Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3
Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)Örnekler: İkinci kısmi türev testi
İkinci kısmi türev testini kullanarak alıştırma yapın
Arka plan
Zorlanmaya hazırlanın
Sizin için zor bir görevim var.
Bu makalede, çok değişkenli fonksiyonlarda maksimumu ve minimumu bulmaya ilişkin iki örneği ele alacağız. Modern uygulamalarda, bu tür problemleri çözmenin çoğu adımı bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilecektir. Bununla birlikte, ikinci kısmi türev testinin nasıl kullanıldığını gerçekten anladığınızı test etmenin tek yolu, bunu en az bir kere sizin yapmanızdır.
Ne de olsa, günün birinde bir bilgisayara bunu nasıl yapacağını söyleyen bir program yazmanız gerekebilir ve bu ilgili tüm adımlar hakkında bilgi sahibi olmanızı gerektirecektir. Ayrıca, bu kısmi türevler konusunda akıcı şekilde işlem yapabilmenin iyi bir yoludur.
Dolayısıyla size önerim şudur: anlayıp anlamadığınızı test etmek için, makalede ilerlerken her adımda cevabı girmeyi deneyin.
İkinci kısmi türev testinin ifadesi (referans için)
f'nin kısmi türevlerinin ikisinin de 0'a eşit olduğu bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası bularak başlayın.
İkinci kısmi türev testi bize left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ın yerel maksimum, yerel minimum veya eyer noktası olduğunu nasıl belirleyeceğimizi söyler. Bu terimi hesaplayarak başlayın:
burada start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, end color #bc2612 ve start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, end color #0d923f, f'nin ikinci kısmi türevleridir.
- Eğer H, is less than, 0 ise, bu durumda f'nin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir minimum veya maksimumu değil, bir eyer noktası vardır.
- Eğer H, is greater than, 0 ise, bu durumda f kesinlikle left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99'ın işaretine bakmalıyız.
- Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, bu durumda f yerel bir minimuma sahiptir.
- Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0 ise, bu durumda f yerel bir maksimuma sahiptir.
- Eğer H, equals, 0 ise, f'nin bir yerel minimumu veya maksimumu olduğunu sadece ikinci türev söyleyemez.
Örnek 1: Eyer noktalarının hepsi!
Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.
Adım 1: Eyer noktalarının tümünü bulun
Stabil noktalar, her iki kısmi türevin de 0'a eşit olduğu tüm left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis çiftleridir. Önce, her kısmi türevi hesaplayalım.
Daha sonra, kısmi türevlerin ikisinin de 0'a eşit olduğu tüm left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktalarını bulalım, yani denklem sistemini çözelim.
Aşağıdaki çiftlerden hangisi denklemler sistemini sağlar?
Adım 2: İkinci türev testini uygulayın
Başlamak için, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared'nin ikinci kısmi türevlerinin üçünü de bulun.
İkinci kısmi türevinde ilgilendiğimiz ifade
Az önce bulduğumuz ikinci türevleri uygularsak, bu ifade ne hale gelir (x ve y cinsinden bir fonksiyon olarak)?
İkinci türev testini uygulamak için, stabil noktalarımızın hepsini bu ifadeye koyarız ve pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.
- Eyer noktası 1:left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da, ifadenin değeriBu negatiftir, onun için ikinci kısmi türev testine göre, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis noktası
- Eyer noktası 2: left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis'da ifade şu hali alır:Bu pozitiftir. Ayrıca,
Buna göre, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktası böyle olmalıdır:
- Stabil nokta 3: Aynı diğer stabil noktalarla yaptığımız gibi left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktasını yerine koyabiliriz, ancak ayrıca f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared fonksiyonunun simetrik olduğunu da fark edebiliriz, burada x yerine minus, x koymak aynı ifadeyi verecektir:left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, squared, plus, y, squared, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.Buna göre, left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktası tam olarak left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis ile aynı davranışa sahip olacaktır.
Buradaki f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis grafiğinin dönerken bir parçasında, iki yerel minimumu ve başlangıç noktasının gerçekten de bir eyer noktası olduğunu görebiliriz.
Örnek 2: Karmaşıklaşma
Toz pembe göstermeyelim; optimizasyon problemleri çok uzun olabilir. Çok çok uzun.
Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.
Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.
Adım 1: Eyer noktalarını bulun
Nerede kısmi türevlerin ikisinin de sıfır olduğunu bulmalıyız, dolayısıyla f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared'nin kısmi türevlerinin ikisini de bularak başlayalım.
