If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türev Uygulamaları
Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci kısmi türev testinin ardındaki mantık

Google Classroom
İkinci kısmi türevin neden işe yaradığını görmek isteyenler için, burada bir ispatı ele alacağım.

Arka plan

Son makalede, ikinci kısmi türev testinin ifadesini verdim, ama neden doğru olduğuna dair zayıf bir açıklama yaptım. Bu makale matematiğe daha derin dalmak isteyenler içindir, ama sadece ikinci türev testini uygulamak isterseniz, kesinlikle şart değildir.

Neye ulaşıyoruz

  • Çok değişkenli bir fonksiyonun bir eyer noktasının yerel bir minimum/maksimum olup olmadığını test etmek için, fonksiyonun o noktadaki ikinci dereceden kestirimine bakın. Bu ikinci dereceden kestirimin maksimumu/minimumu olup olmadığını analiz etmek daha kolaydır.
  • İki değişkenli fonksiyonlar için, bu aşağıdaki gibi bir ifadeyi incelemek anlamına gelir:
    start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared
    Bunlar ikinci dereceden formlar olarak bilinir. İkinci dereceden bir formun daima pozitif veya daima negatif olmasını belirleyen kural, ikinci kısmi türev testi için de geçerlidir.

İkinci dereceden yakınsama için tek değişkenli durum

Öncelikle, tek değişkenli ikinci türev testinin işe yaramasının arkasındaki biçimsel mantığın üzerinde durmak istiyorum. Biçimsel derken, içbükeylik kavramını daha iyi kavramaktan bahsediyorum.
Tek değişkenli analizde, herhangi bir f fonksiyonu ve herhangi bir a girdisi için f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0 olduğunda, ikinci türev testi böyle gözükür:
  • f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is less than, 0 ise, f'nin a'da yerel maksimumu vardır
  • Eğer f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is greater than, 0 ise, f'nin a'da yerel maksimumu vardır
  • Eğer f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0 ise, f'nin a'da bir maksimumu, bir minimumu veya bir büküm noktası olduğunu sadece ikinci türev belirleyemez.
Testin neden işe yaradığını anlamak için, fonksiyonu kestirmeye ikinci dereceden bir terime kadar bir taylor polinomu ile yakınsamayla başlayın, buna ikinci dereceden kestirim de denir.
f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12f′′(a)(x−a)2\begin{aligned} \quad f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2 \end{aligned}
f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0 olduğundan, bu ikinci dereceden yakınsama şöyle sadeleşir:
f(a)+12f′′(a)(x−a)2\begin{aligned} \quad f(a) + \dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2 \end{aligned}
Yerel minimumda ikinci dereceden yakınsama.
Yerel minimumda ikinci dereceden yakınsama.
Dikkat ederseniz, tüm olası x'ler için left parenthesis, x, minus, a, right parenthesis, squared, is greater than, 0'dır çünkü kareler hep pozitiftir. Bu basit bilgi, bilmek istediğimiz her şeyi bize verir! Neden?
Buna göre, f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is greater than, 0 olduğunda, yakınsamayı şöyle okuyabiliriz:
f(a)+12f′′(a)(x−a)2⏟Bu tu¨m x deg˘erleri için ≥0’dırve sadece x=a oldug˘unda 0’a eşittir\begin{aligned} \quad f(a) + \underbrace{ \blueE{\dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2} }_{\substack{ \text{Bu tüm $x$ değerleri için $\ge 0$'dır} \\ \text{ve sadece $x=a$ olduğunda $0$'a eşittir} }} \end{aligned}
Böylece, a yakınsamamızın yerel bir minimumudur. Aslında, mutlak bir minimumdur, ama biz sadece yerel bir minimum olması bilgisiyle ilgileniyoruz. Bir fonksiyonun ikinci dereceden yakınsamasının yakınsama noktasında yerel bir minimumu varsa, fonksiyonun kendisinin de burada yerel minimumu vardır. Bununla ilgili daha fazlasını son bölümde söyleyeceğim, ama şimdilik fonksiyon ve yakınsaması yakınsama noktası a etrafında birbirine "sarıldığı" için sezgi açık olmalıdır.
Yerel maksimumda ikinci dereceden yakınsama
Yerel maksimumda ikinci dereceden yakınsama
Benzer şekilde, f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is less than, 0 ise, bu yakınsamayı şöyle okuyabiliriz
f(a)+12f′′(a)(x−a)2⏟Bu tu¨m x deg˘erleri için ≤0’dırve sadece x=a oldug˘unda 0’a eşittir\begin{aligned} \quad f(a) + \underbrace{ \redD{\dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2} }_{\substack{ \text{Bu tüm $x$ değerleri için $\le 0$'dır} \\ \text{ve sadece $x=a$ olduğunda $0$'a eşittir} }} \end{aligned}
Bu durumda, yakınsamaların x, equals, a'da yerel bir maksimumu bulunur, bu da fonksiyonun orada yerel bir maksimumu olduğunu belirtir.
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
Dönüm noktasında ikinci dereceden yakınsama düzdür.
Dönüm noktasında ikinci dereceden yakınsama düzdür.
f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0 olduğunda, ikinci dereceden kestirimimiz daima f, left parenthesis, a, right parenthesis sabitine eşittir, yani fonksiyonumuz sadece ikinci türevle analiz edilebilmek için çok düzdür.
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
Bundan ne çıkarırız:
f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0 olduğunda, f'nin a'da bir yerel maksimumu veya bir yerel minimumu olduğunu incelemek, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, a, right parenthesis, squared Taylor kestiriminin ikinci dereceden teriminin daima pozitif veya daima negatif olmasıyla bağlantılıdır.

