 0

'ı çözeriz.

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (2 x + 3 y + z - λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1)) & = 2 - λ 2 x = 0 \\ \frac{\partial}{\partial y} (2 x + 3 y + z - λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1)) & = 3 - λ 2 y = 0 \\ \frac{\partial}{\partial z} (2 x + 3 y + z - λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1)) & = 1 - λ 2 z = 0 \end{aligned}$ ‍

Unutmayın,

λ

'ya göre kısmi türevi

0

'a eşitlemek sadece kısıtlamayı yeniden ifade eder.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial λ} (2 x + 3 y + z - λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1)) & = - x^{2} - y^{2} - z^{2} + 1 = 0 \end{aligned}

Yukarıdaki ilk üç denklemde

x

y

z

için çözdüğümüzde, bunu elde ederiz:

\begin{aligned} x & = 2 \cdot \frac{1}{2 λ} \\ y & = 3 \cdot \frac{1}{2 λ} \\ z & = 1 \cdot \frac{1}{2 λ} \end{aligned}

Ah, ne kadar güzel bir simetri. Bu ifadelerin her birisi aynı

\frac{1}{2 λ}

çarpanına sahip ve

2

3

1

katsayıları

\vec{v}

'nün koordinatlarıyla eşleşiyor. Bizim kadar başarılı matematik öğrencileri, iyi bir simetrinin ziyan olmasına izin vermez. Buradaki durumda, yukarıdaki üç denklemi tek vektör denkleminde birleştirdiğimizde,

\hat{u}

and

\vec{v}

'nü aşağıdaki gibi ilişkilendirebiliriz:

\begin{array}{r} \hat{u} = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = \frac{1}{2 λ} [\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}] = \frac{1}{2 λ} \vec{v} \end{array}

Buna göre

\hat{u}

\vec{v}

ile orantılıdır! Geometrik olarak, bu

\hat{u}

'nün

\vec{v}

ile aynı yönü gösterdiği anlamına gelir.

\vec{v}

ile orantılı iki birim vektör bulunmaktadır,

Aynı yönü gösteren bir vektör, bu $\hat{u} \cdot \vec{v}$ ‍'nü $maksimize eden$ ‍ vektördür.
Ters yönü gösteren bir vektör. Bu, $\hat{u} \cdot \vec{v}$ ‍'nü $minimize eden$ ‍ eden vektördür.

Bu iki birim vektörü

\vec{v}

'nü normalleştirerek yani

\vec{v}

'nü kendi büyüklüğüyle bölerek yazabiliriz:

\begin{aligned} {\hat{u}}_{max} & = \frac{\vec{v}}{| | \vec{v} | |} \\ {\hat{u}}_{min} & = - \frac{\vec{v}}{| | \vec{v} | |} \end{aligned}

| | \vec{v} | |

'nün büyüklüğü

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{14}

'tür, buna göre maksimum yapan birim vektörü

{\hat{u}}_{maks}

açık olarak böyle yazabiliriz:

${\hat{u}}_{maks} = [\begin{matrix} 2 / \sqrt{14} \\ 3 / \sqrt{14} \\ 1 / \sqrt{14} \end{matrix}]$ ‍

Lagrangian'ı atlayın

Son makaleyi okuduysanız Lagrangian'ın,

L

, amacının

\nabla L = 0

eşitlemenin, kısıtlanmış bir maksimumun sağlaması gereken iki özelliği kodladığını hatırlayacaksınız:

Hedef fonksiyonla kısıtlama fonksiyonu arasında gradyan hizalaması
$\begin{aligned} \nabla f (x, y) & = λ \nabla g (x, y) \end{aligned}$ ‍
Kısıtlamanın kendisi,
$\begin{array}{r} g (x, y) = c \end{array}$ ‍

Örnekleri yaparken, Lagrangian'ı yazmakla neden uğraştığımızı kendinize soruyor olabilirsiniz. Her seferinde bunları

\nabla L = 0

'dan oluşturmak yerine, bu iki denklemle başlamak daha kolay olmaz mıydı? Kısa cevap evet, daha kolay olurdu. Kısıtlanmış bir optimizasyon problemini elle çözerseniz ve gradyan hizalanması fikrini hatırlarsanız, Lagrangian'ı düşünmeden bunu çözmeye devam edebilirsiniz.

Uygulamada, bu problemler genelde bir insan değil, bir bilgisayar tarafından çözülür. Belirli bir fonksiyonun gradyanının

0

olduğu zamanı bulmak için birçok yüksek derecede optimize programlar olduğuna göre, problemimizi

\nabla L = 0

denklemiyle özetlemek hem temiz, hem de faydalıdır.

Ayrıca, Lagrangian'ın kendisi, ondan türetilen pek çok fonksiyonla birlikte, optimizasyonun teorik incelenmesinde sık sık ortaya çıkar. Bunun ışığında, çoklu koşullar yerine bir tek

L

nesnesiyle ilgili mantık yürütmek, yüksek düzeyde fikirler arasındaki bağlantıyı görmeyi kolaylaştırır. Tahtaya yazmanın da daha hızlı olduğunu belirtmeliyim.

Her iki durumda da, kısıtlanmış optimizasyonla gelecekteki ilişkiniz ne olursa olsun, Lagrangian'ı ve yaptıklarını düşünmek iyidir. Üstteki örnek nasıl işe yaradığını gösterir ve umarız ki,

\nabla L = 0

'ın hem

\nabla f = λ \nabla g

hem de

g (x, y) = c

'yi bir tek denklemde yakaladığını vurgular.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

mr.ozsen
5 yıl önce önce paylaşıldı. mr.ozsen kullanıcısının ''ilk örnekte 200h nereden '...' gönderisini görmek için direkt link
ilk örnekte 200h nereden geliyor?
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(2 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.