If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Örnekler: İkinci kısmi türev testi

İkinci kısmi türev testini kullanarak alıştırma yapın

Zorlanmaya hazırlanın

Sizin için zor bir görevim var.
Bu makalede, çok değişkenli fonksiyonlarda maksimumu ve minimumu bulmaya ilişkin iki örneği ele alacağız. Modern uygulamalarda, bu tür problemleri çözmenin çoğu adımı bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilecektir. Bununla birlikte, ikinci kısmi türev testinin nasıl kullanıldığını gerçekten anladığınızı test etmenin tek yolu, bunu en az bir kere sizin yapmanızdır.
Ne de olsa, günün birinde bir bilgisayara bunu nasıl yapacağını söyleyen bir program yazmanız gerekebilir ve bu ilgili tüm adımlar hakkında bilgi sahibi olmanızı gerektirecektir. Ayrıca, bu kısmi türevler konusunda akıcı şekilde işlem yapabilmenin iyi bir yoludur.
Dolayısıyla size önerim şudur: anlayıp anlamadığınızı test etmek için, makalede ilerlerken her adımda cevabı girmeyi deneyin.

İkinci kısmi türev testinin ifadesi (referans için)

f'nin kısmi türevlerinin ikisinin de 0'a eşit olduğu bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası bularak başlayın.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} \quad f_{x}(x_0, y_0) = 0 \\ f_{y}(x_0, y_0) = 0 \end{aligned}
İkinci kısmi türev testi bize left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın yerel maksimum, yerel minimum veya eyer noktası olduğunu nasıl belirleyeceğimizi söyler. Bu terimi hesaplayarak başlayın:
H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared
burada start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, end color #bc2612 ve start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, end color #0d923f, f'nin ikinci kısmi türevleridir.
  • Eğer H, is less than, 0 ise, bu durumda f'nin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir minimum veya maksimumu değil, bir eyer noktası vardır.
  • Eğer H, is greater than, 0 ise, bu durumda f kesinlikle left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99'ın işaretine bakmalıyız.
    • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, bu durumda f yerel bir minimuma sahiptir.
    • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0 ise, bu durumda f yerel bir maksimuma sahiptir.
  • Eğer H, equals, 0 ise, f'nin bir yerel minimumu veya maksimumu olduğunu sadece ikinci türev söyleyemez.

Örnek 1: Eyer noktalarının hepsi!

Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
x44x2+y2\begin{aligned} \quad x^4 - 4x^2 + y^2 \end{aligned}
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.

Adım 1: Eyer noktalarının tümünü bulun

Stabil noktalar, her iki kısmi türevin de 0'a eşit olduğu tüm left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis çiftleridir. Önce, her kısmi türevi hesaplayalım.
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Daha sonra, kısmi türevlerin ikisinin de 0'a eşit olduğu tüm left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktalarını bulalım, yani denklem sistemini çözelim.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} \quad f_x(x_0, y_0) &= 0\\ \\ f_y(x_0, y_0) &= 0 \end{aligned}
Aşağıdaki çiftlerden hangisi denklemler sistemini sağlar?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

Başlamak için, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared'nin ikinci kısmi türevlerinin üçünü de bulun.
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, equals
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, equals
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, equals

İkinci kısmi türevinde ilgilendiğimiz ifade
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared
Az önce bulduğumuz ikinci türevleri uygularsak, bu ifade ne hale gelir (x ve y cinsinden bir fonksiyon olarak)?
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, equals

İkinci türev testini uygulamak için, stabil noktalarımızın hepsini bu ifadeye koyarız ve pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.
  • Eyer noktası 1:
    left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da, ifadenin değeri
    24x216=24(0)216=16\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 = 24(0)^2 - 16 = -16 \end{aligned}
    Bu negatiftir, onun için ikinci kısmi türev testine göre, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis noktası
1 cevap seçin:

