If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Green teoremi

Green teoremi çift katlı integral rotasyoneli belirli bir çizgi integraliyle ilişkilendirir. Aslında, oldukça güzeldir.

Diğer kaynaklar

Green teoreminin problem çözmek için nasıl kullanıldığıyla ilgili problemleri bir sonraki makalede görebilirsiniz. Burada, neden doğru olduğuyla ilgili güzel bir mantığı size adım adım göstereceğim. Farklı bir bakış açısını Sal'in konuyla ilgili videosunda bulabilirsiniz.

Bir dersle, dört fayda

Green teoremi çok değişkenli analizin zirvesindeki dört önemli teoremden biridir:
  • Green teoremi
  • 2D diverjans teoremi
  • Stokes teoremi
  • 3D Diverjans teoremi
İyi haberlerimiz var: Bunların dördünün mantığı son derece benzerdir. Yani eğer Green teroemini çok iyi özümsediyseniz, diğer üçünü de neredeyse anladınız demektir!

Neye ulaşıyoruz

  • Kurulum:
    • F iki boyutlu bir vektör alanıdır.
      • R xy düzlemindeki bir bölgedir.
      • C bu bölgenin sınırıdır, yönü saat yönünün tersinedir.
  • Green teoremi F'nin R sınırı etrafında çizgi integralinin F'nin R içinde rotasyonelinin çift katlı integraliyle aynı olduğunu belirtir:
    R2 boyutlu rotasyonelFdA=CFdr
  • Sol tarafı bir R bölgesindeki her noktadaki küçük dönme parçalarını topluyor olarak ve sağ tarafı R'nin C sınırı etrafındaki toplam sıvı dönüşünü ölçüyor olarak düşünün.
  • Genelde, F bileşenlerine göre aşağıdaki gibi yazılır:
    F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^
    P ve Q cinsinden, Green teoremi şuna benzer:
    CPdx+Qdy=R(QxPy)dA

Sınır etrafında sıvı döndürme

Okudukça, kafanızda olması gereken resim bir vektör alanında bir kütledir.
  • F(x,y), vektör alanı için fonksiyondur. Ayrıca, eğer vektör alanına ilişkin buna benzer makaleleri okuduysanız muhtemelen öğrendiğiniz gibi, F'nin bir sıvı akışını temsil ettiğini varsayın.
  • R xy düzlemindeki bir bölgedir. Uygulamada ve problemlerde bu bölge daire gibi iyi tanımlanmış bir şekil veya iki grafik arasındaki sınır olacaktır; ancak ben soyut olarak düşünürken bu bölgeyi bir damla şeklinde çizmeyi tercih ediyorum.
  • C R'nin saat yönünün tersine sınırıdır. Bu yönü hatırlayın, çünkü problemleri çözerken yön gerçekten önemlidir. Saat yönünün tersine. Hatırlıyor musunuz? Saat yönünün tersine.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki çizgi integralini sıvı akışı olarak nasıl yorumlayabilirsiniz?
CFdr
(Unutmayın, vektör alanından çizgi integralinde dr terimi eğri boyunca, minik bir adımı temsil eder, bu durumda bu, her zaman saat yönünün tersine durur.)
1 cevap seçin:

CFdr çizgi integralini düşünmenin bir yolu şöyledir: C doğrusu etrafında, saat yönünün tersine, bir kayıkta kürek çektiğinizi düşünün.
Yolculuğunuzdaki her noktada dr vektörü size hareketinizin yönünü verir. Fdr iç çarpımı, sıvı akışının sizinle birlikte olduğu noktalarda pozitif ve sıvı akışının size karşı olduğu noktalarda negatif olacaktır.
Genelde, CFdr çizgi integrali, bütün bu iç çarpımları toplayarak, akışın genelde yararlı mı, yoksa külfetli mi olduğunu söyler.
O zaman, sıvı akışı C sınırı boyunca genelde saat yönünün tersine eğilim gösterirse, çizgi integrali pozitif olur (yani genelde yardımcı olur), ve saat yönünde eğilim gösterirse, negatif olur (genellikle külfetli olur).

Sınırı içeri getirme

Green teoremi, R sınırı boyunca sıvı rotasyonu fikrini alıp, R'nin içinde olan bitenle ilişkilendirmeyle ilişkilidir. Kavramsal olarak, bu R'yi birçok küçük parçaya ayırmayı gerektirir. Formüllerde, sonuç 2d-rotasyonelF'nin çift katlı integralini almak olur.

