Green teoremi güzeldir, ama burada aslında nasıl kullanıldığını öğreneceksiniz.

Arka plan

Formülü hatırlama

Green teoremi genelde bu şekilde ifade edilir:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
Alıştırma problemleri ve test soruları da genelde böyle gözükür. Ancak şahsen, bunu bu PP ve QQ formunda kolayca hatırlayamıyorum.
"Qx\dfrac{\partial Q}{\partial x} mi yoksa Qy\dfrac{\partial Q}{\partial y} miydi?"
"Hangi terim tekrar çıkarılmıştır?"
Daima bu formu düşünerek başlarım:
CFdr=R2 boyutlu rotasyonelFdA\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{2 boyutlu rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}}\,dA
Fiziki bir anlamı olduğundan, bunu hatırlamayı daha kolay bulurum (daha fazla detay için son makaleye bakın):
  • Bir C\redE{C} kapalı eğrisinin etrafındaki bir F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) vektör alanının çizgi integrali, C\redE{C} sınırı etrafındaki sıvı dönüşünü ölçer.
  • F\blueE{\textbf{F}}'nin rotasyonelinin çift katlı integrali, C\redE{C} ile çevrelenmiş R\redE{R} bölgesinin içindeki sıvı dönüşünün tüm küçük parçalarını toplar.
  • Sezgisel olarak, bunların birbiriyle bağlantılı olması akla yatkındır. Aslında, bunlar birbirine eşittir.
Teoremin PQPQ versiyonunu elde etmek için, F\blueE{\textbf{F}}'nin bileşenlerini P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y) olarak yazın:
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \end{aligned}
(PP'nin xx koordinatı ve QQ'nun yy koordinatı olduğunu hatırlamak için, alfabede PP'nin QQ'dan önce geldiğini düşünün).
Bundan sonra çizgi integralinin, rotasyonelin, vb. her parçasını açın. Bunu pek çok kez yaptıktan sonra, aklınızdan da kolayca yapabileceksiniz.
CFdr=R2d-rotasyonelFdAC[P(x,y)Q(x,y)][dxdy]=R2 boyutlu rotasyonel([P(x,y)Q(x,y)])dACPdx+Qdy=R(QxPy)dxdy\begin{aligned} \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} &= \iint_\redE{R} \text{2d-rotasyonel}\,\blueE{\textbf{F}}\,dA \\\\ &\Downarrow \\\\ \oint_\redE{C} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right] &= \iint_\redE{R} \text{2 boyutlu rotasyonel}\, \left( \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \right) \,dA \\\\ &\Downarrow \\\\ \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy &= \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy \end{aligned}
Doğaldır ki, bu iki boyutlu rotasyonelin nasıl hesaplandığını hatırlamanızı gerektirir; ancak zaten bunu Green teoremi söz konusu olmasa da hatırlıyor olmalısınız.
Uyarı: Green teoremi sadece saat yönünün tersindeki eğrilere uygulanır. Eğer bir eğrinin etrafında saat yönünde integral alıyor ve Green teoremini uygulamak istiyorsanız, sonucunuzun işaretini bir yerde değiştirmelisiniz.

Green teoreminin ne zaman kullanılacağını nasıl biliyoruz?

"Matematik izlenecek bir spor değildir" - George Polya
Bunun ne kadar yararlı olduğunu anlamanın en iyi yolu, bazı örnekler çözmektir. Her örnekten sonra, önemli noktaları ve alınacak dersleri kısaca özetleyeceğim.

Örnek 1: Çizgi integrali \to Alan


Problem: C\redE{C} yarıçapı 22 olan ve merkezi (3,2)(3, -2)'de olan bir çemberi temsil ediyor olsun:
Eğer C\redE{C}'yi saat yönünün tersine yönlendirirseniz, aşağıdaki çizgi integralini hesaplayın:
C3ydx+4xdy\displaystyle \oint_\redE{C} 3y\,dx + 4x\,dy

