Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3
Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)Örnekler: İkinci kısmi türev testi
İkinci kısmi türev testini kullanarak alıştırma yapın
Arka plan
Zorlanmaya hazırlanın
Sizin için zor bir görevim var.
Bu makalede, çok değişkenli fonksiyonlarda maksimumu ve minimumu bulmaya ilişkin iki örneği ele alacağız. Modern uygulamalarda, bu tür problemleri çözmenin çoğu adımı bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilecektir. Bununla birlikte, ikinci kısmi türev testinin nasıl kullanıldığını gerçekten anladığınızı test etmenin tek yolu, bunu en az bir kere sizin yapmanızdır.
Ne de olsa, günün birinde bir bilgisayara bunu nasıl yapacağını söyleyen bir program yazmanız gerekebilir ve bu ilgili tüm adımlar hakkında bilgi sahibi olmanızı gerektirecektir. Ayrıca, bu kısmi türevler konusunda akıcı şekilde işlem yapabilmenin iyi bir yoludur.
Dolayısıyla size önerim şudur: anlayıp anlamadığınızı test etmek için, makalede ilerlerken her adımda cevabı girmeyi deneyin.
İkinci kısmi türev testinin ifadesi (referans için)
İkinci kısmi türev testi bize 'ın yerel maksimum, yerel minimum veya eyer noktası olduğunu nasıl belirleyeceğimizi söyler. Bu terimi hesaplayarak başlayın:
burada , ve , 'nin ikinci kısmi türevleridir.
- Eğer
ise, bu durumda 'nin 'da bir minimum veya maksimumu değil, bir eyer noktası vardır. - Eğer
ise, bu durumda kesinlikle 'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için 'ın işaretine bakmalıyız.- Eğer
ise, bu durumda yerel bir minimuma sahiptir.
- Eğer
ise, bu durumda yerel bir maksimuma sahiptir.
- Eğer
- Eğer
ise, 'nin bir yerel minimumu veya maksimumu olduğunu sadece ikinci türev söyleyemez.
Örnek 1: Eyer noktalarının hepsi!
Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.
Adım 1: Eyer noktalarının tümünü bulun
Stabil noktalar, her iki kısmi türevin de 'a eşit olduğu tüm çiftleridir. Önce, her kısmi türevi hesaplayalım.
Daha sonra, kısmi türevlerin ikisinin de 'a eşit olduğu tüm noktalarını bulalım, yani denklem sistemini çözelim.
Aşağıdaki çiftlerden hangisi denklemler sistemini sağlar?
Adım 2: İkinci türev testini uygulayın
Başlamak için, 'nin ikinci kısmi türevlerinin üçünü de bulun.
İkinci kısmi türevinde ilgilendiğimiz ifade
Az önce bulduğumuz ikinci türevleri uygularsak, bu ifade ne hale gelir ( ve cinsinden bir fonksiyon olarak)?
İkinci türev testini uygulamak için, stabil noktalarımızın hepsini bu ifadeye koyarız ve pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.
- Eyer noktası 1:
'da, ifadenin değeriBu negatiftir, onun için ikinci kısmi türev testine göre, noktası
- Eyer noktası 2:
'da ifade şu hali alır:Bu pozitiftir. Ayrıca,
Buna göre, noktası böyle olmalıdır:
- Stabil nokta 3: Aynı diğer stabil noktalarla yaptığımız gibi
noktasını yerine koyabiliriz, ancak ayrıca fonksiyonunun simetrik olduğunu da fark edebiliriz, burada yerine koymak aynı ifadeyi verecektir: .Buna göre, noktası tam olarak ile aynı davranışa sahip olacaktır.
Buradaki grafiğinin dönerken bir parçasında, iki yerel minimumu ve başlangıç noktasının gerçekten de bir eyer noktası olduğunu görebiliriz.
Örnek 2: Karmaşıklaşma
Toz pembe göstermeyelim; optimizasyon problemleri çok uzun olabilir. Çok çok uzun.
Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.
Adım 1: Eyer noktalarını bulun
Nerede kısmi türevlerin ikisinin de sıfır olduğunu bulmalıyız, dolayısıyla 'nin kısmi türevlerinin ikisini de bularak başlayalım.
