Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 6: Kısıtlanmış Optimizasyon (Makaleler)

Lagrange çarpanları, giriş

Google Classroom

"Lagrange çarpanları" yöntemi, kısıtlanmış optimizasyon problemlerini çözmenin bir yoludur. Son derece yararlı!

Arka plan

Neye ulaşıyoruz:

Lagrange çarpanları tekniği, kullanmanıza izin verilen girdi değerlerinde bazı kısıtlamalar olduğunda, çok değişkenli bir start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99 fonksiyonunun maksimumunu veya minimumunu bulmanıza yardımcı olur.
Bu teknik, sadece bunun gibi gözüken kısıtlamalara uygulanır:
start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612
Burada start color #bc2612, g, end color #bc2612, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 ile aynı girdi uzayına sahip başka bir çok değişkenli fonksiyondur ve start color #bc2612, c, end color #bc2612 bir sabittir.
[Resim]
Temel fikir, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 ve start color #bc2612, g, end color #bc2612'nin eş yükselti çizgilerinin birbirine teğet olduğu noktaları aramaktır.
Bu, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 ve start color #bc2612, g, end color #bc2612'nin gradyan vektörlerinin birbirine paralel olduğu noktaları bulmakla aynıdır.
Sürecin tümü, belirli bir fonksiyonun gradyanını - bu Lagrangian olarak adlandırılır- sıfır vektörüne eşitlemek olarak özetlenebilir.
[Özellikle...]

Motive edici örnek

Diyelim ki, bu fonksiyonu maksimum yapmak istiyorsunuz:

start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, plus, y, end color #0c7f99

Ancak diyelim ki, kendinizi aşağıdaki denklemi sağlayan left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis girdileriyle sınırlandırdınız:

start color #bc2612, x, squared, plus, y, squared, equals, 1, end color #bc2612

Başka bir deyişle, start color #bc2612, start text, b, i, r, i, m, space, ç, e, m, b, e, r, end text, end color #bc2612deki hangi left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktası için start color #0c7f99, 2, x, plus, y, end color #0c7f99 değerien büyüktür?

Buna kısıtlanmış optimizasyon problemi denir. start color #bc2612, x, squared, plus, y, squared, equals, 1, end color #bc2612 olan noktalardaki sınırlandırmaya "kısıtlama" denir ve optmize edilmesi gereken fonksiyon start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, plus, y, end color #0c7f99'dir.

Bunu şöyle görselleştirebiliriz: İlk olarak start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99'nin grafiğini çizin, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 doğrusal olduğundan, bu eğimli bir düzlem gibi görünür. Sonra, start color #bc2612, x, squared, plus, y, squared, equals, 1, end color #bc2612 çemberinin x, y düzleminden düşey olarak start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'nin grafiğine izdüşümünü alın. Aradığımız maksimum, bu izdüşümü alınan çemberin en yüksek noktasıyla eşleşir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Daha genel form

Genel olarak, kısıtlandırılmış optimizasyon problemleri, herhangi bir sayıda boyutta girdisi olan bir çok değişkenli fonksiyonu maksimum/minimum yapmaya ilişkindir:

start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99

Bununla birlikte, çıktısı daima bir boyutlu olacaktır; zira vektör değerli çıktılarla net bir ''maksimum'' kavramı yoktur.

Lagrange çarpanları tekniğinin uygulandığı kısıtlamaların tipi, başka bir çok değişkenli start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis, end color #bc2612 fonksiyonunun bir start color #bc2612, c, end color #bc2612 sabitine eşitlenmesi formunda olmalıdır.

start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612

Bu start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'nin girdisinde bir kısıtlama anlamına geldiğinden, start color #bc2612, g, end color #bc2612'nin girdisinin boyut sayısı start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'ninkiyle aynıdır. Örneğin, yukarıda özetlenen örnek bu genel forma aşağıdaki gibi uyar:

start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, plus, y, end color #0c7f99

start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, end color #bc2612

start color #bc2612, c, equals, 1, end color #bc2612

[Çoklu kısıtlamalar]

Eşyükselti eğrilerini kullanma

Problemi daha kolay bir şekilde mantığa oturtmak için, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'yi bir grafik yerine eş yükselti çizgileri ile görselleştirmeliyiz.

