Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)

İkinci Kısmi Türev Testi

Google Classroom

İki girdili bir fonksiyonun bir yerel maksimumu mu yoksa bir yerel minimumu mu olduğunu nasıl test edeceğinizi öğrenin.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ama bir bölümde kullanılmıştır:

Hessian matrisi

Ayrıca, tek-değişkenli analizden ikinci türev testinde biraz ham iseniz, burada çabucak tekrarlamak isteyebilirsiniz çünkü ikinci kısmi türev testi için iyi bir karşılaştırma oluşturur.

[İkinci türev testinin hızlı bir tekrarı]

İkinci kısmi türev testinin ifadesi

İki değişkenli bir

f (x, y)

fonksiyonunun yerel maksimumlarını/minimumlarını bulmak istiyorsanız, ilk adım gradyanın

0

vektörü olduğu

(x_{0}, y_{0})

girdi noktalarını bulmaktır.

$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = 0$ ‍

Bunlar

f

'nin grafiğindeki teğet düzlemin düz olduğu noktalardır.

[Bir resim görmek ister misiniz?]

İkinci kısmi türev testi bu stabil noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını doğrulamamızı sağlar. Özellikle şu miktarı hesaplayarak başlarsınız:

$H = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}$ ‍

Sonra ikinci kısmi türev testi şöyle devam eder:

$H < 0$ ‍ ise, $(x_{0}, y_{0})$ ‍ bir eyer noktasıdır.
[Bir resim görmek ister misiniz?]
Eğer $H > 0$ ‍ ise, $(x_{0}, y_{0})$ ‍ ya bir maksimum ya da minimum noktadır ve bir soru daha sorarsınız:
- $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍ ise, $(x_{0}, y_{0})$ ‍ yerel bir minimum noktadır.
  [Bir resim görmek ister misiniz?]
- $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍ ise, $(x_{0}, y_{0})$ ‍ yerel bir minimum noktadır.
  [Bir resim görmek ister misiniz?]
( $f_{x x} (x_{0}, y_{0})$ ‍ yerine $f_{y y} (x_{0}, y_{0})$ ‍ da kullanabilirsiniz, aslında fark etmez)
Eğer $H = 0$ ‍ ise, yeterince bilgi yoktur.

[Hessian determinantı kullanılarak yazılmıştır]

Gevşek sezgi

Bu ilk terime odaklanın:

$f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0})$ ‍

f

'nin grafiğinin çukurluğunun

x

y

yönlerinde aynı olup olmadığını akıllıca kodlar.

Örneğin, şu fonksiyona bakın

$f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ ‍

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu fonksiyonun

(x, y) = (0, 0)

'da bir eyer noktası vardır.

x

'e göre ikinci kısmi türev pozitif bir sabittir:

\begin{aligned} f_{x x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{\partial}{\partial x} 2 x \\ = 2 > 0 \end{aligned}

Özellikle,

f_{x x} (0, 0) = 2 > 0

, ve bunun pozitif olmasının anlamı

f (x, y)

'nin

x

-yönünde gittikçe yukarı doğru çukurluğu olmasıdır. Öte yandan,

y

'ye göre ikinci kısmi türev, negatif bir sabittir:

\begin{aligned} f_{y y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{\partial}{\partial y} - 2 y \\ = - 2 < 0 \end{aligned}

Bu,

y

yönünde hareket ettikçe, aşağı doğru çukurluğu belirtir. Bu uyuşmazlık eyer noktamız olduğu anlamına gelir ve bu, iki ikinci kısmi türevin çarpımıyla kodlanır:

$f_{x x} (0, 0) f_{y y} (0, 0) = (2) (- 2) = - 4 < 0$ ‍

{f_{x y} (0, 0)}^{2}

sadece pozitif olduğundan, çıkartırsak tüm ifadeyi daha da negatif yapar.

$f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}$ ‍

Diğer taraftan, hem

f_{x x} (x_{0}, y_{0})

, hem de

f_{y y} (y_{0}, y_{0})

'ın işareti pozitif veya negatif olduğunda,

x

y

yönleri

f

'nin çukurluğu konusunda örtüşür. Bu durumların ikisinde de,

f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0})

terimi pozitif olur.

