Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 5

Ders 8: Diverjans Teoremi (Makaleler)

2 Boyutlu Diverjans Teoremi 1

Google Classroom

Bu, Green teoremi ile benzerdir; ancak rotasyonel yerine diverjans içindir

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ancak daha iyi kavramaya yardımcı olur:

Diverjansın biçimsel tanımı

Neye ulaşıyoruz

Green teoremi rotasyonel için neyse, 2 boyutlu diverjans teoremi de diverjans için odur. Bir bölgenin içindeki bir vektör alanının diverjansıyla, bu vektör alanının bölgenin sınırındaki akısını ilişkilendirir.
Kurulum:
- start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis iki boyutlu bir vektör alanıdır.
  - start color #bc2612, R, end color #bc2612 x, y düzlemindeki bir bölgedir.
  - start color #bc2612, C, end color #bc2612 start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin sınırıdır.
  - start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f start color #bc2612, C, end color #bc2612'ye dışarı yönlü birim normal vektörleri veren bir fonksiyondur.
2 boyutlu diverjans teoremi, sınır eğrisi start color #bc2612, C, end color #bc2612 boyunca start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin akısının, tüm start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesinde start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin çift katlı integraliyle aynı olduğunu söyler.
start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, A, k, ı, space, i, n, t, e, g, r, a, l, i, end text, end subscript, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A
Buradaki sezgi, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 bir sıvı akışı temsil ederse, start color #bc2612, R, end color #bc2612'den toplam dış akış hızı, akı integrali olarak ölçüldüğünde, her noktada diverjansla ölçülen dışa akışın toplamıdır.
Genelde start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin bileşke fonksiyonları P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ve Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis olarak verilir:
$\blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]$
Bu durumda, her iki integrali de P ve Q cinsinden yazdığınızda, 2 boyutlu diverjans teoremi bunun gibi gözükür:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction
Bu formda yazıldığında, 2 boyutlu diverjans teoreminin gizlice Green teoremi ile aynı şeyi söylemekte olduğunu görmek daha kolaydır.

Sezgi: İki dışa akış ölçüsünü birleştirme

Genel bakış: Akı

Burada, iki boyutlu akıyı ve bunun neyi temsil ettiğini daha önce öğrenmiş olduğunuzu varsayıyorum. Bu, bir sıvının bir eğriden (örneğin start color #bc2612, C, end color #bc2612 gibi) geçtiği hızı verir. Eğri bir bölgeyi (örneğin start color #bc2612, R, end color #bc2612 gibi) çevrelediğinde, akı sıvının bu bölgeden çıkış hızının bir ölçüsüdür.

Sıvının sürat vektör alanını temsil eden bir start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanı verildiğinde, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin start color #bc2612, C, end color #bc2612 boyunca akısı aşağıdaki integralle ölçülür:

start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, A, k, ı, space, i, n, t, e, g, r, a, l, i, end text, end subscript

Bu integral start color #bc2612, C, end color #bc2612 sınırında her noktanın üzerinden geçer, ve start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'den, dışa doğru birim normal vektör, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, yönündeki vektör bileşenini alır. Bu değer ne kadar büyükse, sıvı start color #bc2612, R, end color #bc2612'den o noktada o kadar hızlı dışarı akmaktadır; ne kadar negatifse, o kadar sıvı o noktada içeri akmaktadır.

Yerel bakış: Diverjans

Sıvı hareketlerinde "dışarı akış" için farklı bir ölçümü de öğrendiğinizi varsayıyorum: Diverjans. start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin diverjansı, sıvının her left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktasından ne kadar uzaklaştığını belirten bir fonksiyondur.