Çözüm
Adım 1: Sorudaki eğrinin yönü, saat yönünde midir yoksa saat yönünün tersine midir?
Sormak saçma olabilir, çünkü problemde açık bir şekilde ifade edilmişti. Ama Green teoremini kullanırken bunu hep sormayı hatırlamanız önemlidir.
Adım 2: Green teoremini bu C3ydx+4xdy\displaystyle \oint_\redE{C} 3y\,dx + 4x\,dy integraline uyguladığımızda P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y) yerine ne koymalıyız?
Adım 3: Şimdi P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y)'nin uygun kısmi türevlerini hesaplayın.
Adım 4: Son olarak, Green teoreminden çift katlı integrali hesaplayın. Bu durumda R\redE{R}, 22 yarıçaplı (3,2)(3, -2) merkezli çemberin çevrelediği bölgenin alanını temsil eder. (İpucu, bunun üzerinde çok çalışmayın).

Örnek 1 bilgi

Bir önceki örnekteki çizgi integrali, Green teoremini uyguladığımızda, neden çift katlı integral olarak daha basitleşti? İlgili fonksiyonun rotasyoneli sabit olduğu için:
2 boyutlu rotasyonel([P(x,y)Q(x,y)])=2 boyutlu rotasyonel([3y4x])=x(4x)y(3y)=43=1\begin{aligned} \text{2 boyutlu rotasyonel}\left( \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \right) &= \text{2 boyutlu rotasyonel}\left( \left[ \begin{array}{c} 3y \\ 4x \end{array} \right] \right) \\\\ &= \dfrac{\partial}{\partial x}(4x) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3y) \\\\ &= 4 - 3 \\\\ &= 1 \end{aligned}
Daha genel olarak, eğer QQ'nun xx 'e göre kısmi türevi basit gözüküyorsa ve/veya PP'nin yy'ye göre kısmi türevi basit gözüküyorsa Green teoremini düşünün.
CP(x,y)y basit mi?dx+Q(x,y)x basit mi?dy\begin{aligned} \oint_C \overbrace{ P(x, y) }^{\text{$\dfrac{\partial}{\redE{\partial y}}$ basit mi?}}\,{\blueE{dx}} + \overbrace{ Q(x, y) }^{{\text{$\dfrac{\partial}{{\blueE{\partial x}}}$ basit mi?}}}\,\redE{dy} \end{aligned}
Ayrıca, sorudaki bölgenin alanını kolayca hesaplayabilmemiz de önemliydi. Eğer bu doğru olmasaydı, çift katlı integral o kadar basit olmayabilirdi.

Örnek 2: İki fonksiyon grafikleri


Problem
Aşağıdaki iki fonksiyonu düşünün:
f(x)=(x24)(x21)f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 1)
g(x)=4x2g(x) = 4 - x^2
Şimdi, bu fonksiyonların grafiklerinin arasındaki bölgeyi düşünün.
Bu bölgenin saat yönündeki sınırını D\redE{D} ile gösterelim. aşağıdaki çizgi integralini hesaplayın:
Dx2ydxy2dy\displaystyle \oint_\redE{D} x^2 y \,dx - y^2 dy

Çözüm
Adım 1: Sorudaki eğrinin yönü, saat yönünde midir yoksa saat yönünün tersine midir?
Green teoremi saat yönünün tersine eğrilere uygulandığından, nihai cevabımızın tersini almalıyız.
Adım 2: Dx2ydxy2dy\displaystyle \oint_\redE{D} x^2 y \,dx - y^2 dy integralinde P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y) yerine ne koymalıyız?
Adım 3: Şimdi P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y)'nin uygun kısmi türevlerini hesaplayın.
Adım 4: Green teoremini uygulamak için, y=(x24)(x21)y = (x^2 - 4)(x^2 - 1) grafiğinin üstündeki ve y=4x2y = 4 - x^2 grafiğinin altındaki bölge olarak tanımlanmış olan D\redE{D} bölgesinde bir çift katlı interal uygulayacağız. Bu çift katlı integral, aşağıdakiyle benzer formda olacaktır:
x1x2y1(x)y2(x)dydx\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \dots\,dy\,dx
Bu sınırların hepsini doldurun:
Adım 5: Son olarak, Green teoremini uygulamak için, bu integrale uygun değerleri koyarız. Eğer orijinal çizgi integralimizin yönü saat yönünde ise, şunu koymalıyız:
QxPy\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}
Ancak bu eğri saat yönünün tersine yönlü olduğundan, bunu negatif yaparız:
(QxPy)=PyQx -\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) = \dfrac{\partial P}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial x}
Daha önceki iki sorunun cevaplarını kullanarak, bu değeri oluşturduğunuz çift katlı integrale koyun, orijinal çizgi integrali probleminin cevabını bulun:

Örnek 2 bilgi

Örnek 1'de olduğu gibi, bu çizgi integralinin daha basit hale gelmesinin nedenlerinden birisi, uygun kısmi türevlere baktığımızda terimlerin sadeleşmiş olmasıdır.
Ayrıca, söz konusu bölgenin iki ayrı eğriyle tanımlanmıştı. Çizgi integralini doğrudan hesaplamak, her bir eğri için iki ayrı çizgi integrali kurmayı gerektirir. Ama çift katlı integral, çok doğal bir şekilde, tüm bölgeden bir kerede geçti.
Dikkat etmemiz gereken bir başka şey de bu son çift katlı integralin basit olmadığıdır. Hesaplarken çok kağıt harcamanız gerekti. Ama burada sorun yok. Green teoreminin her şeyi basitleştirdiğinden emin olabiliriz, çünkü eğrilerimizi parametrize etmemiz gerekmediğinden, terimlerin her biri basitleşti, ve ayrı iki çizgi integrali bir çift katlı integrale dönüştü.

Sinsi alan hesaplamaları

Son iki örnekte, bir çizgi integralini çift katlı bir integrale dönüştürmek için Green teoremini kullandık. Burada, işleri diğer yönden yapalım. Green teoreminden bir çift katlı integrale bakın:
R(QxPy)dA\displaystyle \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
Örnek 11'de, aşağıdaki özellik olduğu için şanslı olduğumuzu hatırlayın:
(QxPy)=1\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) = 1
Bu, integralimizin sadece R\redE{R} alanını hesaplamakta olduğu anlamını taşır:
R(QxPy)dARdA=R ’nin alanı\displaystyle \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \rightarrow \iint_\redE{R} \, dA = \redE{R}\text{ 'nin alanı}
R\redE{R}'nin alanını bilmediğimizi, ancak bunu hesaplamak istediğimizi varsayın. Yapabileceğiniz şeylerden birisi, bu rotasyonel-eşittir-bir özelliğini sağlayan bir P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y) fonksiyon çifti bulmaktır:
QxPy=1\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 1,
Green teoremine göre, bunun gibi herhangi bir fonksiyon çifti, bir bölgenin alanını bir çizgi integralini kullanarak hesaplamanızı sağlar:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA=R(1)dA=Area of R’nin alanı\begin{aligned} \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy &= \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \\\\ &= \iint_\redE{R} (1) \,dA \\\\ &= \text{Area of }\redE{R}\text{'nin alanı} \end{aligned}
Bir bölgenin alanını bulmak için, sınırı boyunca çizgi integrali kullanmak garip gelmiyor mu? Bunun aslında neye benzediğine bakalım.

Örnek 3: Bir deniz kabuğunun alanı


Problem
Aşağıdaki parametrik denklemlerle tanımlanmış olan spirali 0t2π0 \le t \le 2\pi aralığında düşünün.
x(t)=tcos(t)y(t)=tsin(t)\begin{aligned} x(t) &= t \cos(t) \\ y(t) &= t \sin(t) \end{aligned}
Şimdi bu spirale (0,0)(0, 0)'dan (2π,0)(2\pi, 0)'a bir çizgi ekleyin ve çevrelediği deniz kabuğu şekilli bölgeyi düşünün.
O bölgenin alanı nedir?