Ama bu yeterli değildir!

$f_{x y}^{2}$ ‍ terimi

Şu fonksiyonu düşünün

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} + y^{2} + p x y \end{array}

burada

p

bir sabittir.

Kavram kontrolü: Bu

f

tanımıyla, ikinci türevlerini hesaplayın:

$f_{x x} (x, y) =$ ‍
$f_{y y} (x, y) =$ ‍
$f_{x y} (x, y) =$ ‍

[Cevap]

f_{x x} (0, 0)

ile

f_{y y} (0, 0)

ikinci türevlerinin ikisi de pozitif olduğundan, sadece

x

yönünde veya sadece

y

yönünde gittiğimizde (

p

ne olursa olsun) grafik içbükey görünecektir.

Ancak,

p

'nin

1

'den

3

'e değiştiğinde, sonra

1

'e döndüğünde bu grafiğin nasıl değiştiğini gösterdiğimiz aşağıdaki videoyu izleyin:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Burada neler oluyor? Hem

x

, hem de

y

yönünde dışbükey olsa da, grafiğin nasıl bir eyer noktası olabilir? Bunun kısa cevabı, diğer yönlerin de önemli olduğudur ve bu durumda, bunlar

p x y

teriminde ifade edilir.

Örneğin, eğer bu

x y

terimini tek başına bırakır ve

g (x, y) = x y

grafiğine bakarsak, böyle gözükür:

(0, 0)

'da bir eyer noktası bulunmaktadır. Bunun nedeni

x

y

yönlerinin çukurluğa ilişkin çelişmesi değil, çukurluğun köşegen yön

[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

boyunca pozitif ve

[\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}]

boyunca negatif olduğunun görülmesidir.

İkinci türev testinin

f (x, y) = x^{2} + y^{2} + p x y

fonksiyonuyla ilgili neleri belirttiğini görelim. Üstte hesaplamanız istenen ikinci türev değerlerini kullandığımızda, şunu elde ederiz:

$f_{x x} (0, 0) f_{y y} (0, 0) - {f_{x y} (0, 0)}^{2} = (2) (2) - p^{2}$ ‍

p > 2

olduğunda bu negatiftir, buna göre

f

bir eyer noktasına sahiptir.

p < 2

olduğunda bu pozitiftir, buna göre

f

bir yerel minimuma sahiptir.

$f_{x y} (x_{0}, y_{0})$ ‍ miktarını, $f$ ‍ fonksiyonunun $(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktası yakınında $g (x, y) = x y$ ‍ grafiğine ne kadar benzediğini ölçüyor gibi düşünebilirsiniz.

Kaç yönün birbiriyle örtüşmesi gerektiğini düşünürsek, sadece üç değere bakmamızın

f_{x x} (0, 0)

f_{y y} (0, 0)

f_{x y} (0, 0)

, yeterli olması aslında oldukça şaşırtıcıdır.

Sonraki makale ikinci kısmi türev testiyle ilgili mantığı daha detaylı anlatmaktadır.

Özet

Çok değişkenli bir fonksiyonun gradyanının sıfır vektörü olduğu bir nokta bulduğunuzda (bu, o noktada grafiğin teğet düzleminin düz olduğu anlamını taşır), o noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını söylemenin bir yolu, ikinci kısmi türev testidir.
İkinci kısmi türev testinin anahtar terimi budur:
$H = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}$ ‍
Eğer $H > 0$ ‍ ise, fonksiyonun $(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasında kesinlikle bir yerel minimumu/maksimumu vardır.
- Eğer $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍ ise, bu bir minimumdur.
  - Eğer $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) < 0$ ‍ ise, bu bir maksimumdur.
Eğer $H < 0$ ‍ ise, fonksiyonun $(x_{0}, y_{0})$ ‍'da kesinlikle bir eyer noktası vardır.
Eğer $H = 0$ ‍ ise, yeterince bilgi yoktur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.