Diverjans ve rotasyonelin biçimsel tanımlarıyla neden ilgileniyoruz?

Bir bakıma, matematik sanatı doğru tanımları bulmakla ilgilidir. Gevşek bir fikri, bir sezgiyi alıp, çok sıkı bir şeye dönüştürmeyi içerir.

Sonraki birkaç makalede, hem diverjans hem de rotasyoneli öğrendiğinizi varsayıyorum. Özellikle, bunları nasıl hesaplayacağınızı bilmeniz lazım, ve daha da önemlisi, her bir işlemi sıvı akışı cinsinden rahatlıkla yorumlamanız gerekir.

Bu makalelerin amaçları, bu sıvı-akışı yorumları matematiksel yorumlara dönüştürmektir.

Diverjans ve rotasyonel, tanımlandıkları yol ile uygulamada hesaplandıkları yol aynı olmayan iki komik işlemdir. Hesaplamalar için kullandığımız formüller (yani kaynağı $\nabla \cdot \textbf{F}$del, dot, start bold text, F, end bold text ve $\nabla \times \textbf{F}$del, times, start bold text, F, end bold text gösterimi olanlar), biçimsel tanımlar değildir. Biçimsel tanımlar, sıvı akışı sezgisini kapsayan belirli integralleri içerir.

Bu tanımları gerçek hesaplamalarda kullanmak maalesef pek pratik değildir, dolayısıyla genelde $\nabla \cdot \textbf{F}$del, dot, start bold text, F, end bold text ve $\nabla \times \textbf{F}$del, times, start bold text, F, end bold text formülleri kullanılır. Aslında, göreli olarak daha kolay hesaplanabilen bu formüllerin olması büyük şanstır.

Hem evet, hem hayır. Evet, bu tanımlar pratik bir uygulamada ezberlemeniz veya cebinizden çıkarmanız gereken şeyler olmayacak. Ancak, kanımca, diverjansı ve rotasyoneli yorumlama bilginizi pekiştirmek için bu tanımları anlamaktan daha iyi bir yol bulunmamaktadır. Ayrıca, çizgi ve yüzey integrallerini uygularken de çok iyi pratik yapma imkanı sunarlar.

Ayrıca ve belki de daha önemlisi, çok değişkenli analizde yakında öğreneceğiniz büyük başlıkların bazıları Green teoremini ve Stokes teoremini içerir; bu teoremler rotasyoneli çizgi integralleriyle ve yüzey integralleriyle ilişkilendirir. Size söz veriyorum, eğer rotasyonelin gerçekte nasıl tanımlandığını iyice kavrarsanız, bu teoremlerin aslında ne söylediğini görmeniz çok daha kolay olacaktır.

Ve aynısı diverjans için de geçerlidir. Green'in diverjans teoremi ve üç boyutlu diverjans teoremi, diverjansın anlamının ne olduğunu bildiğinizde kolaylıkla anlayacağınız iki büyük konudur.

Bunu söyledikten sonra şunu da belirtmeliyim: bu teoremlerin tümünü, diverjans ve rotasyonelin biçimsel tanımlarını öğrenmeden de kavramak mümkündür, dolayısıyla bu makaleleri okumak ihtiyaridir. Ancak kavramsal anlamayı burada önceden yaparsanız, gelecekteki kendinize iyilik yapmış olursunuz.