If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Örnekler: İkinci kısmi türev testi

İkinci kısmi türev testini kullanarak alıştırma yapın

Zorlanmaya hazırlanın

Sizin için zor bir görevim var.
Bu makalede, çok değişkenli fonksiyonlarda maksimumu ve minimumu bulmaya ilişkin iki örneği ele alacağız. Modern uygulamalarda, bu tür problemleri çözmenin çoğu adımı bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilecektir. Bununla birlikte, ikinci kısmi türev testinin nasıl kullanıldığını gerçekten anladığınızı test etmenin tek yolu, bunu en az bir kere sizin yapmanızdır.
Ne de olsa, günün birinde bir bilgisayara bunu nasıl yapacağını söyleyen bir program yazmanız gerekebilir ve bu ilgili tüm adımlar hakkında bilgi sahibi olmanızı gerektirecektir. Ayrıca, bu kısmi türevler konusunda akıcı şekilde işlem yapabilmenin iyi bir yoludur.
Dolayısıyla size önerim şudur: anlayıp anlamadığınızı test etmek için, makalede ilerlerken her adımda cevabı girmeyi deneyin.

İkinci kısmi türev testinin ifadesi (referans için)

f'nin kısmi türevlerinin ikisinin de 0'a eşit olduğu bir (x0,y0) noktası bularak başlayın.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0
İkinci kısmi türev testi bize (x0,y0)'ın yerel maksimum, yerel minimum veya eyer noktası olduğunu nasıl belirleyeceğimizi söyler. Bu terimi hesaplayarak başlayın:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2
burada fxx, fyy ve fxy, f'nin ikinci kısmi türevleridir.
  • Eğer H<0 ise, bu durumda f'nin (x0,y0)'da bir minimum veya maksimumu değil, bir eyer noktası vardır.
  • Eğer H>0 ise, bu durumda f kesinlikle (x0,y0)'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için fxx(x0,y0)'ın işaretine bakmalıyız.
    • Eğer fxx(x0,y0)>0 ise, bu durumda f yerel bir minimuma sahiptir.
    • Eğer fxx(x0,y0)<0 ise, bu durumda f yerel bir maksimuma sahiptir.
  • Eğer H=0 ise, f'nin bir yerel minimumu veya maksimumu olduğunu sadece ikinci türev söyleyemez.

Örnek 1: Eyer noktalarının hepsi!

Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
x44x2+y2
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.

Adım 1: Eyer noktalarının tümünü bulun

Stabil noktalar, her iki kısmi türevin de 0'a eşit olduğu tüm (x0,y0) çiftleridir. Önce, her kısmi türevi hesaplayalım.
fx(x,y)=
fy(x,y)=

Daha sonra, kısmi türevlerin ikisinin de 0'a eşit olduğu tüm (x0,y0) noktalarını bulalım, yani denklem sistemini çözelim.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0
Aşağıdaki çiftlerden hangisi denklemler sistemini sağlar?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

Başlamak için, f(x,y)=x44x2+y2'nin ikinci kısmi türevlerinin üçünü de bulun.
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

İkinci kısmi türevinde ilgilendiğimiz ifade
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2
Az önce bulduğumuz ikinci türevleri uygularsak, bu ifade ne hale gelir (x ve y cinsinden bir fonksiyon olarak)?
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2=

İkinci türev testini uygulamak için, stabil noktalarımızın hepsini bu ifadeye koyarız ve pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.
  • Eyer noktası 1:
    (x,y)=(0,0)'da, ifadenin değeri
    24x216=24(0)216=16
    Bu negatiftir, onun için ikinci kısmi türev testine göre, (0,0) noktası
1 cevap seçin:

  • Eyer noktası 2: (x0,y0)=(2,0)'da ifade şu hali alır:
    24x216=24(2)216=4816=32
    Bu pozitiftir. Ayrıca,
    fxx(2,0)=12(2)28=248=16
Buna göre, (2,0) noktası böyle olmalıdır:
1 cevap seçin:

  • Stabil nokta 3: Aynı diğer stabil noktalarla yaptığımız gibi (2,0) noktasını yerine koyabiliriz, ancak ayrıca f(x,y)=x44x2+y2 fonksiyonunun simetrik olduğunu da fark edebiliriz, burada x yerine x koymak aynı ifadeyi verecektir:
    (x)44(x)2+y2=x44x2+y2.
    Buna göre, (2,0) noktası tam olarak (2,0) ile aynı davranışa sahip olacaktır.
Buradaki f(x,y) grafiğinin dönerken bir parçasında, iki yerel minimumu ve başlangıç noktasının gerçekten de bir eyer noktası olduğunu görebiliriz.
Khan Akademi video wrapper

Örnek 2: Karmaşıklaşma

Toz pembe göstermeyelim; optimizasyon problemleri çok uzun olabilir. Çok çok uzun.
Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
f(x,y)=x2yy2xx2y2
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.