Çözüm
Adım 1: Bu deniz kabuğunun sınırının yönü nedir?
Adım 2: Uygun P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y)'yi seçin.
Green teoremini uygulayabilmek için, önce aşağıdaki özelliği sağlayan bir P(x,y)P(x, y) ve Q(x,y)Q(x, y) fonksiyon çifti bulmalıyız:
QxPy=1\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 1
Aslında, bunu sağlayan birkaç fonksiyon çifti var.
Kavram kontrolü: Aşağıdaki fonksiyon çiftlerinden hangisi bu özelliği sağlar?
İşi en kolaylaştıranların, yukarıdaki ikinci veya üçüncü seçenek olduğunu düşünebilirsiniz. Bununla birlikte, ilginçtir, çizgi integrali hesaplamasının en iyi şekilde yapılmasını sağlayan son seçenektir. Bu, aşağıdaki integrali çözmek anlamına gelir:
C12ydxPdx+12xdyQdy\displaystyle \oint_{\redE{C}} \underbrace{ -\dfrac{1}{2}y\,dx }_{P\,dx} + \underbrace{ \dfrac{1}{2}x\,dy }_{Q\,dy}
Veya daha temiz şekilde yazarsak,
C12(xdyydx)\displaystyle \oint_{\redE{C}} \dfrac{1}{2}\left( x\,dy - y\,dx \right)
Bu neden daha basit? Biraz sonra bazı şeylerin nasıl güzelce birbirini götürdüğünü ve bunun ifadeye simetrik şekilde hem xx hem yy'yi eklemekle bağlantılı olduğunu göreceksiniz. Dürüst olmak gerekirse, bunu önceden nasıl görebildiniz bilmiyorum; gerçekten zekice.
Adım 3: Çizgi integralini hesaplayın.
Bölgemizin sınırı iki eğriyle tanımlanır. Bunların biri, 0t2π0 \le t \le 2\pi aralığında bu iki denklemle tanımlanan spiraldir:
x(t)=tcos(t)y(t)=tsin(t)\begin{aligned} x(t) &= t \cos(t) \\ y(t) &= t \sin(t) \end{aligned}
Diğeri (0,0)(0, 0) ile (2π,0)(2\pi, 0) arasındaki çizgidir. Bu çizginin tamamen xx ekseninin üstünde olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, yy daima 00'dır ve dydy de 00'dır, çünkü yy'de değişiklik yoktur. Buna göre, çizgi integralinin bu doğru parçasındaki değerini düşünün:
12(xdy0y0dx)\displaystyle \int \dfrac{1}{2}\left( x\,\underbrace{dy}_{0} - \underbrace{y}_{0}\,dx \right)
İntegralin içindeki ifadenin her bir kısmı 00'dır, onun için bunu yok sayabiliriz! Bu nedenle, bu çizgi integralinin spiral boyunca integralini alıp cevabı bulabiliriz.
Kavram kontrolü: x(t)=tcos(t)x(t) = t\cos(t) ve y(t)=tsin(t)y(t) = t\sin(t) verilmiştir, çizgi integralinde xdyydxx\,dy - y\,dx için ne koymalıyız? Bunu kağıt üstünde çalışın ve sadeleştirin.
Bunu bitirelim: Son cevabı kullanarak, spiraldeki çizgi integralini hesaplayın, bu da istendiği gibi deniz kabuğu alanını verecektir:

Özet

  • Green teoremi zor çizgi integrallerini daha kolay çift katlı integrallere dönüştürebilir.
  • Green teoreminin bir çizgi integralini daha basit hale getirip getirmeyeceğini öğrenmek için, aşağıdaki iki soruyu sorun:
CP(x,y)y basit mi?dx+Q(x,y)x basit mi?dy\begin{aligned} \oint_C \overbrace{ P(x, y) }^{\text{$\dfrac{\partial}{\redE{\partial y}}$ basit mi?}}\,{\blueE{dx}} + \overbrace{ Q(x, y) }^{{\text{$\dfrac{\partial}{{\blueE{\partial x}}}$ basit mi?}}}\,\redE{dy} \end{aligned}
  • Ayrıca, CC eğrisinin çevrelediği eğrinin çift katlı bir integralle tanımlaması mı daha kolay olur, yoksa alanı biliniyor mu, bunu düşünün.
  • Bir bölgenin alanını hesaplamak için, aşağıdaki çizgi integralini saat yönünün tersine sınırında bulabilirsiniz:
    C12(xdyydx)\displaystyle \oint_{\redE{C}} \dfrac{1}{2}\left( x\,dy - y\,dx \right)
Yükleniyor