If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türev Uygulamaları
Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci Kısmi Türev Testi

Google Classroom
İki girdili bir fonksiyonun bir yerel maksimumu mu yoksa bir yerel minimumu mu olduğunu nasıl test edeceğinizi öğrenin.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ama bir bölümde kullanılmıştır:
Ayrıca, tek-değişkenli analizden ikinci türev testinde biraz ham iseniz, burada çabucak tekrarlamak isteyebilirsiniz çünkü ikinci kısmi türev testi için iyi bir karşılaştırma oluşturur.

İkinci kısmi türev testinin ifadesi

İki değişkenli bir f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonunun yerel maksimumlarını/minimumlarını bulmak istiyorsanız, ilk adım gradyanın start bold text, 0, end bold text vektörü olduğu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis girdi noktalarını bulmaktır.
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text
Bunlar f'nin grafiğindeki teğet düzlemin düz olduğu noktalardır.
İkinci kısmi türev testi bu stabil noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını doğrulamamızı sağlar. Özellikle şu miktarı hesaplayarak başlarsınız:
H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, squared
Sonra ikinci kısmi türev testi şöyle devam eder:
  • H, is less than, 0 ise, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis bir eyer noktasıdır.
  • Eğer H, is greater than, 0 ise, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis ya bir maksimum ya da minimum noktadır ve bir soru daha sorarsınız:
    • start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis yerel bir minimum noktadır.
    • start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis yerel bir minimum noktadır.
    (start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 yerine start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 da kullanabilirsiniz, aslında fark etmez)
  • Eğer H, equals, 0 ise, yeterince bilgi yoktur.

Gevşek sezgi

İkinci türev test teriminin ayrılması
Bu ilk terime odaklanın:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612
f'nin grafiğinin çukurluğunun x ve y yönlerinde aynı olup olmadığını akıllıca kodlar.
Örneğin, şu fonksiyona bakın
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bu fonksiyonun left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir eyer noktası vardır. x'e göre ikinci kısmi türev pozitif bir sabittir:
fxx(x,y)=∂∂x∂∂x(x2−y2)=∂∂x2x=2>0\begin{aligned} \quad \blueE{f_{xx}(x, y)} &= \dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial x} (x^2 - y^2) \\ \\ &= \dfrac{\partial}{\partial x} 2x \\ \\ &= 2 >0 \\ \end{aligned}
Özellikle, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, equals, 2, is greater than, 0, ve bunun pozitif olmasının anlamı f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin x-yönünde gittikçe yukarı doğru çukurluğu olmasıdır. Öte yandan, y'ye göre ikinci kısmi türev, negatif bir sabittir:
fyy(x,y)=∂∂y∂∂y(x2−y2)=∂∂y−2y=−2<0\begin{aligned} \quad \redE{f_{yy}(x, y)} &= \dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y} (x^2 - y^2) \\ \\ &= \dfrac{\partial}{\partial y} -2y \\ \\ &= -2 < 0 \\ \end{aligned}
Bu, y yönünde hareket ettikçe, aşağı doğru çukurluğu belirtir. Bu uyuşmazlık eyer noktamız olduğu anlamına gelir ve bu, iki ikinci kısmi türevin çarpımıyla kodlanır:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612, equals, left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 4, is less than, 0
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0d923f, squared sadece pozitif olduğundan, çıkartırsak tüm ifadeyi daha da negatif yapar.
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, squared
Diğer taraftan, hem start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, hem de start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612'ın işareti pozitif veya negatif olduğunda, x ve y yönleri f'nin çukurluğu konusunda örtüşür. Bu durumların ikisinde de, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 terimi pozitif olur.
Ama bu yeterli değildir!

start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, squared, end color #0d923f terimi

Şu fonksiyonu düşünün
f(x,y)=x2+y2+pxy\begin{aligned} \quad f(x, y) = x^2 + y^2 + \greenE{p}xy \end{aligned}
burada start color #0d923f, p, end color #0d923f bir sabittir.
Kavram kontrolü: Bu f tanımıyla, ikinci türevlerini hesaplayın:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, equals
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, equals
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, equals

start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99 ile start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612 ikinci türevlerinin ikisi de pozitif olduğundan, sadece x yönünde veya sadece y yönünde gittiğimizde (start color #0d923f, p, end color #0d923f ne olursa olsun) grafik içbükey görünecektir.
Ancak, start color #0d923f, p, end color #0d923f'nin 1'den 3'e değiştiğinde, sonra 1'e döndüğünde bu grafiğin nasıl değiştiğini gösterdiğimiz aşağıdaki videoyu izleyin:
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Burada neler oluyor? Hem x, hem de y yönünde dışbükey olsa da, grafiğin nasıl bir eyer noktası olabilir? Bunun kısa cevabı, diğer yönlerin de önemli olduğudur ve bu durumda, bunlar start color #0d923f, p, end color #0d923f, x, y teriminde ifade edilir.
Örneğin, eğer bu x, y terimini tek başına bırakır ve g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y grafiğine bakarsak, böyle gözükür:
g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y grafiği.
g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y'nin grafiği. x, squared, minus, y, squared'nin grafiğine çok benzer, ama 45, degrees döndürülmüş ve biraz genişletilmiştir.
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis'da bir eyer noktası bulunmaktadır. Bunun nedeni x ve y yönlerinin çukurluğa ilişkin çelişmesi değil, çukurluğun köşegen yön [11]\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] boyunca pozitif ve [−11]\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right] boyunca negatif olduğunun görülmesidir.
İkinci türev testinin f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, start color #0d923f, p, end color #0d923f, x, y fonksiyonuyla ilgili neleri belirttiğini görelim. Üstte hesaplamanız istenen ikinci türev değerlerini kullandığımızda, şunu elde ederiz:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0d923f, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, minus, start color #0d923f, p, end color #0d923f, squared
p, is greater than, 2 olduğunda bu negatiftir, buna göre f bir eyer noktasına sahiptir. p, is less than, 2 olduğunda bu pozitiftir, buna göre f bir yerel minimuma sahiptir.
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f miktarını, f fonksiyonunun left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası yakınında g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y grafiğine ne kadar benzediğini ölçüyor gibi düşünebilirsiniz.
Kaç yönün birbiriyle örtüşmesi gerektiğini düşünürsek, sadece üç değere bakmamızın start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612 ve start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0d923f, yeterli olması aslında oldukça şaşırtıcıdır.
Sonraki makale ikinci kısmi türev testiyle ilgili mantığı daha detaylı anlatmaktadır.

Özet

  • Çok değişkenli bir fonksiyonun gradyanının sıfır vektörü olduğu bir nokta bulduğunuzda (bu, o noktada grafiğin teğet düzleminin düz olduğu anlamını taşır), o noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını söylemenin bir yolu, ikinci kısmi türev testidir.
  • İkinci kısmi türev testinin anahtar terimi budur:
    H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, squared
  • Eğer H, is greater than, 0 ise, fonksiyonun left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasında kesinlikle bir yerel minimumu/maksimumu vardır.
    • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0 ise, bu bir minimumdur.
      • Eğer start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0 ise, bu bir maksimumdur.
  • Eğer H, is less than, 0 ise, fonksiyonun left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da kesinlikle bir eyer noktası vardır.
  • Eğer H, equals, 0 ise, yeterince bilgi yoktur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.