Bölgeyi kesin

R bölgesini ortadan aşağıya düz bir çizgiyle böldüğünüzü ve iki alt bölge (R1 ve R2) elde ettiğinizi düşünün:
Bu iki bölgenin sınırlarını C1 ve C2 olarak adlandırın. Bu iki sınır etrafında F'nin çizgi integralini alır ve bunları toplarsak ne olur?
C1Fdr+C2Fdr
Dikkat ederseniz, bu çizgi integralleri yaptığınız düşey çizgi kesitinde birbirini götürecek. Yani, C1 etrafındaki integral bu çizgide "yukarı" çıkarken, C2 etrafındaki integral bu çizgiden "aşağı" iner. (Unutmayın, bir vektör alanında bir çizgi integrali alırken, bir eğri boyunca yön değiştirme, sonucu 1 ile çarpar).
Buna göre, iki integralimizin toplamı, C sınırının etrafında gitmekle aynıdır.
C1Fdr+C2Fdr=CFdr

Tekrar kesin

Bu bir kere daha, belki bu sefer yatay bir kesitle yapabilirsiniz:
Eğer elde edilen dört alt bölgenin sınırları etrafında integral alırsanız, R'nin iç bölgesinde yaptığınız kesiklerde integraller birbirini götürecektir:
Bir formülde, bu dört alt bölgenin hepsinin etrafındaki çizgi integrallerinin toplamının, bütün bölgenin etrafındaki çizgi integraline eşit olacağı anlamını taşır:
C1Fdr+C2Fdr+C3Fdr+C4Fdr=CFdr
Bunun, sadece C1,,C4 sınırlarının hepsinin aynı yönlü olduğundan emin olduğumuzda işe yarayacağını vurgulamalıyım. Diğer durumlarda, kesiklerde birbirlerini yok etmeyebilirler. Genelde saat yönünün tersine pozitif yön olarak düşünülür, dolayısıyla diğer her şeyin yönünün saat yönünün tersine olduğunu düşünün.

Pek çok kez kesin

Bununla nereye gittiğimi görebilirsiniz. R bölgesini pek çok minik parçaya ayırdığınızı düşünün, R1,,Rn. Sınırlarının hepsini,C1,,Cn saat yönünün tersine yöneltin, ve F fonksiyonunun her birinde integralini alın.
Bu integraller R'nin içindeki kesitler boyunca birbirini götürecek. Bunun nedeni, herhangi bir kesitte, integrallerin birinin bir yönde ve diğerinin diğer yönde olmasıdır. Sonunda, bu integrallerin birbirini götürmediği kısımlar, sadece C'nin sınırının parçalarıdır.
Bunun anlamı, parçaların minik sınırları boyunca çizgi integrallerini toplamanın, tam bölge boyunca integral almayla aynı sonucu vereceğidir:
k=1n(CkFdr)=CFdr

