If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 5

Ders 3: Green Teoremi (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Green, Stokes ve Diverjans Teoremleri
Green Teoremi (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Green teoremi

Google Classroom
Green teoremi çift katlı integral rotasyoneli belirli bir çizgi integraliyle ilişkilendirir. Aslında, oldukça güzeldir.

Arka plan

Mutlaka gerekli değildir, ancak daha iyi kavramaya yardımcı olur:

Diğer kaynaklar

Green teoreminin problem çözmek için nasıl kullanıldığıyla ilgili problemleri bir sonraki makalede görebilirsiniz. Burada, neden doğru olduğuyla ilgili güzel bir mantığı size adım adım göstereceğim. Farklı bir bakış açısını Sal'in konuyla ilgili videosunda bulabilirsiniz.

Bir dersle, dört fayda

Green teoremi çok değişkenli analizin zirvesindeki dört önemli teoremden biridir:
  • Green teoremi
  • 2D diverjans teoremi
  • Stokes teoremi
  • 3D Diverjans teoremi
İyi haberlerimiz var: Bunların dördünün mantığı son derece benzerdir. Yani eğer Green teroemini çok iyi özümsediyseniz, diğer üçünü de neredeyse anladınız demektir!

Neye ulaşıyoruz

  • Kurulum:
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 iki boyutlu bir vektör alanıdır.
      • start color #bc2612, R, end color #bc2612 x, y düzlemindeki bir bölgedir.
      • start color #bc2612, C, end color #bc2612 bu bölgenin sınırıdır, yönü saat yönünün tersinedir.
  • Green teoremi start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin start color #bc2612, R, end color #bc2612 sınırı etrafında çizgi integralinin start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin start color #bc2612, R, end color #bc2612 içinde rotasyonelinin çift katlı integraliyle aynı olduğunu belirtir:
    \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start bold text, F, end bold text, d, A, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
  • Sol tarafı bir start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesindeki her noktadaki küçük dönme parçalarını topluyor olarak ve sağ tarafı start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin start color #bc2612, C, end color #bc2612 sınırı etrafındaki toplam sıvı dönüşünü ölçüyor olarak düşünün.
  • Genelde, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 bileşenlerine göre aşağıdaki gibi yazılır:
    start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
    P ve Q cinsinden, Green teoremi şuna benzer:
    \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A

Sınır etrafında sıvı döndürme

Okudukça, kafanızda olması gereken resim bir vektör alanında bir kütledir.
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, vektör alanı için fonksiyondur. Ayrıca, eğer vektör alanına ilişkin buna benzer makaleleri okuduysanız muhtemelen öğrendiğiniz gibi, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin bir sıvı akışını temsil ettiğini varsayın.
  • start color #bc2612, R, end color #bc2612 x, y düzlemindeki bir bölgedir. Uygulamada ve problemlerde bu bölge daire gibi iyi tanımlanmış bir şekil veya iki grafik arasındaki sınır olacaktır; ancak ben soyut olarak düşünürken bu bölgeyi bir damla şeklinde çizmeyi tercih ediyorum.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin saat yönünün tersine sınırıdır. Bu yönü hatırlayın, çünkü problemleri çözerken yön gerçekten önemlidir. Saat yönünün tersine. Hatırlıyor musunuz? Saat yönünün tersine.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki çizgi integralini sıvı akışı olarak nasıl yorumlayabilirsiniz?
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
(Unutmayın, vektör alanından çizgi integralinde d, start bold text, r, end bold text terimi eğri boyunca, minik bir adımı temsil eder, bu durumda bu, her zaman saat yönünün tersine durur.)
1 cevap seçin:

\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text çizgi integralini düşünmenin bir yolu şöyledir: start color #bc2612, C, end color #bc2612 doğrusu etrafında, saat yönünün tersine, bir kayıkta kürek çektiğinizi düşünün.
Yolculuğunuzdaki her noktada d, start bold text, r, end bold text vektörü size hareketinizin yönünü verir. start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text iç çarpımı, sıvı akışının sizinle birlikte olduğu noktalarda pozitif ve sıvı akışının size karşı olduğu noktalarda negatif olacaktır.
Genelde, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text çizgi integrali, bütün bu iç çarpımları toplayarak, akışın genelde yararlı mı, yoksa külfetli mi olduğunu söyler.
O zaman, sıvı akışı start color #bc2612, C, end color #bc2612 sınırı boyunca genelde saat yönünün tersine eğilim gösterirse, çizgi integrali pozitif olur (yani genelde yardımcı olur), ve saat yönünde eğilim gösterirse, negatif olur (genellikle külfetli olur).

Sınırı içeri getirme

Green teoremi, start color #bc2612, R, end color #bc2612 sınırı boyunca sıvı rotasyonu fikrini alıp, start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin içinde olan bitenle ilişkilendirmeyle ilişkilidir. Kavramsal olarak, bu start color #bc2612, R, end color #bc2612'yi birçok küçük parçaya ayırmayı gerektirir. Formüllerde, sonuç start text, 2, d, negative, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin çift katlı integralini almak olur.