2 boyutlu diverjans teoremi, şu iki fikri birleştirir:

$\displaystyle \underbrace{ \overbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }^{\text{Akı integrali}} }_{\text{Total outward flow from $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA }_{\text{Dışa akışın tüm küçük parçalarının toplamı}}$ start underbrace, start overbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end overbrace, start superscript, start text, A, k, ı, space, i, n, t, e, g, r, a, l, i, end text, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, T, o, t, a, l, space, o, u, t, w, a, r, d, space, f, l, o, w, space, f, r, o, m, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, end underbrace, start subscript, start text, D, ı, ş, a, space, a, k, ı, ş, ı, n, space, t, u, with, \", on top, m, space, k, u, with, \", on top, ç, u, with, \", on top, k, space, p, a, r, ç, a, l, a, r, ı, n, ı, n, space, t, o, p, l, a, m, ı, end text, end subscript

Daha iyi anlamak ister misiniz?

Bu mantık Green teoremininkine çok benzer olmalı, burada bir bölgedeki toplam sıvı döndürmesi, start text, 2, d, negative, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ile temsil edilen tüm küçük döndürmelerinin toplamına eşit olur:

$\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{$\redE{R}$ etrafında toplam sıvı rotasyonu}} = \underbrace{ \iint_\redE{R} \text{2 boyutlu rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} }_{\text{rotasyonun tüm küçük parçalarının toplamı}}$ start underbrace, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, start color #bc2612, R, end color #bc2612, space, e, t, r, a, f, ı, n, d, a, space, t, o, p, l, a, m, space, s, ı, v, ı, space, r, o, t, a, s, y, o, n, u, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, r, o, t, a, s, y, o, n, u, n, space, t, u, with, \", on top, m, space, k, u, with, \", on top, ç, u, with, \", on top, k, space, p, a, r, ç, a, l, a, r, ı, n, ı, n, space, t, o, p, l, a, m, ı, end text, end subscript

Ancak, hem Green teoremi, hem de 2D diverjans teoremi için, minik döndürme parçalarını veya dışarı akışı toplamayı düşünmek gayet belirsizdir. Bunların her birinin sezgisi şahane olsa da, zorlu matematik değildir, öyle değil mi?

Green teoremiyle ilgili makalede, rotasyonelin çift katlı integralinin nerede ortaya çıktığı için daha kesin bir mantık yürüttüm. Bu, start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesini parçalamayı, ve start color #bc2612, R, end color #bc2612 boyunca bazı çizgi integrallerinin birbirini nasıl götürdüğünü görmeyi içeriyordu.

2 boyutlu diverjans teoremini göstermek için benzer bir mantık silsilesi kullanılabilir. Konuyu daha iyi anlamak isteyenler için iyi bir egzersiz, geri giderek aynı mantık silsilesini izlemek, ancak start color #bc2612, R, end color #bc2612 etrafındaki akışı ölçen \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text çizgi integralini start color #bc2612, R, end color #bc2612'den dışarı akışı ölçen \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s akı integraliyle değiştirmektir.

Ve aradığınız daha derinlemesine bir bilgiyse, diverjansın biçimsel tanımı bilgisiyle işin içine girmenizi öneririm.

İspat: Akı integralleri + Birim normak vektör + Green teoremi

2D diverjans teoremini ispatlamak için daha derinine anlama alıştırma gerekli değildir. Aslında, her bir integralin nasıl hesaplandığını ifade etmeye başladığınızda, bu teoremin Green teoremiyle aynı şeyi belirttiğini görmeye başlarsınız.

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'yi bileşke fonksiyonlar P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ve Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis cinsinden yazarak başlayın:

$\blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]$

Bir birim normal vektörünün formülünü akı integraline uyguladığımızda, bu akı integralini temsil etmenin başka bir yolunu buluruz.

$\displaystyle \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds = \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds$

Sonra, birim normal vektörü açık şekilde yazalım.