Rotasyonelin integralini alma

Peki... bunu neden yapıyorum? Çünkü minik bir parça etrafındaki bu çizgi integrallerinin her birini yorumlamanın iki-boyutlu rotasyonelin kullanıldığı başka bir yolu vardır. Bu parçalardan birini alın ve ona yakınlaşın.
  • Rk seçtiğiniz parça olsun, burada sınır Ck'dir.
  • |Rk| Rk'nin alanını temsil ediyor olsun, bunu çok küçük bir sayı olarak düşünüyoruz.
  • (xk,yk) bu parçanın içindeki herhangi bir nokta olsun.
Bu para etrafında F'ye bağlı sıvı döndürme, CkFdr çizgi integraliyle ölçülebilir. Minik bir sandalı düşünün. Ama bu gerçekten de minik bir parça olduğundan sıvı döndürmeyi ölçen başka bir çok değişkenli analiz kavramı vardır: Rotasyonel.
Bu çizgi integrali, F'nin Rk'deki herhangi bir noktada 2d-rotasyonelini almak ve (minik) bir |Rk| alanıyla çarpmakla kestirilebilir:
CkFdrRk’nin küçük bir parçası etrafındaki integral(2 boyutlu rotasyonelF(xk,yk)Rk’deki nokta)|Rk|Rk’nin alanı
Ayrıca, ve bu da önemlidir, Rk ne kadar küçük olursa, bu kestirim o kadar iyi olur.
Bu kestirimleri küçük Rk parçaları üzerinden toplarsak, şunu elde ederiz:
k=1n(CkFdr)k=1n(2 boyutlu rotasyonelF(xk,yk) Rk’deki nokta|Rk|)
Bir önceki bölümdeki sonucumuzu alırsak, üstteki sol taraf R'nin tüm sınırı etrafındaki bir çizgi integraliyle aynıdır, onun için bu kestirimi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:
CFdrk=1n(2 boyutlu rotasyonelF(xk,yk)Rk’deki nokta|Rk|)
Şimdi sağ taraftaki toplama yakından bakalım.
  • Skaler değerli bir fonksiyonu kapsar, 2d-rotasyonelF
  • Toplam, iki boyutlu bölgenin (R) pek çok küçük parçası (Rk) toplanarak alınır.
  • Toplamın içindeki her parça için, fonksiyonun bu parça içindeki bir nokta için değeri bulunur, ve alanıyla çarpılır.
Tanıdık geliyor mu? Çift katlı integralin tarifi budur! (Eğer bu konuya aşina değilseniz, çift katlı integraller konulu makaleye göz atmanızı öneririz).
Özellikle, R bölgesini daha da küçük parçalara ayırmayı gözünüzde canlandırırsanız, üstteki toplamın yerine 2d-rotasyonelF'nin R'de çift katlı integralini koyabiliriz:
k=1n(2 boyutlu rotasyonelF(xk,yk)Rk’deki nokta|Rk|)R2 boyutlu rotasyonelFdA
Her şeyi birleştirdiğimizde, şunu elde ederiz:
CFdr=k=1n(CkFdr)k=1n(2 boyutlu rotasyonelF(xk,yk)Rk’deki nokta|Rk|)R2d-rotasyonelFdA
Aslında bu bir kestirimden fazlasıdır, sınırın etrafındaki çizgi integrali iki boyutlu rotasyonelin çift katlı integraline eşittir:
CFdr=R2 boyutlu rotasyonelFdA
Bu şahane olguya Green teoremi denir. Baktığınızda, bunu sıvının bir bölgenin tam sınırında dönmesinin (sol taraf) bölgenin içindeki minik "döndürme parçalarına" bakmak ve bunları toplamakla (sağ taraf) aynı olarak görebilirsiniz.

Alternatif gösterim

Green teoreminin şu şekilde yazılımını yaygın olarak görebilirsiniz:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA
Burada sol taraftaki çizgi integralinde iç çarpım, sağ taraftaki çift katlı integralde rotasyonel verilmektedir. Sebebi ne olursa olsun, F(x,y) vektör-değerli fonksiyonunun bileşenleri için P ve Q'yu kullanmak yaygındır:
F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^=[P(x,y)Q(x,y)]
Bir sonraki makalede, bu formülü kullanarak çizgi integrallerinin veya çift katlı integrallerin nasıl basitleştirileceği hakkında örnekler bulacaksınız.

Özet

  • CFdr çizgi integralini, C eğrisi etrafında F(x,y) vektör alanıyla temsil edilen sıvı akışının dönüşünü ölçüyor olarak düşünebilirsiniz. Genelde saat yönünün tersine yön pozitif olarak kabul edilir, bu durumda C saat yönünün tersine yönlendirilmelidir.
  • C ile çevrelenen iki boyutlu R bölgesini pek çok küçük parçaya böldüğünüzü düşünün. Bu parçaların sınırlarını C1,,Cn adlandırın ve bunları saat yönünün tersine yönlendirin. Bu durumda F'nin her sınır parçası Ck etrafındaki çizgi integrallerini toplamak, bütün C sınırı etrafındaki çizgi integraliyle aynı şey olur.
    k=1n(CkFdr)=CFdr
    Yani, bu küçük çizgi integralleri R içindeki kesikler boyunca birbirini götürür
  • Giderek küçülen parçaları ele aldığınızda, her küçük parçanın etrafındaki çizgi integrali iki boyutlu bir rotasyonel kullanılarak kestirilebilir:
CkFdrRk’nin küçük bir parçası etrafındaki integral(2 boyutlu rotasyonelF(xk,yk)Rk’deki nokta)|Rk|Rk’nin alanı
  • R'de çift katlı bir integral kullanarak "rotasyonel parçalarını" topladığımızda, ve iç kesitler boyunca çizgi integrallerinin toplamının birbirini götürdüğü gerçeğini uyguladığımızda, Green teoremini elde ederiz:
CFdr=R2 boyutlu rotasyonelFdA

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.