O zaman denklem sistemini çözmemiz gerekir
Gerçek dünyada bir denklem sistemiyle karşılaştığınızda, neredeyse mutlak bir kesinlikle bunu çözmek için bilgisayar kullanırsınız. Bununla birlikte, alıştırma yapmak ve optimizasyon problemlerinin her zaman o kadar kolay olmadığını görmek için, çılgınca bir şey yapalım ve kendimiz hesaplamaya çalışalım.
Genel olarak, bunu şu yolla yapmak isteyebilirsiniz:
- x cinsinden y'yi elde etmek için denklemlerden birisini çözün.
- Bunu, sadece x içeren bir denklem elde etmek için diğer ifadeye koyun.
- x'i bulun.
- Denklemlerden ikisine de x'in her çözümünü koyarak y'yi bulun.
- Elde edilen left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis çiftlerinden hangisinin ifadeyi gerçekten çözdüğünü konrol edin.
Bu gerçekten karmaşık olabilir, zira x'i sabit tutarak y'yi bulmak için ikinci dereceden bir formül kullanabilirsiniz ve sonra bu sevimsiz ifadeyi başka bir yere koyabilirsiniz. Aksi takdirde kendinizi 4. dereceden bir denklemi çözerken bulabilirsiniz; bu can sıkıcı olmasının yanısıra oldukça çok sayıda çözümü yerine koymanızı gerektirir.
Bu sistemde denklemler çok simetrik gözükmektedir, bu onları toplamanın/çıkarmanın hayatı kolaylaştırabileceğini belirtir. Gerçekten, eğer bunları toplarsak şunu elde ederiz:
Bu denklem x ve y arasındaki ilişkiye dair neyi ima eder? (Her cevabı x ve y değişkenlerini içeren bir denklem olarak ifade edin.)
Bu olasılıkların her birisi x'i y cinsinden yazmamızı sağlar, bu da denklemlerimizden bir tanesini sadece y cinsinden yazmamızı sağlar.
Örneğin, eğer x, equals, minus, y ilişkisini birinci ifade olan 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x'e koyarsanız, sadece y cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde edebilirsiniz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
Bu x, equals, minus, y varsayımından ortaya çıktığı için, x değerleri, sırasıyla, x, equals, minus, 0 ve x, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction olur. Bu bize ilk iki çözüm ikilimizi verir:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end box,
Alternatif olarak, x, equals, y, plus, 2 olduğu durumu ele alalım. Gene, bu ilişkiyi 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x ifadesine koyarsak, sadece y cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?
Bunları x, equals, y, plus, 2 varsayamına göre bulduğumuz için, x değerleri şöyle olur
Bu, iki çözüm çifti daha verir:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, end box.
Artık tüm olasılıkları tükettik, zira başlangıçta x, equals, minus, y veya x, equals, y, plus, 2 olduğunu bulduk ve her varsayımın sonucu olan denklemleri tamamen çözdük.
Adım 2: İkinci türev testini uygulayın
Bir örnek için oldukça fazla iş yaptık ve henüz yarıya bile gelmedik! Şimdi, ikinci türev testini bunlardan her birisine uygulamalıyız. İlk olarak, aşağıdaki fonksiyonumuzun tüm ikinci türevlerini bulalım:
İkinci türev testine göre, stabil noktalarımızdan her birisinin bir yerel maksimum veya minimum olduğunu analiz etmek için bunları ifadeye koyarız.
Az önce bulduğunuz ikinci türevleri uyguladığımızda bu ifade ne olur?
Sadece bu ifadenin pozitif mi, negatif mi olduğuyla ilgilendiğimiz için, biraz sadeleştirmek için her şeyi 4'e bölebiliriz.
Şimdi stabil noktalarımızın her biri için bu ifadenin işaretini görürüz.
- Eyer noktası left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis:
- Eyer noktası left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis:
- Eyer noktası left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
- Eyer noktası left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:Buradaki aritmetik bir önceki durumla neredeyse aynıdır.
Burada dönen f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared grafiğinin kısa bir videosu bulunmaktadır, burada üç eyer noktasını ve başlangıç noktasındaki yerel maksimumu görebilirsiniz.
Kendinizi şımartın
Bunlar oldukça uzun problemler, dolayısıyla eğer gerçekten bunları tamamladıysanız kendinizi yürekten kutlayın!
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.