Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)

Örnekler: İkinci kısmi türev testi

Google Classroom

İkinci kısmi türev testini kullanarak alıştırma yapın

Arka plan

İkinci kısmi türev testi

Zorlanmaya hazırlanın

Sizin için zor bir görevim var.

Bu makalede, çok değişkenli fonksiyonlarda maksimumu ve minimumu bulmaya ilişkin iki örneği ele alacağız. Modern uygulamalarda, bu tür problemleri çözmenin çoğu adımı bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilecektir. Bununla birlikte, ikinci kısmi türev testinin nasıl kullanıldığını gerçekten anladığınızı test etmenin tek yolu, bunu en az bir kere sizin yapmanızdır.

Ne de olsa, günün birinde bir bilgisayara bunu nasıl yapacağını söyleyen bir program yazmanız gerekebilir ve bu ilgili tüm adımlar hakkında bilgi sahibi olmanızı gerektirecektir. Ayrıca, bu kısmi türevler konusunda akıcı şekilde işlem yapabilmenin iyi bir yoludur.

Dolayısıyla size önerim şudur: anlayıp anlamadığınızı test etmek için, makalede ilerlerken her adımda cevabı girmeyi deneyin.

İkinci kısmi türev testinin ifadesi (referans için)

f

'nin kısmi türevlerinin ikisinin de

0

'a eşit olduğu bir

(x_{0}, y_{0})

noktası bularak başlayın.

\begin{array}{r} f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0 \end{array}

İkinci kısmi türev testi bize

(x_{0}, y_{0})

'ın yerel maksimum, yerel minimum veya eyer noktası olduğunu nasıl belirleyeceğimizi söyler. Bu terimi hesaplayarak başlayın:

$H = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - (f_{x y} (x_{0}, y_{0}))^{2}$ ‍

burada

f_{x x}

f_{y y}

f_{x y}

f

'nin ikinci kısmi türevleridir.

Eğer $H < 0$ ‍ ise, bu durumda $f$ ‍'nin $(x_{0}, y_{0})$ ‍'da bir minimum veya maksimumu değil, bir eyer noktası vardır.
[Resim]
Eğer $H > 0$ ‍ ise, bu durumda $f$ ‍ kesinlikle $(x_{0}, y_{0})$ ‍'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için $f_{x x} (x_{0}, y_{0})$ ‍'ın işaretine bakmalıyız.
- Eğer $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍ ise, bu durumda $f$ ‍ yerel bir minimuma sahiptir.
  [Resim]
- Eğer $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) < 0$ ‍ ise, bu durumda $f$ ‍ yerel bir maksimuma sahiptir.
  [Resim]
Eğer $H = 0$ ‍ ise, $f$ ‍'nin bir yerel minimumu veya maksimumu olduğunu sadece ikinci türev söyleyemez.

Örnek 1: Eyer noktalarının hepsi!

Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.

\begin{array}{r} x^{4} - 4 x^{2} + y^{2} \end{array}

Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.

Adım 1: Eyer noktalarının tümünü bulun

Stabil noktalar, her iki kısmi türevin de

0

'a eşit olduğu tüm

(x_{0}, y_{0})

çiftleridir. Önce, her kısmi türevi hesaplayalım.

f_{x} (x, y) =

f_{y} (x, y) =

[Cevap]

Daha sonra, kısmi türevlerin ikisinin de

0

'a eşit olduğu tüm

(x_{0}, y_{0})

noktalarını bulalım, yani denklem sistemini çözelim.

\begin{aligned} f_{x} (x_{0}, y_{0}) & = 0 \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) & = 0 \end{aligned}

Aşağıdaki çiftlerden hangisi denklemler sistemini sağlar?

[Cevap]

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

Başlamak için,

f (x, y) = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}

'nin ikinci kısmi türevlerinin üçünü de bulun.

$f_{x x} (x, y) =$ ‍
$f_{y y} (x, y) =$ ‍
$f_{x y} (x, y) =$ ‍

[Cevap]

İkinci kısmi türevinde ilgilendiğimiz ifade

$f_{x x} (x, y) f_{y y} (x, y) - (f_{x y} (x, y))^{2}$ ‍

Az önce bulduğumuz ikinci türevleri uygularsak, bu ifade ne hale gelir (

x

y

cinsinden bir fonksiyon olarak)?

$f_{x x} (x, y) f_{y y} (x, y) - (f_{x y} (x, y))^{2} =$ ‍

[Cevap]

İkinci türev testini uygulamak için, stabil noktalarımızın hepsini bu ifadeye koyarız ve pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.

Eyer noktası 1:
$(x, y) = (0, 0)$ ‍'da, ifadenin değeri
$\begin{array}{r} 24 x^{2} - 16 = 24 (0)^{2} - 16 = - 16 \end{array}$ ‍
Bu negatiftir, onun için ikinci kısmi türev testine göre, $(0, 0)$ ‍ noktası

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Eyer noktası
(B şıkkı)
Yerel maksimum
(C şıkkı)
Yerel minimum

Eyer noktası 2: $(x_{0}, y_{0}) = (\sqrt{2}, 0)$ ‍'da ifade şu hali alır:
$\begin{aligned} 24 x^{2} - 16 & = 24 (\sqrt{2})^{2} - 16 \\ = 48 - 16 \\ = 32 \end{aligned}$ ‍
Bu pozitiftir. Ayrıca,
$\begin{aligned} f_{x x} (\sqrt{2}, 0) & = 12 (\sqrt{2})^{2} - 8 \\ = 24 - 8 \\ = 16 \end{aligned}$ ‍

Buna göre,

(\sqrt{2}, 0)

noktası böyle olmalıdır:

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Eyer noktası
(B şıkkı)
Yerel maksimum
(C şıkkı)
Yerel minimum

Stabil nokta 3: Aynı diğer stabil noktalarla yaptığımız gibi $(- \sqrt{2}, 0)$ ‍ noktasını yerine koyabiliriz, ancak ayrıca $f (x, y) = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}$ ‍ fonksiyonunun simetrik olduğunu da fark edebiliriz, burada $x$ ‍ yerine $- x$ ‍ koymak aynı ifadeyi verecektir:
$(- x)^{4} - 4 (- x)^{2} + y^{2} = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}$ ‍.
Buna göre, $(- \sqrt{2}, 0)$ ‍ noktası tam olarak $(\sqrt{2}, 0)$ ‍ ile aynı davranışa sahip olacaktır.

