If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

2 Boyutlu Diverjans Teoremi 1

Bu, Green teoremi ile benzerdir; ancak rotasyonel yerine diverjans içindir

Neye ulaşıyoruz

  • Green teoremi rotasyonel için neyse, 2 boyutlu diverjans teoremi de diverjans için odur. Bir bölgenin içindeki bir vektör alanının diverjansıyla, bu vektör alanının bölgenin sınırındaki akısını ilişkilendirir.
  • Kurulum:
    • F(x,y) iki boyutlu bir vektör alanıdır.
      • R xy düzlemindeki bir bölgedir.
      • C R'nin sınırıdır.
      • n^ C'ye dışarı yönlü birim normal vektörleri veren bir fonksiyondur.
  • 2 boyutlu diverjans teoremi, sınır eğrisi C boyunca F'nin akısının, tüm R bölgesinde divF'nin çift katlı integraliyle aynı olduğunu söyler.
    CFn^dsAkı integrali=RdivFdA
  • Buradaki sezgi, F bir sıvı akışı temsil ederse, R'den toplam dış akış hızı, akı integrali olarak ölçüldüğünde, her noktada diverjansla ölçülen dışa akışın toplamıdır.
  • Genelde F(x,y)'nin bileşke fonksiyonları P(x,y) ve Q(x,y) olarak verilir:
    F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]
    Bu durumda, her iki integrali de P ve Q cinsinden yazdığınızda, 2 boyutlu diverjans teoremi bunun gibi gözükür:
    CPdyQdx=RPx+Qy
  • Bu formda yazıldığında, 2 boyutlu diverjans teoreminin gizlice Green teoremi ile aynı şeyi söylemekte olduğunu görmek daha kolaydır.

Sezgi: İki dışa akış ölçüsünü birleştirme

Genel bakış: Akı

Burada, iki boyutlu akıyı ve bunun neyi temsil ettiğini daha önce öğrenmiş olduğunuzu varsayıyorum. Bu, bir sıvının bir eğriden (örneğin C gibi) geçtiği hızı verir. Eğri bir bölgeyi (örneğin R gibi) çevrelediğinde, akı sıvının bu bölgeden çıkış hızının bir ölçüsüdür.
Sıvının sürat vektör alanını temsil eden bir F(x,y) vektör alanı verildiğinde, F(x,y)'nin C boyunca akısı aşağıdaki integralle ölçülür:
CFn^dsAkı integrali
Bu integral C sınırında her noktanın üzerinden geçer, ve F'den, dışa doğru birim normal vektör, n^, yönündeki vektör bileşenini alır. Bu değer ne kadar büyükse, sıvı R'den o noktada o kadar hızlı dışarı akmaktadır; ne kadar negatifse, o kadar sıvı o noktada içeri akmaktadır.

Yerel bakış: Diverjans

Sıvı hareketlerinde "dışarı akış" için farklı bir ölçümü de öğrendiğinizi varsayıyorum: Diverjans. F(x,y)'nin diverjansı, sıvının her (x,y) noktasından ne kadar uzaklaştığını belirten bir fonksiyondur.
2 boyutlu diverjans teoremi, şu iki fikri birleştirir:
CFn^dsAkı integraliTotal outward flow from R=RdivFdADışa akışın tüm küçük parçalarının toplamı

Daha iyi anlamak ister misiniz?

Bu mantık Green teoremininkine çok benzer olmalı, burada bir bölgedeki toplam sıvı döndürmesi, 2d-rotasyonelF ile temsil edilen tüm küçük döndürmelerinin toplamına eşit olur:
CFdrR etrafında toplam sıvı rotasyonu=R2 boyutlu rotasyonelFdArotasyonun tüm küçük parçalarının toplamı
Ancak, hem Green teoremi, hem de 2D diverjans teoremi için, minik döndürme parçalarını veya dışarı akışı toplamayı düşünmek gayet belirsizdir. Bunların her birinin sezgisi şahane olsa da, zorlu matematik değildir, öyle değil mi?
Green teoremiyle ilgili makalede, rotasyonelin çift katlı integralinin nerede ortaya çıktığı için daha kesin bir mantık yürüttüm. Bu, R bölgesini parçalamayı, ve R boyunca bazı çizgi integrallerinin birbirini nasıl götürdüğünü görmeyi içeriyordu.
2 boyutlu diverjans teoremini göstermek için benzer bir mantık silsilesi kullanılabilir. Konuyu daha iyi anlamak isteyenler için iyi bir egzersiz, geri giderek aynı mantık silsilesini izlemek, ancak R etrafındaki akışı ölçen CFdr çizgi integralini R'den dışarı akışı ölçen CFn^ds akı integraliyle değiştirmektir.
Ve aradığınız daha derinlemesine bir bilgiyse, diverjansın biçimsel tanımı bilgisiyle işin içine girmenizi öneririm.