İki değişkenli durum, görsel ısınma

Şimdi iki girdisi ve bir çıktısı olan bir f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonunu düşünün ve bir stabil nokta yani her iki kısmi türevinin de 0 olduğu bir nokta bulun,
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} \quad f_x(x_0, y_0) = 0 \\ f_y(x_0, y_0) = 0 \\ \end{aligned}
bunu daha kısa olarak şöyle yazarız
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text, left arrow, start color gray, start text, S, ı, f, ı, r, space, v, e, k, t, o, with, \", on top, r, u, with, \", on top, end text, end color gray
Teğet düzlem
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'daki teğet düzlemin düz olduğunu belirtir.
Bunun bir yerel maksimum veya bir yerel minimum olduğunu veya ikisi de olmadığını belirlemek için, bunun ikinci dereceden kestirimine bakarız. Yapmak istediğimizin ön gösterimiyle başlayalım:
  • Eğer bu noktadaki ikinci dereceden kestirim bir içbükey paraboloid ise, f'nin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis kritik noktasında bir yerel minimumu olacaktır.
    Yerel min
  • Eğer ikinci dereceden kestirim bir dışbükey paraboloid ise, f burada bir yerel maksimuma sahip olacaktır:
    Yerel maks
  • Eğer ikinci dereceden kestirim eyer şekline sahipse, f'nin maksimumu veya minimumu yoktur, ancak bir eyer noktası vardır.
    Eyer noktası
  • Eğer ikinci dereceden kestirim bir yönde veya tüm yönlerde düz ise, f hakkında sonuçlara varmak için yeterli bilgimiz yoktur.
    İkinci dereceden yakınsama bir yönde düzdür.
    İkinci dereceden yakınsama sabittir.

