Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 2: Polinom Fonksiyonlarda Tahminlerde Bulunma

Hessian

Google Classroom

Hessian, bir fonksiyonun tüm ikinci kısmi türevlerini düzenleyen bir matristir.

Arka plan:

İkinci kısmi türevler

Hessian matrisi

Bir fonksiyonun "Hessian matrisi"

f (x, y, z, \dots)

, tüm ikinci kısmi türevleri bir matriste düzenler; bu farklı kişiler tarafından

H (f)

H f

veya

H_{f}

şeklinde yazılabilir:

\begin{array}{r} H f = [\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}] \end{array}

Buna göre, burada dikkat edilmesi gereken iki nokta:

Bu sadece skaler-değerli fonksiyonlar için anlamlıdır.
$H f$ ‍ sıradan bir matris değildir; ancak girdileri fonksiyonlar olan bir matristir. Başka şekilde ifade edersek, bir $(x_{0}, y_{0}, \dots)$ ‍ noktasında hesaplanmak içindir.
$\begin{array}{r} H f (x_{0}, y_{0}, \dots) = [\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}] \end{array}$ ‍
Böylece, bu $H f$ ‍ nesnesini "matris-değerli" bir fonksiyon olarak nitelendirebilirsiniz. Şahane, öyle değil mi?.
[Çok değişkenli bir dünyada yüksek dereceli türevlerin doğası]

Önemli bir şey daha: ''Hessian'' kelimesi bazen matrisin kendisini değil, bu matrisin determinantını belirtir.

Örnek: Bir Hessian'ı hesaplama

Problem:

f (x, y) = x^{3} - 2 x y - y^{6}

'nın

(1, 2)

noktasındaki Hessian'ını hesaplayın:

Çözüm: Sonunda bize

f

'nin ikinci kısmi türevlerinin tümü gerekecek, dolayısıyla önce kısmi türevlerin ikisini de hesaplayalım:

\begin{aligned} f_{x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} (x^{3} - 2 x y - y^{6}) = 3 x^{2} - 2 y \\ f_{y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} (x^{3} - 2 x y - y^{6}) = - 2 x - 6 y^{5} \end{aligned}

Bunlarla, ikinci kısmi türevlerin dördünü de hesaplıyoruz:

\begin{aligned} f_{x x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} - 2 y) = 6 x \\ f_{x y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} (3 x^{2} - 2 y) = - 2 \\ f_{y x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} (- 2 x - 6 y^{5}) = - 2 \\ f_{y y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} (- 2 x - 6 y^{5}) = - 30 y^{4} \end{aligned}

Bu durumda Hessian matrisi

2 \times 2

bir matristir ve fonksiyon girdileri şunlardır:

$\begin{aligned} H f (x, y) = [\begin{array}{cc} f_{x x} (x, y) & f_{x y} (x, y) \\ f_{y x} (x, y) & f_{y y} (x, y) \end{array}] & = [\begin{array}{cc} 6 x & - 2 \\ - 2 & - 30 y^{4} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Bizden bunu

(x, y) = (1, 2)

noktasında hesaplamamız istenmiştir, dolayısıyla bu değerleri yerine koyarız:

$\begin{array}{r} H f (1, 2) = [\begin{array}{cc} 6 (1) & - 2 \\ - 2 & - 30 (2)^{4} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 6 & - 2 \\ - 2 & - 480 \end{array}] \end{array}$ ‍

Şimdi, problem muğlaktır, çünkü "Hesyan" bu matrisi veya determinantını kastedebilir. İstediğiniz şey, bağlama bağlıdır. Örneğin, çok değişkenli fonksiyonları optimize ederken, Hesyan determinantını kullanan "ikinci kısmi türev testi" vardır. Hesyan fonksiyonlarda kestirim için kullanıldığında, matrisin kendisini kullanırsınız.

Eğer istediğimiz determinantsa, bunu elde ederiz:

\begin{array}{r} det ([\begin{array}{cc} 6 & - 2 \\ - 2 & - 480 \end{array}]) = 6 (- 480) - (- 2) (- 2) = - 2884 \end{array}

Kullanımlar

Çok değişkenli bir fonksiyonun tüm ikinci türev bilgisini yakalayarak, Hesyan matrisi tek değişkenli analizde sıradan ikinci türeve benzer bir rol oynar. En önemlisi, bu iki durumda ortaya çıkar:

Çok değişkenli fonksiyonların ikinci dereceden kestirimleri, biraz ikinci mertebeden Taylor polinomuna benzer, ama çok değişkenli fonksiyonlar içindir.
İkinci kısmi türev testi, çok değişkenli bir fonksiyonun maksimum/minimumunu bulmanıza yardımcı olur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.