If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:10:31

Video açıklaması

Şimdi Green Teoremini kullanarak çizgi integralleri bulalım.Örnek göstermeden önce tabi, Green teoremiyle ilgili bir açıklama yapmak istiyorum. Yaptığım tüm örneklerde şöyle bir bölgem vardı ve bölgenin içi gittiğimiz yolun solundaydı. Örneklerin tamamında saat yönünün tersine gidiyordum ve bölgemiz hep yolumuzun solunda kalıyordu. Green Teoremi işte böyle bir durum için geçerlidir. Böyle bir iz üzerinde kapalı bir çizgi integrali aldığımızı belirtmemiz gerekiyor. Ders kitaplarında bunu böyle gösterirler. c eğrisi üzerinde f iç çarpım d r'nin integrali eşittir R bölgesi üzerinde, Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi d A'nın çift katlı integrali. Hatırlarsanız, bu P ve Q, F'nin bileşenleriydi. F x y eşittir P x y çarpı i bileşeni artı Q x y çarpı j bileşeni. Bu durumda, bölgenin içi iz üzerinde yol aldığımız yönün solunda yer alıyor. Eğer ters yönde olsaydı, buraya bir eksi işareti koyardık.Bu ok diğer yöne gitseydi, buraya eksi işareti koyacaktık. Vektör alan integrali aldığımız için, yönün tersini aldığımızda integrali eksi 1 ile çarpıyoruz 4-5 video önce bunu göstermiştik. Şimdi bir soru çözelim. Diyelim ki bir eğri üzerinde bir çizgi integralimiz var.Eğriyi birazdan tanımlayacağım. İntegralin x kare eksi y kare d x artı 2 x y d y olduğunu varsayalım. Ve eğrimiz, bize sınırı verecek. Sınır bu bölge. Farklı bir renkte çizeyim. x'in büyük eşit 0 ve küçük eşit 1 ve y'nin büyük eşit 2 x kare küçük eşit 2 x olduğu x, y noktalarının oluşturduğu bölgenin sınırı, bizim eğrimiz. Şimdi bu bölgeyi çizelim. y ekseni ve x ekseni.x, 0'dan 1'e gidiyor. Bu, 0.x eşittir 1 diyelim, x değerleri böyle. y de 2 x karenin üstünde ve 2 x'in altında. Genelde, büyük sayılar için 2 x kare büyüktür ama 1'den küçük sayılar için 2 x kare 2 x'ten küçük olacak. Yani üst sınır 2 x, noktası da 1 virgül 2. Bu, y eşittir 2 x doğrusu. y eşittir 2 x doğrusu şöyle bir şey. Bu, y eşittir 2 x. Şu alttaki eğri ise, y büyüktür 2 x kare.Şöyle bir şeye benzer. Bahsettiğimiz bölge, bu, ama eğrinin bu bölgenin sınırı olduğunu varsayıyoruz, ve saat yönünün tersine hareket ediyoruz.Bunu belirtmemiz gerekiyor. Eğrimin üzerinde herhangi bir noktadan başlayabilirim ve bu şekilde gidiyorum. Bu noktaya ulaşırım ve üstteki eğriden aşağı inerim. Bölgemizin her zaman için solumuzda kalması koşulunu sağlamış olduk, o nedenle Green Teoremini doğrudan kullanabilirim. Bölgemizi tanımlayalım. Bu integralde y, y eşittir 2 x kareden y eşittir 2 x'e gidecek değil mi? O yüzden önce y'ye göre integral alalım. Şimdi x limitlerini yazayım. x, 0'dan 1'e gidiyor. Buraya ne geleceğini bulmamız lazım şimdi. Green Teoremi. f bu durumda şöyle olur. f x y eşittir x kare eksi y kare i artı 2 x y j. Bunu birçok videoda görmüştük. Bunun d r ile iç çarpımını alınca şunu elde ediyoruz. Buradaki ifade, P x y.Bu ifade Q x y. Burada Green Teoremini uygulayacağız. Q'nun x'e göre kısmisi, bunun x'e göre türevini alıyorum. 2 y çıkar. Bundan P'nin y'ye göre kısmisini çıkarırız. Bunun y'ye göre türevini alırsanız, burası 0 olur. Bunun y'ye göre türevi ise, eksi 2 y. Evet.. Bu, 2 y eksi eksi 2 y olur. Yani 2 y artı artı 2 y. Eksi bir sayıyı çıkarıyorum. Yani bu 4 y değil mi? Burası 4 y. Q'nun x'e göre kısmisi, 2 y, eksi P'nin y'ye göre kısmisi.Bu da eksi 2 y. Eksili sayıyı çıkarırsak artı elde ederiz. Artı çıkar değil mi ? 4 y. İçteki ifadenin y'ye göre terstürevini alırsak 2 y kare çıkar değil mi ? 2 y karenin y'ye göre kısmisi 4 y. Bunun y eşittir 2 x kareden y eşittir 2 x'e şimdi değerini bulalım. Daha dıştaki integral duruyor. x 0'dan 1'e d x. Bu integral 0'dan 1'e gidecek ve önce 2 x için değerini bulacağız. Buraya 2 x koyunca, 2 x, kare x kare, yani 4 x kare çarpı 2 eşittir 8 x kare. Eksi bunu buraya koyalım. 2 x karenin karesi ne yapar ? 4 x üzeri 4 yapar. 4 x üzeri 4 evet çarpı 2 eşittir 8 x üzeri 4. Umarım bunu doğru yapmışımdır. Şimdi 2 x kare y yerine koyalım. Bunun karesi, 4 x üzeri 4. Çarpı 2 eşittir 8 x üzeri 4 değil mi. Güzel.. Şimdi d x. Bu, gayet basit bir integral. 8 x karenin terstürevi eşittir 8 bölü 3 x küp. 8 x üzeri 4'ün terstürevi ne yapar ? 8 bölü 5 x üzeri 5. Şimdi bunun 0'dan 1'e değerini bulmam gerekiyor. 1 koyduğumuzda, 8 bölü 5 çarpı 1 küp, yani 8 bölü 5 eksi 8 bölü 5. Buraya 0 koyduğumuzda ise, 0'lar çıkacak buradan. Yok yok bir hata yaptım, düzeltiyorum 8 bölü 3 çarpı 1'in küpü eksi 8 bölü 5 çarpı 1 üzeri 5, yani bu eksi 8 bölü 5. 0 koyduğumuzda çıkaracağımız terimlerin hepsi 0, onun için başka bir şey yapmamız gerekmiyor. Sadece şu iki kesrin farkını bulmak lazım. Ortak payda olarak ne yapalım? 15'i alalım. 8 bölü 3'ü 5'le genişletelim. 40 bölü 15. Bu pay ve paydayı 3'le çarparsak da 24 bölü 15 çıkar değil mi ? Eksi 24 bölü 15 eşittir 16 bölü 15. Çok güzel. Green Teoremini kullanarak bu integralin cevabını bulmuş olduk ve 16 bölü 15'e eşitmiş. Evet umarım bu örneği faydalı bulmuşsunuzdur.Bir sonraki videoda bir örnek daha yapacağız.