Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 3

Ders 1: Teğet Düzlemler ve Yerel Lineerizasyon

Yerel Lineerizasyon

Teğet düzlem fikrinin, skaler değerli çok değişkenli fonksiyonun doğrusal kestirimi olarak nasıl genelleştirilebileceğini öğrenin.

Arka plan

Gradyan

Neye ulaşıyoruz

Yerel doğrusallaştırma, teğet düzlemler kavramını herhangi bir çok değişkenli fonksiyona genelleştirir. Burada, ben sadece skaler değerli çok değişkenli fonksiyonlardan bahsedeceğim.
Fikir, o girdide aynı değere sahip olan ve aynı kısmi türev değerlerine sahip olan daha basit bir fonksiyonla, girdilerinin birisinin yanında fonksiyonun değerini kestirmektir.
Vektörlerle yazıldığında, kestirme fonksiyonu böyle gözükür:
$L_{f} (x) = \underset{Sabit}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Sabit vektör}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x değişkendir}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍
Bu $f$ ‍'nin $x_{0}$ ‍ yakınında yerel doğrusallaştırması olarak adlandırılır.

Kestirim olarak teğet düzlemler

Önceki makalede, iki değişkenli bir fonksiyonun grafiğine teğet olan düzlemi bulmaktan bahsettim.

Teğet düzlem formülü sonunda bunun gibi gözükür.

\begin{array}{r} T (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) \end{array}

T (x, y)

fonksiyonu genelde farklı bir isim alır:

f

'nin

(x_{0}, y_{0})

noktasındaki yerel doğrusallaştırması. Bunu, iki özelliği sağlayan en basit fonksiyon olarak düşünebilirsiniz:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasındaki değeri $f$ ‍'ninkiyle aynıdır.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasında kısmi türevleri $f$ ‍'ninkiyle aynıdır.

Çok değişkenli analizde her zaman olduğu gibi, yeni bir kavramı grafiksel sezgiye dayanmadan düşünmek sağlıklıdır. Bu, görsel olarak düşünmemeniz gerektiği anlamını taşımaz. Bunun yerine, belki sadece girdi uzayını veya grafikten ziyade ilgili bilgiyi düşünmeniz gerektiğini belirtir.

Temelde, yerel bir doğrusallaştırma bir fonksiyonu bir noktada o noktadaki türev(ler)inin sağladığı bilgiye göre kestirir.

Girdisi iki değişkenli ve çıktısı skaler (yani vektör olmayan) olan fonksiyonlarda, bu teğet düzlem olarak görselleştirilebilir. Ancak, daha yüksek boyutlarda bu görsel lükse sahip değiliz, onun için bunu bir kestirim olarak düşünmeliyiz.

Çok değişkenli analizin gerçek hayattan uygulamalarında, uzaydaki gerçek bir düzlemle neredeyse hiç ilgilenmezsiniz. Bunun yerine, paraşütte hava direncinin hız ve yön cinsinden bir fonksiyonu gibi karmaşık bir fonksiyonunuz vardır. Gerçek fonksiyonla uğraşmak zor veya hesap yönünden uzun olabilir, onun için buna doğrusal bir fonksiyon gibi daha basit bir şeyle yakınsamak yararlıdır.

''Yerel doğrusallaştırma'' ile neyi kastediyorum?

Çok boyutlu girdili bir fonksiyonu düşünün.

$f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ‍

Eğer tanımında koordinatlarının tümü sadece sabitlerle çarpılıyorsa ve bunlara başka bir şey olmuyorsa, bu fonksiyon doğrusal olarak adlandırılır. Örneğin, bunun gibi gözükebilir:

$f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 2 x_{1} + 3 x_{2} + \dots - 5 x_{n}$ ‍

Doğrusallığın hikayesinin tamamı, bundan çok daha derine gider ("Doğrusal cebir" diye bir alan olmasının nedeni budur); ancak şimdilik bu başlangıç bizim işimizi görür. Genelde, tüm değişkenleri bunun gibi yazmak yerine, girdiye bir vektör gibi davranırsınız:

$x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ ‍

Fonksiyonu bir iç çarpım kullanarak tanımlardınız:

$f (x) = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ ⋮ \\ - 5 \end{matrix}] \cdot x$ ‍

Bu makalenin amaçları için ve daha genel olarak yerel doğrusallaştırmadan bahsettiğinizde, bu ifadeye bir sabit ekleyebilirsiniz:

$f (x) = \underset{Bir sabit}{\underset{⏟}{c}} + \overset{Bir vektör}{\overset{⏞}{v}} \cdot x$ ‍

Eğer bilgiçlik taslamak isterseniz, bu artık bir doğrusal fonksyon değildir. Bu, ''afin'' fonksiyon olarak adlandırılır. Ancak çoğu kişi, ''her neyse, bu temelde doğrusaldır'' der.

Yerel doğrusallaştırma

Şimdi,

f (x)

fonksiyonunuzun doğrusal olma lüksü olmadığını düşünün. (Kalın yazılmış "

x

" hala çok boyutlu bir vektörü temsil etmektedir). Bir iç çarpımdan çok daha değişik, çılgınca bir ifadeyle tanımlanmış olabilir.

Yerel doğrusallaştırma fikri, bu fonksiyonu belirli bir

x_{0}

girdi değeri yakınında doğrusal olan bir fonksiyonla kesitrmektir. Yeni fonksiyon böyle gözükür:

$L_{f} (x) = \underset{Sabit}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Sabit vektör}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x değişkendir}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍

Dikkat ederseniz, $x = x_{0}$ ‍ koyarak, hem $f$ ‍ hem $L_{f}$ ‍ fonksiyonlarının $x_{0}$ ‍ girdisinde aynı değere sahip olacağını görebiliyorsunuz.
$x$ ‍ değişkenine karşı çizilen vektör, belirli bir $\nabla f (x_{0})$ ‍ girdisinde $f$ ‍'nin gradyanıdır. Bu, belirlenen girdide $f$ ‍ ve $L_{f}$ ‍ fonksiyonlarının aynı gradyana sahip olmasını sağlar. Başka şekilde ifade edersek, bunların kısmi türev bilgilerinin tümü aynı olacaktır.

Bu formülü anlamanın en iyi yolunun, belirli bir fonksiyon bağlamında bu formülü kendinizin elde etmesi olduğunu düşünüyorum.

1. Örnek: Yerel doğrusallaştırma bulma.

Problem: Şu fonksiyonu alın:

$f (x, y, z) = z e^{x^{2} - y^{3}}$ ‍

Aşağıdaki noktada

L_{f}

değeri ve tüm kısmi türevlerinin değeri

f

'ninkilerle eşleşen bir

L_{f} (x, y, z)

doğrusal fonksiyonu bulun:

$(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (8, 4, 3)$ ‍

Adım 1: Seçilen noktada

f

'nin değerini hesaplayın

$f (8, 4, 3) =$ ‍

[Cevap]

Adım 2: Fonksiyonunuzu yazmaya başlamak için bunu kullanın. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi

(x, y, z) = (8, 4, 3)

girdisinde

f

'ye eşit olacaktır?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$L_{f} (x, y, z) = 3 + 8 a x + 4 b y + 3 c z$ ‍
(B şıkkı)
$L_{f} (x, y, z) = 3 + a (x - 8) + b (y - 4) + c (z - 3)$ ‍
Bunların ikisi için de, $a$ ‍, $b$ ‍ ve $c$ ‍ rastgele sabitlerdir.

[Cevap]

Yazdığınız şekliyle

L_{f}

'nin kısmi türevleri, aynen bu

a

b

c

sabitleridir. Böylece, fonksiyonumuzun

(8, 4, 3)

noktasında

f

ile aynı kısmi türevlere sahip olmasını garantilemek için, bu sabitleri

f

'nin bu noktadaki ilgili kısmi türevlerine eşitleyeceğiz.