Kavram kontrolü: Eğer

\left[\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right]

vektörünü start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisi etrafında, d, s, equals, square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root büyüklükte, saat yönünün tersine küçük bir adım olarak düşünürsek, aşağıdakilerden hangisi dışarı doğru bir birim normal vektörü temsil eder?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$\dfrac{1}{ds} \left[\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right]$
(B şıkkı)
$\dfrac{1}{ds} \left[\begin{array}{c} dy \\ -dx \end{array} \right]$
(C şıkkı)
$\dfrac{1}{ds} \left[\begin{array}{c} -dy \\ dx \end{array} \right]$

[Cevap]

Bunu akı integralimize koyduğumuzda ve sadeleştirdiğimizde, bunu elde ediyoruz:

\begin{aligned} \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds &= \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \left( \dfrac{1}{\cancel{ds}} \left[ \begin{array}{c} dy \\ -dx \end{array} \right] \right) \,\cancel{ds} \\\\ &= \int_{\redE{C}} P\,dy - Q\,dx \end{aligned}

Bu formda yazıldığında, Green teoremini doğrudan uygulayabiliriz.

Kavram kontrolü: Aşağıdakilerden hangisi Green teoremidir (burada start color #bc2612, C, end color #bc2612 start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesini çevreleyen kapalı bir eğriyi temsil etmektedir)?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
(B şıkkı)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, right parenthesis, d, A

[Cevap]

Kavram kontrolü: Green teoremini integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x akı integraline uyguladığınızda ne elde edersiniz?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
(B şıkkı)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A

[Cevap]

Dikkat ederseniz, son sorunun cevabının çift katlı integralinin içindeki ifade gerçekten start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin diverjansıdır:

$\displaystyle \text{div}\,\blueE{\textbf{F}} = \text{div}\, \left[ \begin{array}{c} P(x, y)\\ Q(x, y) \end{array} \right] = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}$

2 boyutlu diverjans teoremini kullanma?

Çizgi integralleriyle çift katlı integraller arasında çevirme yapmaya geldiğinde, 2D diverjans teoremi Green teoremiyle aynı şeyi belirtmektedir. Bu teoremi kullanan bir örnekteki gerçek hesaplamaların hiçbiri, Green teoremi kullanan bir örnekten farksız olur (Green teoremi örneğiyle ilgili bu örneklerde olduğu gibi).

Ancak, 2D diverjans teoremini öğrenmenin faydası iki yönlüdür:

Kavramsal fayda: Akı, diverjans ve Green teoremini daha iyi kavramanız için harika bir yoldur.
Stratejik fayda: Green teoreminin kullanıldığı bir örnek bazen diverjansa dayanan bir tanım verir. Örneğin, eğer hesaplamak istediğiniz çizgi integrali yaşamına bir akı integrali olarak başlıyorsa, bu integrali integral, P, d, x, plus, Q, d, y gibi gözükecek şekilde açmak ve Green teoremini uygulamak yerine, bunun diverjansın iki katıyla aynı olduğunu fark edebilirsiniz.

Özet

2 boyutlu diverjans teoremi bir bölgedeki iki boyutlu akı ile diverjansın çift katlı integralini ilişkilendirir.
$\displaystyle \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }_{\text{$\redE{R}$'den toplam dışarı akış}} = \underbrace{ \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA }_{\text{Dışa akışın tüm küçük parçalarının toplamı}}$ start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, start color #bc2612, R, end color #bc2612, apostrophe, d, e, n, space, t, o, p, l, a, m, space, d, ı, ş, a, r, ı, space, a, k, ı, ş, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, end underbrace, start subscript, start text, D, ı, ş, a, space, a, k, ı, ş, ı, n, space, t, u, with, \", on top, m, space, k, u, with, \", on top, ç, u, with, \", on top, k, space, p, a, r, ç, a, l, a, r, ı, n, ı, n, space, t, o, p, l, a, m, ı, end text, end subscript
Genelde vektör alanı start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis bileşenleri bazında tanımlanır:
$\blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]$
Bu durumda, 2 boyutlu diverjans teoremi böyle gözükür:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Bu formda yazıldığında, 2 boyutlu diverjans teoreminin aslında Green teoremi ile aynı şeyi söylemekte olduğunu görmek daha kolaydır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.