O zaman denklem sistemini çözmemiz gerekir
Gerçek dünyada bir denklem sistemiyle karşılaştığınızda, neredeyse mutlak bir kesinlikle bunu çözmek için bilgisayar kullanırsınız. Bununla birlikte, alıştırma yapmak ve optimizasyon problemlerinin her zaman o kadar kolay olmadığını görmek için, çılgınca bir şey yapalım ve kendimiz hesaplamaya çalışalım.
Genel olarak, bunu şu yolla yapmak isteyebilirsiniz:
cinsinden 'yi elde etmek için denklemlerden birisini çözün.- Bunu, sadece
içeren bir denklem elde etmek için diğer ifadeye koyun. 'i bulun.- Denklemlerden ikisine de
'in her çözümünü koyarak 'yi bulun. - Elde edilen
çiftlerinden hangisinin ifadeyi gerçekten çözdüğünü konrol edin.
Bu gerçekten karmaşık olabilir, zira 'i sabit tutarak 'yi bulmak için ikinci dereceden bir formül kullanabilirsiniz ve sonra bu sevimsiz ifadeyi başka bir yere koyabilirsiniz. Aksi takdirde kendinizi . dereceden bir denklemi çözerken bulabilirsiniz; bu can sıkıcı olmasının yanısıra oldukça çok sayıda çözümü yerine koymanızı gerektirir.
Bu sistemde denklemler çok simetrik gözükmektedir, bu onları toplamanın/çıkarmanın hayatı kolaylaştırabileceğini belirtir. Gerçekten, eğer bunları toplarsak şunu elde ederiz:
Bu denklem ve arasındaki ilişkiye dair neyi ima eder? (Her cevabı ve değişkenlerini içeren bir denklem olarak ifade edin.)
Bu olasılıkların her birisi 'i cinsinden yazmamızı sağlar, bu da denklemlerimizden bir tanesini sadece cinsinden yazmamızı sağlar.
Örneğin, eğer ilişkisini birinci ifade olan 'e koyarsanız, sadece cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde edebilirsiniz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
Bu varsayımından ortaya çıktığı için, değerleri, sırasıyla, ve olur. Bu bize ilk iki çözüm ikilimizi verir:
Alternatif olarak, olduğu durumu ele alalım. Gene, bu ilişkiyi ifadesine koyarsak, sadece cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
Bunları varsayamına göre bulduğumuz için, değerleri şöyle olur
Bu, iki çözüm çifti daha verir:
Artık tüm olasılıkları tükettik, zira başlangıçta veya olduğunu bulduk ve her varsayımın sonucu olan denklemleri tamamen çözdük.
Adım 2: İkinci türev testini uygulayın
Bir örnek için oldukça fazla iş yaptık ve henüz yarıya bile gelmedik! Şimdi, ikinci türev testini bunlardan her birisine uygulamalıyız. İlk olarak, aşağıdaki fonksiyonumuzun tüm ikinci türevlerini bulalım:
İkinci türev testine göre, stabil noktalarımızdan her birisinin bir yerel maksimum veya minimum olduğunu analiz etmek için bunları ifadeye koyarız.
Az önce bulduğunuz ikinci türevleri uyguladığımızda bu ifade ne olur?
Sadece bu ifadenin pozitif mi, negatif mi olduğuyla ilgilendiğimiz için, biraz sadeleştirmek için her şeyi 'e bölebiliriz.
Şimdi stabil noktalarımızın her biri için bu ifadenin işaretini görürüz.
- Eyer noktası
: - Eyer noktası
: - Eyer noktası
: - Eyer noktası
:Buradaki aritmetik bir önceki durumla neredeyse aynıdır.
Burada dönen grafiğinin kısa bir videosu bulunmaktadır, burada üç eyer noktasını ve başlangıç noktasındaki yerel maksimumu görebilirsiniz.
Kendinizi şımartın
Bunlar oldukça uzun problemler, dolayısıyla eğer gerçekten bunları tamamladıysanız kendinizi yürekten kutlayın!
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.