İkinci dereceden yakınsamanın analizi

f'nin ikinci dereceden kestirim formülü şöyledir:
Q, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, S, a, b, i, t, end text, end subscript, plus, start underbrace, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, dot, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, D, o, g, with, \u, on top, r, u, s, a, l, space, t, e, r, i, m, end text, end subscript, plus, start underbrace, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript, start bold text, H, end bold text, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, I, with, \., on top, k, i, n, c, i, space, d, e, r, e, c, e, d, e, n, space, t, e, r, i, m, end text, end subscript
Gradyanın sıfır olduğu noktalarla ilgilendiğimiz için, gradyan teriminden kurtulabiliriz:
Q, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript, start bold text, H, end bold text, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Bunu iki-değişkenli terime açmak için, Hesyan terimi açalım,
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(x−x0)2+fxy(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+12fyy(x0,y0)(y−y0)2\begin{aligned} \quad Q_f(x, y) &= f(x_0, y_0) + \\ \\ &\quad {\dfrac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0)}(x-x_0)^2 + \\ \\ &\quad {f_{xy}(x_0, y_0)}(x-x_0)(y-y_0) + \\ \\ &\quad {\dfrac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0)}(y-y_0)^2 \end{aligned}
(Not: Eğer bu kestirim veya gösterimlerden herhangi birisi aklınıza takılıyor ise veya konuyu bilmiyorsanız, ikinci dereceden kestirimler konulu makaleyi okumanızı öneririz).
Tek değişkenli durumda gösterdiğim gibi, bu kestirimin ikinci dereceden teriminin daima pozitif veya daima negatif olup olmadığını incelemek istiyoruz.
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(x−x0)2+fxy(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+12fyy(x0,y0)(y−y0)2}Daima ≥0 mıdır?Daima ≤0 mıdır?I˙kisi de olabilir mi?\begin{aligned} \quad Q_f(x, y) &= f(x_0, y_0) + \\ &\left. \begin{array}{c} \blueE{\dfrac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0)(x-x_0)^2 +} \\ \\ \qquad \greenE{f_{xy}(x_0, y_0)(x-x_0)(y-y_0) +} \\ \\ \redE{\dfrac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0)(y-y_0)^2} \quad \end{array} \right\} \substack{ \text{Daima $\ge 0$ mıdır?} \\ \text{Daima $\le 0$ mıdır?} \\ \text{İkisi de olabilir mi?} } \end{aligned}
Şu anda, bu terimi yazmak çok uzun sürer, ama özünü damıtmak için aşağıdaki formdaki ifadeleri inceleyebiliriz:
ax2+2bxy+cy2\begin{aligned} \quad \blueE{a}x^2 + 2\greenE{b}xy + \redE{c}y^2 \end{aligned}
Bu ifadelere fiyakalı bir şekilde "ikinci dereceden formlar" denir.
  • "İkinci dereceden" sözcüğü, terimlerin ikinci dereceden olduğunu, yani iki değişkenin çarpımıyla ilgili olduğunu belirtir.
  • Burada "form" sözcüğü hep beni şaşırtmıştır ve ikinci dereceden form fikrinin kulağa olduğundan daha karmaşık gelmesine neden olur. Matematikçiler tüm terimlerin 2. mertebeden olduğunu ve ifadeyi karıştıran doğrusal veya sabit terimler olmadığını vurgulamak için "ikinci dereceden ifade" yerine "ikinci dereceden form" derler. "Sadece ikinci dereceden ifade" çok daha makul ve anlaşılabilir olurdu.
İkinci dereceden formların daha yüksek boyutlara genelleştirilmesini basitleştirmek için, bunları bir M simetrik matrisine göre yazarız
x⊺Mx=[xy][abbc][xy]\begin{aligned} \quad \textbf{x}^{\intercal} M \textbf{x} = \left[x \quad y\right] \left[ \begin{array}{cc} \blueD{a} & \greenD{b} \\ \greenD{b} & \redD{c} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \end{aligned}
İşte önemli soru:
  • Sadece start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54 ve start color #e84d39, c, end color #e84d39 sabitlerini analiz ederek, start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, 2, start color #1fab54, b, end color #1fab54, x, y, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, y, squared ifadesinin daima pozitif veya daima negatif olduğunu veya bunların ikisi de olmadığını nasıl söyleyebiliriz?