Buradaki

f (x, y)

grafiğinin dönerken bir parçasında, iki yerel minimumu ve başlangıç noktasının gerçekten de bir eyer noktası olduğunu görebiliriz.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Örnek 2: Karmaşıklaşma

Toz pembe göstermeyelim; optimizasyon problemleri çok uzun olabilir. Çok çok uzun.

Problem: Fonksiyonun eyer noktalarının (kritik noktalar olarak da adlandırılırlar) tümünü bulun.

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2} \end{array}

Her birinin yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa bir eyer noktası mı verdiğini belirleyin.

Adım 1: Eyer noktalarını bulun

Nerede kısmi türevlerin ikisinin de sıfır olduğunu bulmalıyız, dolayısıyla

f (x, y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2}

'nin kısmi türevlerinin ikisini de bularak başlayalım.

f_{x} (x, y) =

f_{y} (x, y) =

[Cevap]

O zaman denklem sistemini çözmemiz gerekir

\begin{aligned} 2 x y - y^{2} - 2 x & = 0 \\ x^{2} - 2 x y - 2 y & = 0 \end{aligned}

Gerçek dünyada bir denklem sistemiyle karşılaştığınızda, neredeyse mutlak bir kesinlikle bunu çözmek için bilgisayar kullanırsınız. Bununla birlikte, alıştırma yapmak ve optimizasyon problemlerinin her zaman o kadar kolay olmadığını görmek için, çılgınca bir şey yapalım ve kendimiz hesaplamaya çalışalım.

Genel olarak, bunu şu yolla yapmak isteyebilirsiniz:

$x$ ‍ cinsinden $y$ ‍'yi elde etmek için denklemlerden birisini çözün.
Bunu, sadece $x$ ‍ içeren bir denklem elde etmek için diğer ifadeye koyun.
$x$ ‍'i bulun.
Denklemlerden ikisine de $x$ ‍'in her çözümünü koyarak $y$ ‍'yi bulun.
Elde edilen $(x, y)$ ‍ çiftlerinden hangisinin ifadeyi gerçekten çözdüğünü konrol edin.

Bu gerçekten karmaşık olabilir, zira

x

'i sabit tutarak

y

'yi bulmak için ikinci dereceden bir formül kullanabilirsiniz ve sonra bu sevimsiz ifadeyi başka bir yere koyabilirsiniz. Aksi takdirde kendinizi

4

. dereceden bir denklemi çözerken bulabilirsiniz; bu can sıkıcı olmasının yanısıra oldukça çok sayıda çözümü yerine koymanızı gerektirir.

Bu sistemde denklemler çok simetrik gözükmektedir, bu onları toplamanın/çıkarmanın hayatı kolaylaştırabileceğini belirtir. Gerçekten, eğer bunları toplarsak şunu elde ederiz:

\begin{aligned} 2 x y - y^{2} - 2 x & = 0 \\ + x^{2} - 2 x y - 2 y & = 0 \\ x^{2} - y^{2} - 2 (x + y) & = 0 \\ (x + y) (x - y) - 2 (x + y) & = 0 \\ (x + y) (x - y - 2) & = 0 \end{aligned}

Bu denklem

x

y

arasındaki ilişkiye dair neyi ima eder? (Her cevabı

x

y

değişkenlerini içeren bir denklem olarak ifade edin.)

İkisi de

veya

[Cevap]

Bu olasılıkların her birisi

x

y

cinsinden yazmamızı sağlar, bu da denklemlerimizden bir tanesini sadece

y

cinsinden yazmamızı sağlar.

Örneğin, eğer

x = - y

ilişkisini birinci ifade olan

2 x y - y^{2} - 2 x

'e koyarsanız, sadece

y

cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde edebilirsiniz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?

[Cevap]

x = - y

varsayımından ortaya çıktığı için,

x

değerleri, sırasıyla,

x = - 0

x = - \frac{2}{3}

olur. Bu bize ilk iki çözüm ikilimizi verir:

(x, y) = (0, 0)

(x, y) = (- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

Alternatif olarak,

x = y + 2

olduğu durumu ele alalım. Gene, bu ilişkiyi

2 x y - y^{2} - 2 x

ifadesine koyarsak, sadece

y

cinsinden ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadenin kökleri nelerdir?

[Cevap]

Bunları

x = y + 2

varsayamına göre bulduğumuz için,

x

değerleri şöyle olur

x = 2 - 1 + \sqrt{5} = 1 + \sqrt{5}

x = 2 - 1 - \sqrt{5} = 1 - \sqrt{5}

Bu, iki çözüm çifti daha verir:

(x, y) = (1 + \sqrt{5}, - 1 + \sqrt{5})

(x, y) = (1 - \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5})

Artık tüm olasılıkları tükettik, zira başlangıçta

x = - y

veya

x = y + 2

olduğunu bulduk ve her varsayımın sonucu olan denklemleri tamamen çözdük.

Kendinizi şımartın

Bunlar oldukça uzun problemler, dolayısıyla eğer gerçekten bunları tamamladıysanız kendinizi yürekten kutlayın!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.