Hatırlarsanız, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99'nin eş yükseltisi, bir k sabiti için start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, k, end color #0c7f99 olan tüm noktaların kümesidir. Aşağıdaki etkileşimli araç, k sabiti değiştikçe, (maviyle çizilen) bu çizginin nasıl değiştiğini gösterir. start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 1, end color #bc2612 çemberi de (kırmızıyla) gösterilmiştir. start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'nin çemberle kesişmesine izin vererek, k'yi mümkün olduğunca büyük/küçük yapmaya çalışın.

Kavram kontrolü: Belirli bir k değeri için, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, k, end color #0c7f99'yi temsil eden mavi doğrunun start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 1, end color #bc2612'i temsil eden kırmızı çemberi kesmemesi ne anlama gelir?

(A şıkkı)
Hem start color #0c7f99, 2, x, plus, y, equals, k, end color #0c7f99, hem de start color #bc2612, x, squared, plus, y, squared, equals, 1, end color #bc2612'i sağlayan x ve y değeri yoktur
(B şıkkı)
Verilen optimizasyon probleminin çözümü yoktur.

Dikkat ederseniz, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 1, end color #bc2612 olan çember, start color #bc2612, g, end color #bc2612 fonksiyonun özel bir eş yükselti çizgisi olarak düşünülebilir. Buna göre, kısıtlanmış optimizasyon problemleri üstünde düşünmenin zekice bir yolu şöyledir:

Önemli gözlem: start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'nin start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 1, end color #bc2612 kısıtlamasına tabi maksimum ve minimum değerleri, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99'nin start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 1, end color #bc2612'i temsil eden eş yükseltiye teğet olan eş yükselti çizgilerini temsil eder.

Eğr start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 farklı bir fonksiyon olsaydı, eş yükseltileri hep düz çizgi olmayabilirdi. Bu bizim örneğimize özgüdür, çünkü start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 is doğrusaldır. Örneğin, bu fonksiyona bakın:

start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, square root of, 5, y, end square root, end color #0c7f99,

Eş yükselti doğruları şöyle görünecek:

Bunu söyledikten sonra, önemli gözlemimiz hala geçerlidir ve tekrarlamaya değer: k kısıtlamaya tabi f'nin bir maksimumu veya minimumu olduğunda, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, k, end color #0c7f99'nin eş yükselti çizgisi, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 1, end color #bc2612'i temsil eden eş yükseltiye teğet olacaktır.

Gradyanın devreye girdiği yer

İki eş yükselti çizgisinin teğet olması fikrini, çözebileceğiniz bir formüle nasıl koyarsınız?

Bunu cevaplamak için, sadık dostumuz gradyana başvururuz. del, f'yi yorumlamanın birçok yolu vardır: En dik yükselişin yönü, yönlü türevleri hesaplamak için bir araç, vb. Ancak, bizim ilgilendiğimiz özellik, f'nin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası bulunan gradyanının o noktadan geçen eş yükselti çizgisine her zaman dik bir vektör vermesidir.

Bunun anlamı, iki fonksiyonun, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 ile start color #bc2612, g, end color #bc2612, eş yükselti çizgileri teğet olduğunda, gradyan vektörlerinin paralel olmasıdır. Rastgele start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 ile start color #bc2612, g, end color #bc2612 fonksiyonları için bu şöyle görünebilir:

Eş yükselti çizgilerinin teğet olduğu bilgisi, bu gradyan vektörlerinin boyutlarıyla ilgili bize bilgi vermez, ama bu sorun yaratmaz. İki vektör aynı yönde olduüunda, birini elde etmek için diğerini bir sabitle çarpabiliriz demektir. Özellikle, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 ile start color #bc2612, g, end color #bc2612 eş yükselti çizgilerinin teğet olduğu özel bir noktayı belirtsin (x, start subscript, 0, end subscript ve y, start subscript, 0, end subscript'ı 0 alt simgesiyle yazmak, sabit değerleri ve böylece belirli bir noktayı düşündüğümüz anlamına gelir). Bu teğetlik gradyan vektörlerin hizalandığı anlamına geldiğinden, şöyle yazabilirsiniz:

$\begin{aligned} \nabla \blueE{f(x_0, y_0)} = \greenE{\lambda}_0 \nabla \redE{g(x_0, y_0)} \end{aligned}$