Bölgeyi kesin

start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesini ortadan aşağıya düz bir çizgiyle böldüğünüzü ve iki alt bölge (start color #bc2612, R, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612 ve start color #bc2612, R, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612) elde ettiğinizi düşünün:
Bu iki bölgenin sınırlarını start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f ve start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05 olarak adlandırın. Bu iki sınır etrafında start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin çizgi integralini alır ve bunları toplarsak ne olur?
\oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
Dikkat ederseniz, bu çizgi integralleri yaptığınız düşey çizgi kesitinde birbirini götürecek. Yani, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f etrafındaki integral bu çizgide "yukarı" çıkarken, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05 etrafındaki integral bu çizgiden "aşağı" iner. (Unutmayın, bir vektör alanında bir çizgi integrali alırken, bir eğri boyunca yön değiştirme, sonucu minus, 1 ile çarpar).
Buna göre, iki integralimizin toplamı, start color #bc2612, C, end color #bc2612 sınırının etrafında gitmekle aynıdır.
\oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Tekrar kesin

Bu bir kere daha, belki bu sefer yatay bir kesitle yapabilirsiniz:
Eğer elde edilen dört alt bölgenin sınırları etrafında integral alırsanız, start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin iç bölgesinde yaptığınız kesiklerde integraller birbirini götürecektir:
Bir formülde, bu dört alt bölgenin hepsinin etrafındaki çizgi integrallerinin toplamının, bütün bölgenin etrafındaki çizgi integraline eşit olacağı anlamını taşır:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 3, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 4, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
Bunun, sadece start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, 4, end subscript, end color #bc2612 sınırlarının hepsinin aynı yönlü olduğundan emin olduğumuzda işe yarayacağını vurgulamalıyım. Diğer durumlarda, kesiklerde birbirlerini yok etmeyebilirler. Genelde saat yönünün tersine pozitif yön olarak düşünülür, dolayısıyla diğer her şeyin yönünün saat yönünün tersine olduğunu düşünün.

Pek çok kez kesin

Bununla nereye gittiğimi görebilirsiniz. start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesini pek çok minik parçaya ayırdığınızı düşünün, start color #bc2612, R, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, R, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612. Sınırlarının hepsini,start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612 saat yönünün tersine yöneltin, ve start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 fonksiyonunun her birinde integralini alın.
Bu integraller start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin içindeki kesitler boyunca birbirini götürecek. Bunun nedeni, herhangi bir kesitte, integrallerin birinin bir yönde ve diğerinin diğer yönde olmasıdır. Sonunda, bu integrallerin birbirini götürmediği kısımlar, sadece start color #bc2612, C, end color #bc2612'nin sınırının parçalarıdır.
Bunun anlamı, parçaların minik sınırları boyunca çizgi integrallerini toplamanın, tam bölge boyunca integral almayla aynı sonucu vereceğidir:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Rotasyonelin integralini alma

Peki... bunu neden yapıyorum? Çünkü minik bir parça etrafındaki bu çizgi integrallerinin her birini yorumlamanın iki-boyutlu rotasyonelin kullanıldığı başka bir yolu vardır. Bu parçalardan birini alın ve ona yakınlaşın.
  • start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 seçtiğiniz parça olsun, burada sınır start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612'dir.
  • vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612'nin alanını temsil ediyor olsun, bunu çok küçük bir sayı olarak düşünüyoruz.
  • start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 bu parçanın içindeki herhangi bir nokta olsun.
Bu para etrafında start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'ye bağlı sıvı döndürme, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text çizgi integraliyle ölçülebilir. Minik bir sandalı düşünün. Ama bu gerçekten de minik bir parça olduğundan sıvı döndürmeyi ölçen başka bir çok değişkenli analiz kavramı vardır: Rotasyonel.
Bu çizgi integrali, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612'deki herhangi bir noktada start text, 2, d, negative, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, i, n, i, end text almak ve (minik) bir vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar alanıyla çarpmakla kestirilebilir:
∮CkF⋅dr⏟Rk’nin ku¨çu¨k bir parçası etrafındaki integral≈(2 boyutlu rotasyonel F(xk,yk)⏟Rk’deki nokta)∣Rk∣⏟Rk’nin alanı\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{} \\ \text{$\redE{R_k}$'nin küçük bir parçası etrafındaki integral} }} \approx \left( \text{2 boyutlu rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{$\redE{R_k}$'deki nokta}} \right) \underbrace{|\redE{R_k}|}_{\text{$\redE{R_k}$'nin alanı}}
Ayrıca, ve bu da önemlidir, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 ne kadar küçük olursa, bu kestirim o kadar iyi olur.
Bu kestirimleri küçük start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 parçaları üzerinden toplarsak, şunu elde ederiz:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, approximately equals, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, apostrophe, d, e, k, i, space, n, o, k, t, a, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis
Bir önceki bölümdeki sonucumuzu alırsak, üstteki sol taraf start color #bc2612, R, end color #bc2612'nin tüm sınırı etrafındaki bir çizgi integraliyle aynıdır, onun için bu kestirimi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, approximately equals, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, apostrophe, d, e, k, i, space, n, o, k, t, a, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis
Şimdi sağ taraftaki toplama yakından bakalım.
  • Skaler değerli bir fonksiyonu kapsar, start text, 2, d, negative, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99
  • Toplam, iki boyutlu bölgenin (start color #bc2612, R, end color #bc2612) pek çok küçük parçası (start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612) toplanarak alınır.
  • Toplamın içindeki her parça için, fonksiyonun bu parça içindeki bir nokta için değeri bulunur, ve alanıyla çarpılır.
Tanıdık geliyor mu? Çift katlı integralin tarifi budur! (Eğer bu konuya aşina değilseniz, çift katlı integraller konulu makaleye göz atmanızı öneririz).
Özellikle, start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesini daha da küçük parçalara ayırmayı gözünüzde canlandırırsanız, üstteki toplamın yerine start text, 2, d, negative, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin start color #bc2612, R, end color #bc2612'de çift katlı integralini koyabiliriz:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, apostrophe, d, e, k, i, space, n, o, k, t, a, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis, right arrow, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
Her şeyi birleştirdiğimizde, şunu elde ederiz:
∮CF⋅dr=∑k=1n(∮CkF⋅dr)≈∑k=1n(2 boyutlu rotasyonel F(xk,yk)⏟Rk’deki nokta ∣Rk∣)→∬R2d-rotasyonel F dA\begin{aligned} \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} &= \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \\\\ &\approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{2 boyutlu rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{$\redE{R_k}$'deki nokta}} \,|\redE{R_k}| \right) \\\\ &\to \iint_\redE{R} \text{2d-rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} \end{aligned}
Aslında bu bir kestirimden fazlasıdır, sınırın etrafındaki çizgi integrali iki boyutlu rotasyonelin çift katlı integraline eşittir:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
Bu şahane olguya Green teoremi denir. Baktığınızda, bunu sıvının bir bölgenin tam sınırında dönmesinin (sol taraf) bölgenin içindeki minik "döndürme parçalarına" bakmak ve bunları toplamakla (sağ taraf) aynı olarak görebilirsiniz.

