Örnekler: İkinci kısmi türev testi

Arka plan

• İkinci kısmi türev testi

Zorlanmaya hazırlanın

İkinci kısmi türev testinin ifadesi (referans için)

• Eğer $H < 0$H, is less than, 0 ise, bu durumda $f$f'nin $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir minimum veya maksimumu değil, bir eyer noktası vardır.

  [Resim]
• Eğer $H > 0$H, is greater than, 0 ise, bu durumda $f$f kesinlikle $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için $\blueE{f_{xx}(x_0, y_0)}$start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99'ın işaretine bakmalıyız.
  • Eğer $\blueE{f_{xx}(x_0, y_0)} > 0$start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, bu durumda $f$f yerel bir minimuma sahiptir.
    [Resim]
  • Eğer $\blueE{f_{xx}(x_0, y_0)} < 0$start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0 ise, bu durumda $f$f yerel bir maksimuma sahiptir.
    [Resim]
• Eğer $H = 0$H, equals, 0 ise, $f$f'nin bir yerel minimumu veya maksimumu olduğunu sadece ikinci türev söyleyemez.

Örnek 1: Eyer noktalarının hepsi!

Adım 1: Eyer noktalarının tümünü bulun

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

$\blueE{f_{xx}(x, y)} =$start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, equals

$\redE{f_{yy}(x, y)} =$start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, equals

$\greenE{f_{xy}(x, y)} =$start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, equals

Kontrol et

[Cevap]

$\blueE{f_{xx}(x, y)} \redE{f_{yy}(x, y)} - (\greenE{f_{xy}(x, y)})^2 =$start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, equals

Kontrol et

[Cevap]

• Eyer noktası 1:
  $(x, y) = (0, 0)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da, ifadenin değeri
  $\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 = 24(0)^2 - 16 = -16 \end{aligned}$
  Bu negatiftir, onun için ikinci kısmi türev testine göre, $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis noktası

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  Eyer noktası

  A

  Eyer noktası
• (B şıkkı)  

  Yerel maksimum

  B

  Yerel maksimum
• (C şıkkı)  

  Yerel minimum

  C

  Yerel minimum

Kontrol et

• Eyer noktası 2: $(x_0, y_0) = (\sqrt{2}, 0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis'da ifade şu hali alır:
  $\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 &= 24(\sqrt{2})^2 - 16 \\ & = 48 - 16 \\ &= 32 \end{aligned}$
  Bu pozitiftir. Ayrıca,
  $\begin{aligned} \quad f_{xx}(\sqrt{2}, 0) &= 12(\sqrt{2})^2 - 8 \\ &= 24 - 8 \\ &= 16 \end{aligned}$

1 cevap seçin:

1 cevap seçin:

• (A şıkkı)  

  Eyer noktası

  A

  Eyer noktası
• (B şıkkı)  

  Yerel maksimum

  B

  Yerel maksimum
• (C şıkkı)  

  Yerel minimum

  C

  Yerel minimum

Kontrol et

• Stabil nokta 3: Aynı diğer stabil noktalarla yaptığımız gibi $(-\sqrt{2}, 0)$left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktasını yerine koyabiliriz, ancak ayrıca $f(x, y) = x^4 - 4x^2 + y^2$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared fonksiyonunun simetrik olduğunu da fark edebiliriz, burada $x$x yerine $-x$minus, x koymak aynı ifadeyi verecektir:

  $(-x)^4 - 4(-x)^2 + y^2 = x^4 - 4x^2 + y^2$left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, squared, plus, y, squared, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.

  Buna göre, $(-\sqrt{2}, 0)$left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis noktası tam olarak $(\sqrt{2}, 0)$left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis ile aynı davranışa sahip olacaktır.

Örnek 2: Karmaşıklaşma

Adım 1: Eyer noktalarını bulun

• $x$x cinsinden $y$y'yi elde etmek için denklemlerden birisini çözün.
• Bunu, sadece $x$x içeren bir denklem elde etmek için diğer ifadeye koyun.
• $x$x'i bulun.
• Denklemlerden ikisine de $x$x'in her çözümünü koyarak $y$y'yi bulun.
• Elde edilen $(x, y)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis çiftlerinden hangisinin ifadeyi gerçekten çözdüğünü konrol edin.