Burada start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript bir sabiti temsil eder. Bazı yazarlar negatif bir sabit, minus, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript kullanır, ancak ben pozitif bir sabiti tercih ederim, çünkü ileride start color #0d923f, lambda, start subscript, 0, end subscript, end color #0d923f'ın daha temiz bir yorumunu verir.

start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, plus, y, end color #0c7f99 ve start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, end color #bc2612 olan örneğimizde bunun neye benzediğini görelim. f'nin gradyanı,

$\begin{aligned} \nabla f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial \blueD{x}}(2\blueD{x} + y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(2x + \redD{y}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

ve g'nin gradyanı şudur:

$\begin{aligned} \nabla g(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial \blueD{x}}(\blueD{x}^2 + y^2 - 1) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(x^2 + \redD{y}^2 - 1) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2x \\ 2y \end{array} \right] \end{aligned}$

Buna göre, teğetlik koşulu sonunda bunun gibi gözükür:

$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] = \greenE{\lambda_0} \left[ \begin{array}{c} 2x_0 \\ 2y_0 \end{array} \right] \end{aligned}$

Özel durumda problemi çözme

Şimdiye kadar yaptıklarımızı özetlersek, aşağıdaki özelliklere sahip olan left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis girdi noktalarını arıyoruz:

g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 1'dir, bu bizim örneğimiz için şu anlama gelir:
start color #bc2612, x, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, y, start subscript, 0, end subscript, squared, equals, 1, end color #bc2612
bir start color #0d923f, lambda, start subscript, 0, end subscript, end color #0d923f sabiti için del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start color #0d923f, lambda, start subscript, 0, end subscript, end color #0d923f, del, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, bu bizim örneğimiz için şu anlamı taşır:
$\begin{aligned} \quad {2} &{= 2\greenE{\lambda_0} x_0} \\ {1} &{= 2\greenE{\lambda_0} y_0} \end{aligned}$

3 denklemimiz ve 3 bilinmeyenimiz var, dolayısıyla bu tamamen çözülebilir bir durumdur.

[Son çözüme bakın]

Lagrange fonksiyonu

1700'lü yıllarda, dostumuz Joseph Louis Lagrange bu türden kısıtlanmış optimizasyon problemlerini inceledi ve tüm koşullarımızı bir tek denklemde ifade etmenin akıllıca bir yolunu buldu.

Bu koşulları genel olarak aşağıdaki koşulları sağlayan x, start subscript, 0, end subscript, y, start subscript, 0, end subscript ve lambda, start subscript, 0, end subscript sabitlerini aradığımızı söyleyerek yazabiliriz:

Kısıtlama:
start color #bc2612, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612
Teğetlik koşulu:
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, lambda, start subscript, 0, end subscript, del, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Bu, bileşenlerine aşağıdaki gibi ayrılabilir:
- f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, lambda, start subscript, 0, end subscript, g, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
- f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, lambda, start subscript, 0, end subscript, g, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

Lagrange f ve g ile aynı girdi değişkenlerle, artık sabit yerine değişken olarak düşünülen, yeni çocuk lambda'yı alan yeni fonksiyonu kaydetti.

L, left parenthesis, x, comma, y, comma, lambda, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, minus, lambda, left parenthesis, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, minus, c, end color #bc2612, right parenthesis

Örneğin, üstteki örneğimizi düşünün.

\begin{aligned} \quad \blueE{f(x, y)} &= \blueE{2x + y }\\ \redE{g(x, y)} &= \redE{x^2 + y^2} \\ \redE{c} &= \redE{1} \\ \end{aligned}

Bu yeni fonksiyon şöyle görünür:

L, left parenthesis, x, comma, y, comma, lambda, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, x, plus, y, end color #0c7f99, minus, lambda, left parenthesis, start color #bc2612, x, squared, plus, y, squared, minus, 1, end color #bc2612, right parenthesis, point

Dikkat ederseniz, L'nin lambda'ya göre kısmi türevi minus, left parenthesis, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, minus, c, right parenthesis'dir:

\begin{aligned} \quad \mathcal{L}_\lambda(x, y, \lambda) &= \dfrac{\partial}{\partial \lambda}\left(f(x, y) - \lambda (g(x, y)-c \right) \\ &= 0 - (g(x, y)-c) \end{aligned}