Alternatif gösterim

Green teoreminin şu şekilde yazılımını yaygın olarak görebilirsiniz:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Burada sol taraftaki çizgi integralinde iç çarpım, sağ taraftaki çift katlı integralde rotasyonel verilmektedir. Sebebi ne olursa olsun, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör-değerli fonksiyonunun bileşenleri için P ve Q'yu kullanmak yaygındır:
F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^=[P(x,y)Q(x,y)]\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x, y) = P(x, y)\hat{\textbf{i}} + Q(x, y)\hat{\textbf{j}} = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
Bir sonraki makalede, bu formülü kullanarak çizgi integrallerinin veya çift katlı integrallerin nasıl basitleştirileceği hakkında örnekler bulacaksınız.

Özet

  • \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text çizgi integralini, start color #bc2612, C, end color #bc2612 eğrisi etrafında start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis vektör alanıyla temsil edilen sıvı akışının dönüşünü ölçüyor olarak düşünebilirsiniz. Genelde saat yönünün tersine yön pozitif olarak kabul edilir, bu durumda start color #bc2612, C, end color #bc2612 saat yönünün tersine yönlendirilmelidir.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 ile çevrelenen iki boyutlu start color #bc2612, R, end color #bc2612 bölgesini pek çok küçük parçaya böldüğünüzü düşünün. Bu parçaların sınırlarını start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612 adlandırın ve bunları saat yönünün tersine yönlendirin. Bu durumda start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99'nin her sınır parçası start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 etrafındaki çizgi integrallerini toplamak, bütün start color #bc2612, C, end color #bc2612 sınırı etrafındaki çizgi integraliyle aynı şey olur.
    sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
    Yani, bu küçük çizgi integralleri start color #bc2612, R, end color #bc2612 içindeki kesikler boyunca birbirini götürür
  • Giderek küçülen parçaları ele aldığınızda, her küçük parçanın etrafındaki çizgi integrali iki boyutlu bir rotasyonel kullanılarak kestirilebilir:
∮CkF⋅dr⏟Rk’nin ku¨çu¨k bir parçası etrafındaki integral≈(2 boyutlu rotasyonel F(xk,yk)⏟Rk’deki nokta)∣Rk∣⏟Rk’nin alanı\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{} \\ \text{$\redE{R_k}$'nin küçük bir parçası etrafındaki integral} }} \approx \left( \text{2 boyutlu rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{$\redE{R_k}$'deki nokta}} \right) \underbrace{|\redE{R_k}|}_{\text{$\redE{R_k}$'nin alanı}}
  • start color #bc2612, R, end color #bc2612'de çift katlı bir integral kullanarak "rotasyonel parçalarını" topladığımızda, ve iç kesitler boyunca çizgi integrallerinin toplamının birbirini götürdüğü gerçeğini uyguladığımızda, Green teoremini elde ederiz:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, space, b, o, y, u, t, l, u, space, r, o, t, a, s, y, o, n, e, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.