İkinci dereceden formların analizi

Eğer y yerine bir y, start subscript, 0, end subscript sabit değeri koyarsak, ikinci dereceden tek değişkenli bir fonksiyon elde ederiz:
start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldur ve x eksenini sadece ikinci dereceden fonksiyon gerçel köklere sahip olduğunda geçecektir.
İki gerçel köklü ikinci dereceden bir ifade hem pozitif, hem de negatiftir.
İki gerçel köklü ikinci dereceden bir ifade hem pozitif, hem de negatiftir.
Diğer durumlarda, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99'nın işaretine bağlı olarak, tamamen pozitif veya tamamen negatif kalır.
İki gerçel köklü ikinci dereceden bir ifade pozitif veya negatif olabilir.
İki gerçel köklü ikinci dereceden bir ifade pozitif veya negatif olabilir.
Köklerinin gerçel veya karmaşık olduğunu görmek için, bu ifadeye ikinci dereceden denklem formülünü uygulayabiliriz.
start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared
  • Baş terim start color #0c7f99, a, end color #0c7f99'dır.
  • Doğrusal terim 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, y, start subscript, 0, end subscript'dır.
  • Sabit terim start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, squared'dir.
Kuadratik formülü uygularsak, böyle gözükür:
−2by0±(−2by0)2−4acy022a⇓−2by0±2y0b2−ac2a⇓y0(−b±b2−aca)\quad \dfrac{-2\greenE{b}y_0 \pm \sqrt{(-2\greenE{b}y_0)^2 - 4\blueE{a}\redE{c}y_0^2}}{2\blueE{a}} \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \\ \qquad \dfrac{-2\greenE{b}y_0 \pm 2y_0 \sqrt{\greenE{b}^2 - \blueE{a}\redE{c}}}{2\blueE{a}} \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \\ \qquad \boxed{y_0\left( \dfrac{-\greenE{b} \pm \sqrt{\greenE{b}^2 - \blueE{a}\redE{c}}}{\blueE{a}} \right)}
Eğer y, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 ise, ikinci dereceden ifadenin x, equals, 0'da çift kökü vardır yani parabol bu noktada x eksenine değer. Diğer durumlarda, bu köklerin gerçel olup olmadığı sadece start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612 ifadesinin işaretine bağlıdır.
  • Eğer start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, is greater than or equal to, 0 ise gerçel kökler vardır, buna göre start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared grafiği x eksenini keser.
  • Diğer durumda, eğer start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, is less than, 0 ise gerçel kökler yoktur, buna göre start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared grafiği ya tamamen pozitif ya tamamen negatif kalır.
Örneğin, şu durumu düşünün
  • start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, equals, 1
  • start color #0d923f, b, end color #0d923f, equals, 3
  • start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 5
Bu durumda, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, squared, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, 5, end color #bc2612, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0'dır, buna göre f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, 5, y, start subscript, 0, end subscript, squared grafiği daima x eksenini keser. Aşağıda y, start subscript, 0, end subscript değerinin yavaşça değişmesine izin verdiğimizde bu grafiğin ne şekilde değiştiğini gösteren bir video bulunmaktadır.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bu, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, y, plus, 5, y, squared grafiğinin hem pozitif, hem de negatif olduğu bilgisiyle örtüşür.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Buna ek olarak, şu duruma bakın
  • start color #11accd, a, end color #11accd, equals, 2
  • start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, 2
  • start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 3
Şimdi, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, minus, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, squared, minus, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #e84d39, 3, end color #e84d39, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0. Bu, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 4, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, 3, y, start subscript, 0, end subscript, squared grafiğinin x eksenini hiç kesmediği anlamını taşır, ancak eğer y, start subscript, 0, end subscript sabiti sıfır olursa eksene değer. Aşağıda y, start subscript, 0, end subscript sabiti değiştikçe grafiğin ne şekilde değiştiğini gösteren bir video bulunmaktadır:
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bu, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 4, x, y, plus, 3, y, cubed çok değişkenli fonksiyonunun hep pozitif olmasıyla örtüşür.
Khan Akademi video wrapper
Video metni

İkinci dereceden formların işareti için kural

Adeta ikinci dereceden formüle aşina öğrencilerin aklını karıştırmak ister gibi, ikinci dereceden formlara ilişkin kurallar genelde start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612 yerine start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared'ye göre betimlenir. Biri diğerinin negatifi olduğundan, is greater than or equal to, 0 ve is less than or equal to, 0 derken değiştirmeniz gerekir. Matematikçilerin start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared'yi tercih etmesinin nedeni, bunun ikinci dereceden formu betimleyen matrisin determinantı olmasıdır:
det⁡([abbc])=ac−b2 \det\left( \left[ \begin{array}{cc} \blueE{a} & \greenE{b} \\ \greenE{b} & \redE{c} \end{array} \right] \right) = \blueE{a}\redE{c} - \greenE{b}^2
Hatırlatalım, matris kullanıldığında ikinci dereceden form böyle gözükür:
ax2+2bxy+cy2=[xy][abbc][xy] \blueE{a}x^2 + 2\greenE{b}xy + \redE{c}y^2 = \left[x \quad y\right] \left[ \begin{array}{cc} \blueE{a} & \greenE{b} \\ \greenE{b} & \redE{c} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]
Bu kuralı önceki bölümde bulduğumuz şeyle birleştirirsek, ikinci dereceden formun işareti için kuralı şöyle yazarız:
  • Eğer start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, is less than, 0 ise, ikinci dereceden form hem pozitif hem negatif değerler alabilir ve sadece left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da sıfırdır.
  • Eğer start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, is greater than, 0 ise, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99'nın işaretine bağlı olarak form ya daima pozitif ya da daima negatif olacaktır, ancak her iki durumda da sadece left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da 0'a eşittir.
    • Eğer start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise form hep pozitiftir, onun için left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis formun mutlak minimum noktasıdır.
    • Eğer start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, is less than, 0 ise form hep negatiftir, onun için left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis formun mutlak maksimum noktasıdır.
  • Eğer start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, equals, 0 ise, form gene daima pozitif veya daima negatif olacaktır, ancak şimdi left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'dan başka değerlerde de 0'a eşit olması mümkündür

Bazı terimler:

left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis hariç tüm left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis için start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared, is greater than, 0 olduğunda, hem ikinci dereceden form hem bununla bağlantılı matris kesin pozitif kabul edilir.
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis dışında tüm left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis için start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared, is less than, 0 olduğunda, ikisi de negatif kesin olur.
Eğer is greater than ve is less than yerine is greater than or equal to ve is less than or equal to koyarsanız, karşılıklı özellikler pozitif yarı-kesin ve negatif yarı-kesin olur.