Adım 1: Eyer noktalarını bulun

Nerede kısmi türevlerin ikisinin de sıfır olduğunu bulmalıyız, dolayısıyla f(x,y)=x2yy2xx2y2'nin kısmi türevlerinin ikisini de bularak başlayalım.
fx(x,y)=
fy(x,y)=

O zaman denklem sistemini çözmemiz gerekir
2xyy22x=0x22xy2y=0
Gerçek dünyada bir denklem sistemiyle karşılaştığınızda, neredeyse mutlak bir kesinlikle bunu çözmek için bilgisayar kullanırsınız. Bununla birlikte, alıştırma yapmak ve optimizasyon problemlerinin her zaman o kadar kolay olmadığını görmek için, çılgınca bir şey yapalım ve kendimiz hesaplamaya çalışalım.
Genel olarak, bunu şu yolla yapmak isteyebilirsiniz:
  • x cinsinden y'yi elde etmek için denklemlerden birisini çözün.
  • Bunu, sadece x içeren bir denklem elde etmek için diğer ifadeye koyun.
  • x'i bulun.
  • Denklemlerden ikisine de x'in her çözümünü koyarak y'yi bulun.
  • Elde edilen (x,y) çiftlerinden hangisinin ifadeyi gerçekten çözdüğünü konrol edin.
Bu gerçekten karmaşık olabilir, zira x'i sabit tutarak y'yi bulmak için ikinci dereceden bir formül kullanabilirsiniz ve sonra bu sevimsiz ifadeyi başka bir yere koyabilirsiniz. Aksi takdirde kendinizi 4. dereceden bir denklemi çözerken bulabilirsiniz; bu can sıkıcı olmasının yanısıra oldukça çok sayıda çözümü yerine koymanızı gerektirir.
Bu sistemde denklemler çok simetrik gözükmektedir, bu onları toplamanın/çıkarmanın hayatı kolaylaştırabileceğini belirtir. Gerçekten, eğer bunları toplarsak şunu elde ederiz:
2xyy22x=0+x22xy2y=0x2y22(x+y)=0(x+y)(xy)2(x+y)=0(x+y)(xy2)=0
Bu denklem x ve y arasındaki ilişkiye dair neyi ima eder? (Her cevabı x ve y değişkenlerini içeren bir denklem olarak ifade edin.)
İkisi de
veya

Bu olasılıkların her birisi x'i y cinsinden yazmamızı sağlar, bu da denklemlerimizden bir tanesini sadece y cinsinden yazmamızı sağlar.
Örneğin, eğer x=y ilişkisini birinci ifade olan 2xyy22x'e koyarsanız, sadece y cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde edebilirsiniz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
ve

Bu x=y varsayımından ortaya çıktığı için, x değerleri, sırasıyla, x=0 ve x=23 olur. Bu bize ilk iki çözüm ikilimizi verir:
(x,y)=(0,0),
(x,y)=(23,23)
Alternatif olarak, x=y+2 olduğu durumu ele alalım. Gene, bu ilişkiyi 2xyy22x ifadesine koyarsak, sadece y cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
ve

Bunları x=y+2 varsayamına göre bulduğumuz için, x değerleri şöyle olur
x=21+5=1+5
x=215=15
Bu, iki çözüm çifti daha verir:
(x,y)=(1+5,1+5)
(x,y)=(15,15).
Artık tüm olasılıkları tükettik, zira başlangıçta x=y veya x=y+2 olduğunu bulduk ve her varsayımın sonucu olan denklemleri tamamen çözdük.

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

Bir örnek için oldukça fazla iş yaptık ve henüz yarıya bile gelmedik! Şimdi, ikinci türev testini bunlardan her birisine uygulamalıyız. İlk olarak, aşağıdaki fonksiyonumuzun tüm ikinci türevlerini bulalım:
f(x,y)=x2yy2xx2y2
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

İkinci türev testine göre, stabil noktalarımızdan her birisinin bir yerel maksimum veya minimum olduğunu analiz etmek için bunları ifadeye koyarız.
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2
Az önce bulduğunuz ikinci türevleri uyguladığımızda bu ifade ne olur?

Sadece bu ifadenin pozitif mi, negatif mi olduğuyla ilgilendiğimiz için, biraz sadeleştirmek için her şeyi 4'e bölebiliriz.
(y1)(x1)(xy)2önemli ifade
Şimdi stabil noktalarımızın her biri için bu ifadenin işaretini görürüz.
  • Eyer noktası (0,0):
    (x,y)=(0,0) noktasında, üstteki önemli ifade
    değerini alır. Bundan vardığımız sonuç, (0,0)'ın
    1 cevap seçin:
    Şimdi,
    1 cevap seçin:

  • Eyer noktası (23,23):
    (x,y)=(23,23)'te, yukarıdaki önemli ifadenin değeri
    . Buradan hareketle, (23,23)'ün
    1 cevap seçin:
    Şimdi,
    1 cevap seçin:

  • Eyer noktası (1+5,1+5):
    (x,y)=(1+5,1+5) noktasında, üstteki önemli ifadenin değeri,
    olur. Bundan varacağımız sonuç, (1+5,1+5)'in
    1 cevap seçin:
    Şimdi,
    1 cevap seçin:

  • Eyer noktası (15,15):
    Buradaki aritmetik bir önceki durumla neredeyse aynıdır.
Burada dönen f(x,y)=x2yy2xx2y2 grafiğinin kısa bir videosu bulunmaktadır, burada üç eyer noktasını ve başlangıç noktasındaki yerel maksimumu görebilirsiniz.
Khan Akademi video wrapper

Kendinizi şımartın

Bunlar oldukça uzun problemler, dolayısıyla eğer gerçekten bunları tamamladıysanız kendinizi yürekten kutlayın!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.