If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

İkinci Kısmi Türev Testi

İki girdili bir fonksiyonun bir yerel maksimumu mu yoksa bir yerel minimumu mu olduğunu nasıl test edeceğinizi öğrenin.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ama bir bölümde kullanılmıştır:
Ayrıca, tek-değişkenli analizden ikinci türev testinde biraz ham iseniz, burada çabucak tekrarlamak isteyebilirsiniz çünkü ikinci kısmi türev testi için iyi bir karşılaştırma oluşturur.

İkinci kısmi türev testinin ifadesi

İki değişkenli bir f(x,y) fonksiyonunun yerel maksimumlarını/minimumlarını bulmak istiyorsanız, ilk adım gradyanın 0 vektörü olduğu (x0,y0) girdi noktalarını bulmaktır.
f(x0,y0)=0
Bunlar f'nin grafiğindeki teğet düzlemin düz olduğu noktalardır.
İkinci kısmi türev testi bu stabil noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını doğrulamamızı sağlar. Özellikle şu miktarı hesaplayarak başlarsınız:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
Sonra ikinci kısmi türev testi şöyle devam eder:
  • H<0 ise, (x0,y0) bir eyer noktasıdır.
  • Eğer H>0 ise, (x0,y0) ya bir maksimum ya da minimum noktadır ve bir soru daha sorarsınız:
    (fxx(x0,y0) yerine fyy(x0,y0) da kullanabilirsiniz, aslında fark etmez)
  • Eğer H=0 ise, yeterince bilgi yoktur.

Gevşek sezgi

İkinci türev test teriminin ayrılması
Bu ilk terime odaklanın:
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)
f'nin grafiğinin çukurluğunun x ve y yönlerinde aynı olup olmadığını akıllıca kodlar.
Örneğin, şu fonksiyona bakın
f(x,y)=x2y2
Khan Akademi video wrapper
Bu fonksiyonun (x,y)=(0,0)'da bir eyer noktası vardır. x'e göre ikinci kısmi türev pozitif bir sabittir:
fxx(x,y)=xx(x2y2)=x2x=2>0
Özellikle, fxx(0,0)=2>0, ve bunun pozitif olmasının anlamı f(x,y)'nin x-yönünde gittikçe yukarı doğru çukurluğu olmasıdır. Öte yandan, y'ye göre ikinci kısmi türev, negatif bir sabittir:
fyy(x,y)=yy(x2y2)=y2y=2<0
Bu, y yönünde hareket ettikçe, aşağı doğru çukurluğu belirtir. Bu uyuşmazlık eyer noktamız olduğu anlamına gelir ve bu, iki ikinci kısmi türevin çarpımıyla kodlanır:
fxx(0,0)fyy(0,0)=(2)(2)=4<0
fxy(0,0)2 sadece pozitif olduğundan, çıkartırsak tüm ifadeyi daha da negatif yapar.
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
Diğer taraftan, hem fxx(x0,y0), hem de fyy(y0,y0)'ın işareti pozitif veya negatif olduğunda, x ve y yönleri f'nin çukurluğu konusunda örtüşür. Bu durumların ikisinde de, fxx(x0,y0)fyy(x0,y0) terimi pozitif olur.
Ama bu yeterli değildir!

fxy2 terimi

Şu fonksiyonu düşünün
f(x,y)=x2+y2+pxy
burada p bir sabittir.
Kavram kontrolü: Bu f tanımıyla, ikinci türevlerini hesaplayın:
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

fxx(0,0) ile fyy(0,0) ikinci türevlerinin ikisi de pozitif olduğundan, sadece x yönünde veya sadece y yönünde gittiğimizde (p ne olursa olsun) grafik içbükey görünecektir.
Ancak, p'nin 1'den 3'e değiştiğinde, sonra 1'e döndüğünde bu grafiğin nasıl değiştiğini gösterdiğimiz aşağıdaki videoyu izleyin:
Khan Akademi video wrapper
Burada neler oluyor? Hem x, hem de y yönünde dışbükey olsa da, grafiğin nasıl bir eyer noktası olabilir? Bunun kısa cevabı, diğer yönlerin de önemli olduğudur ve bu durumda, bunlar pxy teriminde ifade edilir.
Örneğin, eğer bu xy terimini tek başına bırakır ve g(x,y)=xy grafiğine bakarsak, böyle gözükür:
g(x,y)=xy grafiği.
g(x,y)=xy'nin grafiği. x2y2'nin grafiğine çok benzer, ama 45 döndürülmüş ve biraz genişletilmiştir.
(0,0)'da bir eyer noktası bulunmaktadır. Bunun nedeni x ve y yönlerinin çukurluğa ilişkin çelişmesi değil, çukurluğun köşegen yön [11] boyunca pozitif ve [11] boyunca negatif olduğunun görülmesidir.
İkinci türev testinin f(x,y)=x2+y2+pxy fonksiyonuyla ilgili neleri belirttiğini görelim. Üstte hesaplamanız istenen ikinci türev değerlerini kullandığımızda, şunu elde ederiz:
fxx(0,0)fyy(0,0)fxy(0,0)2=(2)(2)p2
p>2 olduğunda bu negatiftir, buna göre f bir eyer noktasına sahiptir. p<2 olduğunda bu pozitiftir, buna göre f bir yerel minimuma sahiptir.
fxy(x0,y0) miktarını, f fonksiyonunun (x0,y0) noktası yakınında g(x,y)=xy grafiğine ne kadar benzediğini ölçüyor gibi düşünebilirsiniz.
Kaç yönün birbiriyle örtüşmesi gerektiğini düşünürsek, sadece üç değere bakmamızın fxx(0,0), fyy(0,0) ve fxy(0,0), yeterli olması aslında oldukça şaşırtıcıdır.
Sonraki makale ikinci kısmi türev testiyle ilgili mantığı daha detaylı anlatmaktadır.

Özet

  • Çok değişkenli bir fonksiyonun gradyanının sıfır vektörü olduğu bir nokta bulduğunuzda (bu, o noktada grafiğin teğet düzleminin düz olduğu anlamını taşır), o noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını söylemenin bir yolu, ikinci kısmi türev testidir.
  • İkinci kısmi türev testinin anahtar terimi budur:
    H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
  • Eğer H>0 ise, fonksiyonun (x0,y0) noktasında kesinlikle bir yerel minimumu/maksimumu vardır.
    • Eğer fxx(x0,y0)>0 ise, bu bir minimumdur.
      • Eğer fxx(x0,y0)<0 ise, bu bir maksimumdur.
  • Eğer H<0 ise, fonksiyonun (x0,y0)'da kesinlikle bir eyer noktası vardır.
  • Eğer H=0 ise, yeterince bilgi yoktur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.