Adım 3:

f (x, y, z) = z e^{x^{2} - y^{3}}

'ün kısmi türevlerinin hepsinin değerini bulun

$f_{x} (x, y, z) =$ ‍
$f_{y} (x, y, z) =$ ‍
$f_{z} (x, y, z) =$ ‍

[Cevap]

Şimdi bunların her birisinin

(8, 4, 3)

'te değerini buluruz.

$f_{x} (8, 4, 3) =$ ‍
$f_{y} (8, 4, 3) =$ ‍
$f_{z} (8, 4, 3) =$ ‍

[Cevap]

Adım 4:

L_{f}

ifadesinde

a

b

c

sabitlerinin yerine kısmi türev değerlerini koyarsak, ne elde edersiniz?

$L_{f} (x, y, z) =$ ‍

[Cevap]

Şimdi, bunu vektör gösterimiyle yazarsanız nasıl gözükeceğine dikkat edin.

[Bunun nasıl gözüktüğünü gösterin]

Bu sadece yukarıda gösterilen formülün özel bir formudur.

$L_{f} (x) = \underset{Sabit}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Sabit vektör}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x değişkendir}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍

Örnek 2: Kestirim için yerel doğrusallaştırma kullanma

Bunu izleyen, kesinlikle pratik bir uygulama değildir, ama bunu yapmak yerel doğrusallaştırmanın yaptıklarıyla ilgili bir his vermeye yardımcı olacaktır.

Problem: Hesap makineniz olmadan ıssız bir adadasınız, ve

\sqrt{2, 01 + \sqrt{0, 99 + \sqrt{9, 01}}}

'i tahmin etmeniz gerekiyor. Bunu nasıl yapardınız?

Çözüm:

Bu problemi, belirli bir üç değişkenli fonksiyonun

(2, 01, 0, 99, 9, 01)

noktasındaki değerini bulma olarak görebiliriz,

f (x, y, z) = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}

Sizi bilmem, ama kareköklerin elle değerini bulmam konusundan emin değilim. Keşke bu fonksiyon doğrusal olsaydı! O zaman elle çözmek sayıları toplamak ve çarpmaktan ibaret olurdu. Yapabileceğimiz şey,

f

'nin değerini daha kolay bulabileceğimiz yakın bir noktada yerel doğrusallaştırma bulmaktır. Sonra,

(2, 01, 0, 99, 9, 01)

noktasında doğrusallaştırme değerini bularak doğru cevaba yaklaşabiliriz.

İliglendiğimiz nokta, çok daha kolay bir nokta olan

(2, 1, 9)

'a çok yakındır, onun için

f

'nin bu noktanın yakınında yerel doğrusallaştırmasını buluruz. Önceki gibi, şunu bulmamız gerekir

$f (2, 1, 9)$ ‍
$f$ ‍'nin $(2, 1, 9)$ ‍'daki tüm kısmi türevleri

Bunlardan birincisi

\begin{aligned} f (2, 1, 9) & = \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}} \\ = \sqrt{2 + \sqrt{1 + 3}} \\ = \sqrt{2 + \sqrt{4}} \\ = \sqrt{2 + 2} \\ = \sqrt{4} \\ = 2 \end{aligned}

Galiba birkaç uygun girdi değeri seçtiniz mi, öyle değil mi?

Kısmi türevlere devam (derinden iç çekme). Karekökler bol göründüğünden,

\sqrt{x}

'in türevini yazalım.

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \sqrt{x} & = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}

Tamam, işte başlıyoruz. En basit kısmi türev

f_{x}

'tir

\begin{aligned} f_{x} & = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \end{aligned}

y

burada içi içe olduğundan,

f_{y}

zincir kuralı eylemi gerektirir:

\begin{aligned} f_{y} & = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} \end{aligned}

Daha derinden iç içe geçtiğinden, bu şaşırtıcı

z

için zincir kuralının iki yinelemesi gerekecek:

\begin{aligned} f_{z} & = \frac{\partial}{\partial z} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{z}} \end{aligned}