Adım 2: İkinci türev testini uygulayın

• Eyer noktası $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis:
  $(x, y) = (0, 0)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis noktasında, üstteki önemli ifade

  değerini alır. Bundan vardığımız sonuç, $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'ın

  1 cevap seçin:

  1 cevap seçin:

  • (A şıkkı)  

    eyer noktası.

    A

    eyer noktası.
  • (B şıkkı)  

    ya yerel maksimum noktasıdır, ya da yerel minimum noktası.

    B

    ya yerel maksimum noktasıdır, ya da yerel minimum noktası.

  Şimdi,

  1 cevap seçin:

  1 cevap seçin:

  • (A şıkkı)  

    İşimiz biter.

    A

    İşimiz biter.
  • (B şıkkı)  

    $f_{xx}(0, 0) = 2(0) - 2 = - 2$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, 0, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, 2'yi hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel maksimumu olduğu sonucuna varırız

    B

    $f_{xx}(0, 0) = 2(0) - 2 = - 2$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, 0, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, 2'yi hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel maksimumu olduğu sonucuna varırız
  • (C şıkkı)  

    $f_{xx}(0, 0) = 2(0) - 2 = - 2$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, 0, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, 2'yi hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel minimumu olduğu sonucuna varırız

    C

    $f_{xx}(0, 0) = 2(0) - 2 = - 2$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, 0, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, 2'yi hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel minimumu olduğu sonucuna varırız

  Kontrol et
  [Cevap]
• Eyer noktası $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis:
  $(x, y) =\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis'te, yukarıdaki önemli ifadenin değeri

  . Buradan hareketle, $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis'ün

  1 cevap seçin:

  1 cevap seçin:

  • (A şıkkı)  

    eyer noktası.

    A

    eyer noktası.
  • (B şıkkı)  

    ya yerel maksimum noktasıdır, ya da yerel minimum noktası.

    B

    ya yerel maksimum noktasıdır, ya da yerel minimum noktası.

  Şimdi,

  1 cevap seçin:

  1 cevap seçin:

  • (A şıkkı)  

    İşimiz biter.

    A

    İşimiz biter.
  • (B şıkkı)  

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel maksimumu olduğu sonucuna varırız

    B

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel maksimumu olduğu sonucuna varırız
  • (C şıkkı)  

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel minimumu olduğu sonucuna varırız

    C

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel minimumu olduğu sonucuna varırız

  Kontrol et
  [Cevap]
• Eyer noktası $(1 + \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
  $(x, y) =\left(1+\sqrt{5}, -1+\sqrt{5}\right)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis noktasında, üstteki önemli ifadenin değeri,

  olur. Bundan varacağımız sonuç, $\left(1+\sqrt{5}, -1+\sqrt{5}\right)$left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis'in

  1 cevap seçin:

  1 cevap seçin:

  • (A şıkkı)  

    eyer noktası.

    A

    eyer noktası.
  • (B şıkkı)  

    ya yerel maksimum noktasıdır, ya da yerel minimum noktası.

    B

    ya yerel maksimum noktasıdır, ya da yerel minimum noktası.

  Şimdi,

  1 cevap seçin:

  1 cevap seçin:

  • (A şıkkı)  

    İşimiz biter.

    A

    İşimiz biter.
  • (B şıkkı)  

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel maksimumu olduğu sonucuna varırız

    B

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel maksimumu olduğu sonucuna varırız
  • (C şıkkı)  

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel minimumu olduğu sonucuna varırız

    C

    $f_{xx}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right )- 2 = -\frac{2}{3}$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, minus, 2, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction'ü hesaplarız ve $f$f'nin $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir yerel minimumu olduğu sonucuna varırız

  Kontrol et
  [Cevap]
• Eyer noktası $(1 - \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5})$left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
  Buradaki aritmetik bir önceki durumla neredeyse aynıdır.

  [Veya, aklımızı kullanabiliriz]

Kendinizi şımartın