O zaman, g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, c koşulunu şöyle dönüştürebiliriz

\begin{aligned} \quad \redE{ \mathcal{L}_\lambda(x, y, \lambda) = -g(x, y) + c = 0 } \end{aligned}

Dahası, diğer kısmi türevlerden birini 0'a eşitlediğimizde ne elde ettiğimize bakın:

\begin{aligned} \quad \mathcal{L}_x(x, y, \lambda) &= 0 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}(f(x, y) - \lambda (g(x, y)-c)) &= 0 \\ \\ f_x(x, y) - \lambda g_x(x, y) &= 0 \\ \\ {f_x(x, y)} &{= \lambda g_x(x, y)} \end{aligned}

Bu, koşullarımızdan biridir! Hemen hemen aynı şekilde L, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, lambda, right parenthesis, equals, 0 koşulu şu hali alır

\begin{aligned} \quad {f_y(x, y) = \lambda g_y(x, y)} \end{aligned}

Birlikte, bu koşullar şunu ifade etmektedir.

\begin{aligned} \quad \nabla f(x, y) = \lambda \nabla g(x, y) \end{aligned}

Böylece, x, comma, y ve lambda'yı bulmak için çözmemiz gereken üç koşul L'nin çeşitli kısmi türevlerinin 0'a eşit olması anlamına gelir. L'yi sıfır vektörüne eşitleyerek bunu son derece özet bir şekilde yazabiliriz:

\begin{aligned} \quad \nabla \mathcal{L} = \textbf{0} \end{aligned}

Örneğin, üstteki belirli fonksiyonlarımızı kullandığımızda, bunun çözmemiz gereken denklem sistemini nasıl kodladığını görürüz:

\begin{aligned} \quad \nabla \mathcal{L} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x}(2x + y - \lambda(x^2 + y^2 - 1)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y}(2x + y - \lambda(x^2 + y^2 - 1)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \lambda}(2x + y - \lambda(x^2 + y^2 - 1)) \\ \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 - 2\lambda x \\ 1 - 2\lambda y \\ -x^2 - y^2 + 1 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right] \end{aligned}

Joey Lou'yu anmak için, bu L fonksiyonuna "Lagrangian" ve tanıttığımız yeni lambda değişkenine "Lagrange çarpanı" deriz. Birinin soyadınızın sonuna "-ian" eklediğini ve herkesin kullandığı bir fonksiyonun ismi yaptığını hayal edin. Ne güzel!

Uyarı: Bazı yazarlar lambda'nın işaretinin tersinin alındığı bir kural da kullanırlar:

\begin{aligned} \quad \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) \redE{+} \lambda (g(x, y)-c) \end{aligned}

Problemi çözerken bu bir fark yaratmaz, ama aldığınız ders veya okuduğunuz metin bu kuralı izliyorsa bunu aklınızda tutmalısınız.

[Ya kısıtlama pek de kısıtlamıyorsa?]

Özet

Başka bir çok değişkenli fonksiyonun bir start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612 sabitine eşit olması kısıtlamasına sahip bir start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99 çok değişkenli fonksiyonunu maksimum (veya minimum) yapmak istediğinizde, bu adımları izleyin:

Adım 1: Yeni bir start color #0d923f, lambda, end color #0d923f değişkeni kullanın ve aşağıdaki gibi yeni bir L fonksiyonu tanımlayın:
L, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99, minus, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, left parenthesis, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, minus, c, end color #bc2612, right parenthesis
Bu L fonksiyonuna "Lagrangian" deriz ve bu yeni değişken start color #0d923f, lambda, end color #0d923f'ya "Lagrange çarpanı" denir
Adım 2: L'nin gradyanını sıfır vektörüne eşitleyin.
del, L, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text, left arrow, start color gray, start text, S, ı, f, ı, r, space, v, e, k, t, o, with, \", on top, r, u, with, \", on top, end text, end color gray
Başka şekilde söylersek, L'nin kritik noktalarını bulun.
Adım 3: Her birisi left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis formunda olacak çözümleri ele alın. Her birini f'ye koyun. Ya da daha doğrusu, önce start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript bileşenini kaldırın, sonra f'ye koyun; çünkü f'nin start color #0d923f, lambda, end color #0d923f girdisi yoktur. Hangisi aradığınız en büyük (veya küçük) değeri veriyorsa, aradığınız maksimum (veya minimum) nokta odur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.