Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3
Ders 4: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon (Makaleler)İkinci Kısmi Türev Testi
İki girdili bir fonksiyonun bir yerel maksimumu mu yoksa bir yerel minimumu mu olduğunu nasıl test edeceğinizi öğrenin.
Arka plan
Mutlaka gerekli değildir, ama bir bölümde kullanılmıştır:
Ayrıca, tek-değişkenli analizden ikinci türev testinde biraz ham iseniz, burada çabucak tekrarlamak isteyebilirsiniz çünkü ikinci kısmi türev testi için iyi bir karşılaştırma oluşturur.
İkinci kısmi türev testinin ifadesi
İki değişkenli bir fonksiyonunun yerel maksimumlarını/minimumlarını bulmak istiyorsanız, ilk adım gradyanın vektörü olduğu girdi noktalarını bulmaktır.
Bunlar 'nin grafiğindeki teğet düzlemin düz olduğu noktalardır.
İkinci kısmi türev testi bu stabil noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını doğrulamamızı sağlar. Özellikle şu miktarı hesaplayarak başlarsınız:
Sonra ikinci kısmi türev testi şöyle devam eder:
ise, bir eyer noktasıdır.- Eğer
ise, ya bir maksimum ya da minimum noktadır ve bir soru daha sorarsınız: ise, yerel bir minimum noktadır.
ise, yerel bir minimum noktadır.
( yerine da kullanabilirsiniz, aslında fark etmez) - Eğer
ise, yeterince bilgi yoktur.
Gevşek sezgi
Bu ilk terime odaklanın:
Örneğin, şu fonksiyona bakın
Bu fonksiyonun 'da bir eyer noktası vardır. 'e göre ikinci kısmi türev pozitif bir sabittir:
Özellikle, , ve bunun pozitif olmasının anlamı 'nin -yönünde gittikçe yukarı doğru çukurluğu olmasıdır. Öte yandan, 'ye göre ikinci kısmi türev, negatif bir sabittir:
Bu, yönünde hareket ettikçe, aşağı doğru çukurluğu belirtir. Bu uyuşmazlık eyer noktamız olduğu anlamına gelir ve bu, iki ikinci kısmi türevin çarpımıyla kodlanır:
Diğer taraftan, hem , hem de 'ın işareti pozitif veya negatif olduğunda, ve yönleri 'nin çukurluğu konusunda örtüşür. Bu durumların ikisinde de, terimi pozitif olur.
Ama bu yeterli değildir!
terimi
Şu fonksiyonu düşünün
burada bir sabittir.
Kavram kontrolü: Bu tanımıyla, ikinci türevlerini hesaplayın:
Ancak, 'nin 'den 'e değiştiğinde, sonra 'e döndüğünde bu grafiğin nasıl değiştiğini gösterdiğimiz aşağıdaki videoyu izleyin:
Burada neler oluyor? Hem , hem de yönünde dışbükey olsa da, grafiğin nasıl bir eyer noktası olabilir? Bunun kısa cevabı, diğer yönlerin de önemli olduğudur ve bu durumda, bunlar teriminde ifade edilir.
Örneğin, eğer bu terimini tek başına bırakır ve grafiğine bakarsak, böyle gözükür:
İkinci türev testinin fonksiyonuyla ilgili neleri belirttiğini görelim. Üstte hesaplamanız istenen ikinci türev değerlerini kullandığımızda, şunu elde ederiz:
miktarını, fonksiyonunun noktası yakınında grafiğine ne kadar benzediğini ölçüyor gibi düşünebilirsiniz.
Kaç yönün birbiriyle örtüşmesi gerektiğini düşünürsek, sadece üç değere bakmamızın , ve , yeterli olması aslında oldukça şaşırtıcıdır.
Sonraki makale ikinci kısmi türev testiyle ilgili mantığı daha detaylı anlatmaktadır.
Özet
- Çok değişkenli bir fonksiyonun gradyanının sıfır vektörü olduğu bir nokta bulduğunuzda (bu, o noktada grafiğin teğet düzleminin düz olduğu anlamını taşır), o noktanın bir yerel maksimum, bir yerel minimum veya bir eyer noktası olup olmadığını söylemenin bir yolu, ikinci kısmi türev testidir.
- İkinci kısmi türev testinin anahtar terimi budur:
- Eğer
ise, fonksiyonun noktasında kesinlikle bir yerel minimumu/maksimumu vardır.- Eğer
ise, bu bir minimumdur.- Eğer
ise, bu bir maksimumdur.
- Eğer
- Eğer
- Eğer
ise, fonksiyonun 'da kesinlikle bir eyer noktası vardır. - Eğer
ise, yeterince bilgi yoktur.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.