  • Eyer noktası 2: left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis'da ifade şu hali alır:
    24x216=24(2)216=4816=32\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 &= 24(\sqrt{2})^2 - 16 \\ & = 48 - 16 \\ &= 32 \end{aligned}
    Bu pozitiftir. Ayrıca,
    fxx(2,0)=12(2)28=248=16\begin{aligned} \quad f_{xx}(\sqrt{2}, 0) &= 12(\sqrt{2})^2 - 8 \\ &= 24 - 8 \\ &= 16 \end{aligned}
Buna göre, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktası böyle olmalıdır:
1 cevap seçin:

  • Stabil nokta 3: Aynı diğer stabil noktalarla yaptığımız gibi left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktasını yerine koyabiliriz, ancak ayrıca f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared fonksiyonunun simetrik olduğunu da fark edebiliriz, burada x yerine minus, x koymak aynı ifadeyi verecektir:
    left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, squared, plus, y, squared, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.
    Buna göre, left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktası tam olarak left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis ile aynı davranışa sahip olacaktır.
Buradaki f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis grafiğinin dönerken bir parçasında, iki yerel minimumu ve başlangıç noktasının gerçekten de bir eyer noktası olduğunu görebiliriz.
Khan Akademi video wrapper

Örnek 2: Karmaşıklaşma

Toz pembe göstermeyelim; optimizasyon problemleri çok uzun olabilir. Çok çok uzun.
Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
f(x,y)=x2yy2xx2y2\begin{aligned} \quad f(x, y) = x^2 y - y^2 x - x^2 - y^2 \end{aligned}
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.

Adım 1: Eyer noktalarını bulun

Nerede kısmi türevlerin ikisinin de sıfır olduğunu bulmalıyız, dolayısıyla f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared'nin kısmi türevlerinin ikisini de bularak başlayalım.
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

O zaman denklem sistemini çözmemiz gerekir
2xyy22x=0x22xy2y=0\begin{aligned} \quad 2xy - y^2 - 2x &= 0 \\ x^2 - 2xy - 2y &= 0 \end{aligned}
Gerçek dünyada bir denklem sistemiyle karşılaştığınızda, neredeyse mutlak bir kesinlikle bunu çözmek için bilgisayar kullanırsınız. Bununla birlikte, alıştırma yapmak ve optimizasyon problemlerinin her zaman o kadar kolay olmadığını görmek için, çılgınca bir şey yapalım ve kendimiz hesaplamaya çalışalım.
Genel olarak, bunu şu yolla yapmak isteyebilirsiniz:
  • x cinsinden y'yi elde etmek için denklemlerden birisini çözün.
  • Bunu, sadece x içeren bir denklem elde etmek için diğer ifadeye koyun.
  • x'i bulun.
  • Denklemlerden ikisine de x'in her çözümünü koyarak y'yi bulun.
  • Elde edilen left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis çiftlerinden hangisinin ifadeyi gerçekten çözdüğünü konrol edin.
Bu gerçekten karmaşık olabilir, zira x'i sabit tutarak y'yi bulmak için ikinci dereceden bir formül kullanabilirsiniz ve sonra bu sevimsiz ifadeyi başka bir yere koyabilirsiniz. Aksi takdirde kendinizi 4. dereceden bir denklemi çözerken bulabilirsiniz; bu can sıkıcı olmasının yanısıra oldukça çok sayıda çözümü yerine koymanızı gerektirir.
Bu sistemde denklemler çok simetrik gözükmektedir, bu onları toplamanın/çıkarmanın hayatı kolaylaştırabileceğini belirtir. Gerçekten, eğer bunları toplarsak şunu elde ederiz:
2xyy22x=0+x22xy2y=0x2y22(x+y)=0(x+y)(xy)2(x+y)=0(x+y)(xy2)=0\begin{aligned} \quad 2xy - y^2 - 2x &= 0 \\ + \quad x^2 - 2xy - 2y &= 0 \\ \hline x^2 - y^2 - 2(x+y) &= 0 \\ (x+y)(x-y) - 2(x+y) &= 0 \\ (x+y)(x - y - 2) &= 0 \end{aligned}
Bu denklem x ve y arasındaki ilişkiye dair neyi ima eder? (Her cevabı x ve y değişkenlerini içeren bir denklem olarak ifade edin.)
İkisi de
veya

