Green Teoremi Örneği 2

x y düzleminde birim çember şeklinde bir izim var. Bu y ekseni x ekseni ve izimiz birim çember olacak. İzimiz üzerinde şöyle saat yönünde yol alacağız. Sanırım anladınız. İzin denklemi birim çember olacak. Denklem, x kare artı y kare eşittir 1. Yarıçapı 1. c eğrisi üzerindeki çizgi integralini alacağız. Çizgi integralini alacağız c eğrisi kapalı bir eğri. 2 y d x eksi 3 x d x. Şimdi Green Teoremini kullanalım. Deneyelim. İzimiz bu. Green Teoremine göre f iç çarpım d r'nin bir iz üzerindeki integrali şimdi daha düzgün yazayım. f x y eşittir P x y i artı Q x y j. Bu integral eşittir bu bölge üzerindeki çift katlı integral. Bu bölgede, Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi çarpı d A alan diferansiyelinin integrali. Bölgeyi size gösterdim. Burada bir nüans var, farkına varmazsanız, cevap yanlış çıkabilir. Bir önceki videoda Green Teoreminin saat yönünün tersi hareket için, tersine doğru hareket için geçerli olduğunu söylemiştik. Şu integral üzerindeki işareti bile saat yönünün tersine okla çizdim. Örneğimizde eğri saat yönünde gidiyor ama bölge sağımızda. Ama Green Teoremi bölge solumuzda olduğunda geçerli. Bu durumda bölge sağımızda. Saat yönünün tersi böyle. Bizim örneğimizde ise saat yönünde hareket ediyoruz, yani integralin eksisini alacağız. Yani örneğimizde c üzerindeki integrali alıyoruz ve saat yönünde gidiyoruz. f iç çarpım d r, bölge üzerindeki çift katlı integrale eşit olacak. Şimdi şu ikisinin yerlerini değiştirebilirsiniz, değiş tokuş yapabilirsiniz. P'nin y'ye göre kısmisi eksi Q'nun x'e göre kısmisi d A. Böyle yapalım. Limitleri koyabiliriz, ama şimdilik bölgeyi soyut tutalım. f iç çarpım d r'nin bize bu ifadeyi verdiğini de tabii unutmayalım. d r şu bileşenleri verir. f de bu iki bileşeni verir. Bu, P x y ve bu, Q x y. İç çarpım olayına şimdi girmek istemiyorum. Bunun iki vektörün iç çarpımı olduğunu zaten anlamışsınızdır. Bu f'nin x bileşeni, y bileşeni. Bu d r'nin x bileşeni, y bileşeni. Buna göre, P'nin y'ye göre kısmisini alalım. Bakalım bunun y'ye göre kısmisi, 2'ye eşit. 2 y' nin türevi sadece 2. 2 eksi Q'nun x'e göre türevi. Bunun x'e göre türevi eşittir eksi 3. Eksi 3 ve bunun tamamı çarpı d A. Bu da bölge üzerindeki integrale eşit. 2 eksi eksi 3 nedir? 2 artı 3'le aynı şeydir. Yani 5 d A'nın bölge üzerindeki integralini bulacağız. 5 sabit olduğu için integralin dışına çıkarabiliriz. Bu şimdi soru basit bir hal aldı. 5 çarpı R bölgesi üzerinde d A'nın çift katlı integrali. Peki, bu nedir? Buradaki ifade nedir? Baya soyut görünüyor ama bunu bulabiliriz. Bu, bölgenin alanı. Bu çift katlı integral bunu temsil ediyor. Sadece d A'ları topluyorsunuz Bu, bir d A, bu da bir d A. Bölge üzerinde bu d A'ların sonsuz toplamını alırsınız ve birim çemberin alanı nedir? Bunu ortaokul geometri dersinde öğrenmiştik değil mi. Alan eşittir Pi r kare. r, yani yarıçap, nedir? Birim çember olduğu için, yarıçap 1. Uzunluk 1. Yani buradaki alan, Pi. Bu ifadenin tamamı Pi'ye eşit. O zaman çizgi integralinin cevabı sadece 5 Pi. Çift katlı integrali kurduktan sonra, y eksi karekök 1 eksi x kareden karekök 1 eksi x kareye gidiyor x de eksi 1'den 1'e gidiyor, diyebilirdik ama bu çok uzun ve sıkıcı olurdu. Bunun alan olduğunun farkına varmanız yeterli. Ayrıca, Green Teoremini kullanmadan bu integrali çözmeniz konusunda size meydan okuyorum. Bu eğriyi parametrik ifade edeceksiniz, x t, y t'nin türevlerini alacaksınız. Uygun bir ifadeyle çarpımını alacaksınız, ters türev bulacaksınız. Evet Green Teoremiyle 5 Pi'yi bulmaktan çok daha zor ve karışık. Eksi 5 Pi olmamasının sebebiyse, saat yönünde hareket etmemiz. Saat yönünün tersine gitseydik, Green Teoremini doğrudan uygular ve eksi 5 Pi elde ederdik. Evet neyse, umarım bunu faydalı bulmuşsunuzdur hoşça kalın.