Sonrasında, bunların her birinin

(2, 1, 9)

'daki değerini bulun. Bu fazla gelebilir, ama bunların hepsi aynı üç temek bileşenden oluşur:

\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} & = \frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}}} = \frac{1}{2 \sqrt{2 + 2}} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} & = \frac{1}{2 \sqrt{1 + \sqrt{9}}} = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \sqrt{z}} & = \frac{1}{2 \sqrt{9}} = \frac{1}{6} \end{aligned}

Bu değerleri kısmi türev ifadelerimizde yerine koyarsak, şunu elde ederiz

\begin{aligned} f_{x} (2, 1, 9) & = \frac{1}{4} \\ f_{y} (2, 1, 9) & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \\ f_{z} (2, 1, 9) & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{96} \end{aligned}

Yerel doğrusallaştırmanın formülünü açarsak, şunu elde ederiz

\begin{aligned} L_{f} (x) & = f (x_{0}) + \nabla f (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) \\ = f (x_{0}) + f_{x} (x_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}) (y - y_{0}) + f_{z} (x_{0}) (z - z_{0}) \\ = 2 + \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{16} (y - 1) + \frac{1}{96} (z - 9) \end{aligned}

Sonunda, tüm bu işlemlerden sonra, kestirimimizi hesaplamak için

(x, y, z) = (2, 01, 0, 99, 9, 01)

'i yerine koyabiliriz

\begin{aligned} 2 + \frac{1}{4} (2, 01 - 2) + \frac{1}{16} (0, 99 - 1) + \frac{1}{96} (9, 01 - 9) \\ = 2 + \frac{0, 01}{4} + \frac{- 0, 01}{16} + \frac{0, 01}{96} \end{aligned}

Elle hesaplamak yine kolay değildir, ama en azından yapılabilir. Bunu hesapladığınızda, son cevap

2, 001979

Hesap makinesi kullansaydık, cevap şöyle olurdu

\sqrt{2, 01 + \sqrt{0, 99 + \sqrt{9, 01}}} \approx 2, 001978

Demek ki tahminimiz oldukça iyiymiş!

Neden umursuyoruz?

Issız bir adada karekökleri tahmin etmeniz yaygın bir durum olmasa da (en azından benim yaşadığım ülkede), matematikte ve mühendislikte karmaşık ama türevli fonksiyonlarla uğraşmak yaygındır. "Doğrusallaştır" ifadesi ortalıkta dönüp durduğu için bunun anlamını bilmemek garip gelebilir.

Unutmayın, yerel bir doğrusallaştırma, bir fonksiyonun bir nokta yakınındaki değerini bu noktadaki türev(ler) inden elde edilen bilgilere göre kestirir. Fonksiyonların değerini bulmak için bir bilgisayar kullanabilseniz de, bu her zaman yeterli değildir.

Bunu saniyedde binlerce kere değerlemeniz gerekebilir, ve bunu tamamen hesaplamak çok uzun sürer.
Belki fonksiyonunuz açıkça yazılı değildir, ve dışdeğerlemek istediğiniz noktanın yakınında sadece birkaç ölçümünüz vardır.
Bazen ilgilendiğiniz şey ters fonksiyondur, bunu fonksiyonun tamamı için bulmak zor veya belki de olanaksız olabilir, ama doğrusal fonksiyonların tersini almak nispeten daha kolaydır.

Özet

Yerel doğrusallaştırma, teğet düzlemler kavramını herhangi bir çok değişkenli fonksiyona genelleştirir.
Fikir, o girdide aynı değere sahip olan ve aynı kısmi türev değerlerine sahip olan daha basit bir fonksiyonla, girdilerinin birisinin yanında fonksiyonun değerini kestirmektir.
Vektörlerle yazıldığında, kestirme fonksiyonu böyle gözükür:
$L_{f} (x) = \underset{Sabit}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Sabit vektör}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x değişkendir}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍
Bu $f$ ‍'nin $x_{0}$ ‍ yakınında yerel doğrusallaştırması olarak adlandırılır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.