Bu olasılıkların her birisi x'i y cinsinden yazmamızı sağlar, bu da denklemlerimizden bir tanesini sadece y cinsinden yazmamızı sağlar.
Örneğin, eğer x, equals, minus, y ilişkisini birinci ifade olan 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x'e koyarsanız, sadece y cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde edebilirsiniz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
ve

Bu x, equals, minus, y varsayımından ortaya çıktığı için, x değerleri, sırasıyla, x, equals, minus, 0 ve x, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction olur. Bu bize ilk iki çözüm ikilimizi verir:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end box,
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, end box
Alternatif olarak, x, equals, y, plus, 2 olduğu durumu ele alalım. Gene, bu ilişkiyi 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x ifadesine koyarsak, sadece y cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
ve

Bunları x, equals, y, plus, 2 varsayamına göre bulduğumuz için, x değerleri şöyle olur
x, equals, 2, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, equals, 1, plus, square root of, 5, end square root
x, equals, 2, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, equals, 1, minus, square root of, 5, end square root
Bu, iki çözüm çifti daha verir:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, end box
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, end box.
Artık tüm olasılıkları tükettik, zira başlangıçta x, equals, minus, y veya x, equals, y, plus, 2 olduğunu bulduk ve her varsayımın sonucu olan denklemleri tamamen çözdük.

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

Bir örnek için oldukça fazla iş yaptık ve henüz yarıya bile gelmedik! Şimdi, ikinci türev testini bunlardan her birisine uygulamalıyız. İlk olarak, aşağıdaki fonksiyonumuzun tüm ikinci türevlerini bulalım:
f(x,y)=x2yy2xx2y2\begin{aligned} \quad f(x, y) = x^2 y - y^2 x - x^2 - y^2 \end{aligned}
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #0c7f99
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #bc2612
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #0d923f

İkinci türev testine göre, stabil noktalarımızdan her birisinin bir yerel maksimum veya minimum olduğunu analiz etmek için bunları ifadeye koyarız.
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2\begin{aligned} \quad \blueE{f_{xx}(x, y)} \redE{f_{yy}(x, y)} - (\greenE{f_{xy}(x, y)})^2 \end{aligned}
Az önce bulduğunuz ikinci türevleri uyguladığımızda bu ifade ne olur?

Sadece bu ifadenin pozitif mi, negatif mi olduğuyla ilgilendiğimiz için, biraz sadeleştirmek için her şeyi 4'e bölebiliriz.
left parenthesis, y, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, minus, x, minus, 1, right parenthesis, minus, left parenthesis, x, minus, y, right parenthesis, squared, left arrow, start color gray, start text, o, with, \", on top, n, e, m, l, i, space, i, f, a, d, e, end text, end color gray
Şimdi stabil noktalarımızın her biri için bu ifadenin işaretini görürüz.
  • Eyer noktası left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis:
    left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis noktasında, üstteki önemli ifade
    değerini alır. Bundan vardığımız sonuç, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'ın
    1 cevap seçin:
    Şimdi,
    1 cevap seçin:

  • Eyer noktası left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis:
    left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis'te, yukarıdaki önemli ifadenin değeri
    . Buradan hareketle, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis'ün
    1 cevap seçin:
    Şimdi,
    1 cevap seçin:

  • Eyer noktası left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
    left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis noktasında, üstteki önemli ifadenin değeri,
    olur. Bundan varacağımız sonuç, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis'in
    1 cevap seçin:
    Şimdi,
    1 cevap seçin:

  • Eyer noktası left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
    Buradaki aritmetik bir önceki durumla neredeyse aynıdır.
Burada dönen f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared grafiğinin kısa bir videosu bulunmaktadır, burada üç eyer noktasını ve başlangıç noktasındaki yerel maksimumu görebilirsiniz.
Khan Akademi video wrapper

Kendinizi şımartın

Bunlar oldukça uzun problemler, dolayısıyla eğer gerçekten bunları tamamladıysanız kendinizi yürekten kutlayın!