Bunu Q, start subscript, f, end subscript'ye uygulama

Başladığımız yere tekrar bakalım ve ikinci dereceden kestirimimizi tekrar yazalım:
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(x−x0)2+fxy(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+12fyy(x0,y0)(y−y0)2\begin{aligned} \quad Q_f(x, y) &= f(x_0, y_0) + \\ \\ &\quad \blueE{\dfrac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0)}(x-x_0)^2 + \\ \\ &\quad \greenE{f_{xy}(x_0, y_0)}(x-x_0)(y-y_0) + \\ \\ &\quad \redE{\dfrac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0)}(y-y_0)^2 \end{aligned}
Q, start subscript, f, end subscript'nin ikinci dereceden kısmı, sadece x ve y yerine left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis ile left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis cinsinden yazılır, o zaman ikinci dereceden formların işareti kuralının left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis noktasına değindiği her yerde, bunu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasına uygularız.
Tek değişkenli durumda olduğu gibi, Q, start subscript, f, end subscript ikinci dereceden kestiriminin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da yerel bir maksimumu (veya minimumu) olduğunda, bu, f'nin bu noktada yerel bir maksimumu (veya minimumu) olduğu anlamına gelir. Bunun anlamı, ikinci dereceden bir formun işaretini doğrudan dönüştürerek, ikinci türev testini elde edebiliriz:
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0 olduğunu varsayın, bu durumda
  • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, is less than, 0 ise, f'nin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir minimumu veya maksimumu yoktur, ancak bir eyer noktası bulunmaktadır.
    Eyer noktası
  • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, is greater than, 0 ise, bu durumda f kesinlikle left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da bir maksimuma veya minimuma sahiptir ve bunlardan hangisi olduğunu bulmak için start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99'ın işaretine bakmalıyız.
    • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, f bir yerel minimuma sahiptir.
      Yerel min
    • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0 ise, f bir yerel maksimuma sahiptir.
      Yerel maks
  • start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, equals, 0 ise, sadece ikinci türevler f'nin yerel minimumu veya maksimumu olup olmadığını belirtmez.

Şimdiki araçlarımızda eksiklik var

Burada sunulan her şey, neredeyse tam bir ispatı oluşturur, son bir adım hariç.
Sezgisel olarak, ikinci dereceden bir kestirim belirli bir şekilde eğrildiğinde ve kıvrıldığında, fonksiyonun da kestirim noktası yakınında aynı şekilde eğrilmesi ve kıvrılması mantıklıdır. Ama bunu sezginin ötesinde nasıl biçimsel olarak ifade ederiz?
Ne yazık ki, bunu burada yapmayacağız. Türevlerle ilgili ispatlı savlarda bulunmak, türevin teorik omurgası olan reel analiz gerektirir.
Ayrıca, bunun ikiden fazla girdili fonksiyonlar için nasıl genelleştirilebileceğini merak ediyor olabilirsiniz. Birden çok değişkenli ikinci dereceden formlarla ilgili bir kavram vardır, ama böyle formların ne zaman hep pozitif veya hep negatif olduğuyla ilgili kuralı ifade etmek, lineer cebirden çeşitli fikirleri kullanır.

Özet

  • Çok değişkenli bir fonksiyonun bir eyer noktasının yerel bir minimum/maksimum olup olmadığını test etmek için, fonksiyonun o noktadaki ikinci dereceden kestirimine bakın. Bu ikinci dereceden kestirimin maksimumu/minimumu olup olmadığını analiz etmek daha kolaydır.
  • İki değişkenli fonksiyonlar için, bu aşağıdaki gibi bir ifadeyi incelemek anlamına gelir:
    start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared
    Bunlar ikinci dereceden formlar olarak bilinir. İkinci dereceden bir formun daima pozitif veya daima negatif olmasını belirleyen kural, ikinci kısmi türev testi için de geçerlidir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.