İspat: Akı integralleri + Birim normak vektör + Green teoremi

2D diverjans teoremini ispatlamak için daha derinine anlama alıştırma gerekli değildir. Aslında, her bir integralin nasıl hesaplandığını ifade etmeye başladığınızda, bu teoremin Green teoremiyle aynı şeyi belirttiğini görmeye başlarsınız.
F'yi bileşke fonksiyonlar P(x,y) ve Q(x,y) cinsinden yazarak başlayın:
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]
Bir birim normal vektörünün formülünü akı integraline uyguladığımızda, bu akı integralini temsil etmenin başka bir yolunu buluruz.
CFn^ds=C[P(x,y)Q(x,y)]n^ds
Sonra, birim normal vektörü açık şekilde yazalım.
Kavram kontrolü: Eğer [dxdy] vektörünü C eğrisi etrafında, ds=dx2+dy2 büyüklükte, saat yönünün tersine küçük bir adım olarak düşünürsek, aşağıdakilerden hangisi dışarı doğru bir birim normal vektörü temsil eder?
1 cevap seçin:

Bunu akı integralimize koyduğumuzda ve sadeleştirdiğimizde, bunu elde ediyoruz:
C[P(x,y)Q(x,y)]n^ds=C[P(x,y)Q(x,y)](1ds[dydx])ds=CPdyQdx
Bu formda yazıldığında, Green teoremini doğrudan uygulayabiliriz.
Kavram kontrolü: Aşağıdakilerden hangisi Green teoremidir (burada C R bölgesini çevreleyen kapalı bir eğriyi temsil etmektedir)?
1 cevap seçin:

Kavram kontrolü: Green teoremini CPdyQdx akı integraline uyguladığınızda ne elde edersiniz?
1 cevap seçin:

Dikkat ederseniz, son sorunun cevabının çift katlı integralinin içindeki ifade gerçekten F'nin diverjansıdır:
divF=div[P(x,y)Q(x,y)]=Px+Qy

2 boyutlu diverjans teoremini kullanma?

Çizgi integralleriyle çift katlı integraller arasında çevirme yapmaya geldiğinde, 2D diverjans teoremi Green teoremiyle aynı şeyi belirtmektedir. Bu teoremi kullanan bir örnekteki gerçek hesaplamaların hiçbiri, Green teoremi kullanan bir örnekten farksız olur (Green teoremi örneğiyle ilgili bu örneklerde olduğu gibi).
Ancak, 2D diverjans teoremini öğrenmenin faydası iki yönlüdür:
  • Kavramsal fayda: Akı, diverjans ve Green teoremini daha iyi kavramanız için harika bir yoldur.
  • Stratejik fayda: Green teoreminin kullanıldığı bir örnek bazen diverjansa dayanan bir tanım verir. Örneğin, eğer hesaplamak istediğiniz çizgi integrali yaşamına bir akı integrali olarak başlıyorsa, bu integrali Pdx+Qdy gibi gözükecek şekilde açmak ve Green teoremini uygulamak yerine, bunun diverjansın iki katıyla aynı olduğunu fark edebilirsiniz.

Özet

  • 2 boyutlu diverjans teoremi bir bölgedeki iki boyutlu akı ile diverjansın çift katlı integralini ilişkilendirir.
    CFn^dsR’den toplam dışarı akış=RdivFdADışa akışın tüm küçük parçalarının toplamı
  • Genelde vektör alanı F(x,y) bileşenleri bazında tanımlanır:
    F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]
    Bu durumda, 2 boyutlu diverjans teoremi böyle gözükür:
    CPdyQdx=R(Px+Qy)dA
  • Bu formda yazıldığında, 2 boyutlu diverjans teoreminin aslında Green teoremi ile aynı şeyi söylemekte olduğunu görmek daha kolaydır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.